Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 93
Текст из файла (страница 93)
задачу 5), Н, = — ~~~ и(5) ( — — 1) . Ьг /Рг Рг 2 ЛЛ ! Замечая. что величина р+рг/Н вЂ” 1 прн 5 = 0 имеет отличный от других слагаемых статисти- ческий порядок: Ре Р— — 1=Н вЂ” 1, К и вылеляя это слагаемое отдельно (как зто мы делали в гл. 2, б 2, и. г) в аналогичном случае при рассмотрении бозе-конденсации), получим окончательную формулу и(0) 1 Н, = 5 ~Ф(г, — гг) =Х вЂ” + — 5~~ и(5) ( г г — 1~, 2е 2е з нс '<1<л ч (чяс! н позволяюшую в соответствии с решением задачи 5 непосредственно связать среднюю величину Й, с экспериментальными данными по рассеянию быстрых частиц на лаиной статистическай системе.
с г Задача В. Показать, что сечение рассеяния электромагнитного излучения в ви1(и"' мом диапазоне частот пропорционально дисперсии плотности числа частиц (1лф), (см. задачу 4). Решение. Требуемая в условии пропорциональность устанавливается практически сразу на основе решения, полученного в ьзяечс 5. Действительно, твк как для видимого урсс та ливпвзон длин волн Л расположен в интервале 3800-7600 А (Л„, 5000 А), а раанус корреляции, в пределах которого величина Е~(Н) — ! сушественно отличается от нули, из- меряется единицами или в крайнем случае десятками ангстрем, то, учитывая, что величина а/Ь рс/Ь 1/Л, получаем при Н < Н„ дН /5Н мп — /г — ш 1, Ь/ Ь и поэтому — Н 1+ /(Р(Н)-1)4яН аН = У(Дп) иу с и смога случая рассеяния длинных по сРавнению с Н<чч эл "гРс'м ных волн несложно получить также и фактор 2(а), стоящий в сечении рассеяния вместе- $ 1.
Парная корреляционная функция и караюперисшпяп спгтеиы ЗВ) с величиной (р»р»»). Для этого нужно, исходя нз уравнений Максвелла, написать решение для вектора электрического поля Е,(К,1), характеризующего рассеянную статистической системой электромагнитную волну в волновой зоне в низшем порядке по теории возмущений, полагая ~Е,! ч.
1Ге! (Е» — амплитуда вектора электрического поля падающей волны). В идейном и техническом отношениях эта программа сложной не является, однако аккуратное ее проведение превратилось бы здесь в непомерно затянувшийся дополнительный урок по электродинамике. Поэтому в решении этой задачи мы ограничимся полукачественным подходом, основанным на тех физических условиях и соответствующих ограничениях, в рамках которых рассматривается данная проблема.
1. Частоты палиошего излучения ыр и рассеянного ы = ы»+ Ды настолько велики, что ао много раз (а !Ом раз и более) превышают резонансные частоты, характерные для возбуждений статистической системы (т.е. Ды ч, ы»). Поэтому вклад неупругого рассеяния ничтожен, и с большой степенью точности можно положить ы ы ы», 1р( ы 1р»!. При рассматриваемых частотах нз материальнмх характеристик рассеивающей системы сохранится только диэлектрическая проницаемость е (магнитная проницаемость и = 1.
проводимость и = О). 2. На однородной среде молекулярного рассеяния света не происходит: свет проходит через систему по законам геометрической оптики. Но статистическая система пространственно однородна только в среднем. Если мы мысленно разделим ее на небольшие области, имеющие объем $'» (2" Ъ» = У), то вследствие флуктуаций плотности числа частиц в этом объеме де де Де»)г» = Дп»1г» = Д)т», дп дп пге производная бе/дп определяется зависимостью диэлектрической проницаемости е от средней величины плотности и = »тг/г', а Д1»» = 1т» — Р»п есть флуктуационное отклонение числа частиц от своего среднего значения в рассматриваемой области У».
3. Линейные размеры областей Р» выберем так, чтобы они превышали 2(„,м, так чтр флуктуации числа частиц в кюкдой из них мпжно, ао-первых, описывать стандартными ф»)рмулами, полученными а задаче 4, н, вовторых, полагать в разных областях статистически независимыми (этого нельзя сделать для состояний системы, близких к критическому, когда В„ становится макроскопической велйчйной, а флуктуации — нетермодннамическими). ' 4.
Вместе с тем будем считать, что линейные размеры К» малы по сравнению с длиной вол»Гы падающего излучения. Тогда каждый из участков системы $~ будет представлять собой диэлектрик, помещенный а переменное электрическое поле Е»созыг, и связанный с флуктуацией плотности числа частиц дополнительный дипольный момент кажаой из таких совершающих вынужленные колебания областей будет равен /е — 1 ~ Де»Ъа и» = 1г» ДР» = 1»» Д вЂ” Е~ = Е» со» ыг = »г» созыг. 1, 4л Г' 4я Рассмо»рнм теперь, как на основе сделанных предположений можно рассчитать интенсивность.рассеяния саста всей статистической системой в целом.
На рис. 150, в центре которого помещен рассеивающий электромагнитное поле фрагмент равновесной системы 382 Задача и дапалнцгпельные вопросы я главе 3 (д, У, К) — объемный диполь гг» = У»ЬР», изображена со всеми необходимыми обозначениями геометрия схемы рассеянии. В оговоренных выше условиях каждый отдельный фрагмент системы У» излучает как электрический диполь, сояерп»аощий гармонические колебания с'частотой ы». а из элементарной электродинамики известно, что электрическое поле излучаемой таким диполем электромагнитной волны в волновой зоне, записанное как Е» = (оя, Ью Яг) симметрично по отношению к поворотам вокруг оси з и имеет только одну отЛичную от нуля компоненту, направленную вдоль меридиана: ы'мпб ( / Н»'т Н» - — я» — соз ~»г ~! - — ~~, Ня = Ни = О, 'Н„ где д — полярный угол используемых нами сферических координат, Н» — длина рю»иусааектора от элемента У» до точки наблюдения.
Учитывая, что средиее от соз (ы!) за целое число периодов соз (ы!) = )/2, пслучаемдяя плотности потока энергии Т», рассеиваемой й-й областью системы, и средней плотности потока энергии падающего излучения,7о выражения с -! (»»е»У») ы пп б г» = — [Е»Щ = Н» = 1» ,㻠— — — — Ь». 4я 4я (4я)т с»Я» ' 2 4я Обратим теперь внимание на то, как величина э„завнсит от выбора элемента системы У». Во-первых, фиксируя рассеянное излучение достаточно лдлеко от системы, т. е. на расстояниях Н Л Г/У Ь, мы можем положить дяя всех элементов»Н» й Н; ао-вторых, при проаелении усреднения величины э» по состояниям равновесной статистической системы В ней появится фактор (дгх х 2 (Де,У,)т= ( — ' (ДДГ„)» который в силу сделанных выше предположений и результата задачи 4 является адаптивной термодинамическая величиной, так как — — ! / ! г (!1дг»)з = У» (!зц)г = У» — ~! + — з) (Рз(н) — !) ггк) .
е л Поэтому суммарная величина рассеиваемого гк»тока энергии всей системы 2„з» 'в направлении д, !я будет пропорциональна сумме 2 У» — — У и тоже булет аддитианой а термодн- ' намнческом смысле величиной (заметим. чтЬ возникшая после статистического усрелнения некогерентность рассеянного от различных областей электромагнитного излучения является слелствием некоррели рова ни ости терм од и нами ческмх флуктуаций плотности в этих областях). Отнеся этот поток энергии к площадке Н'бй, где бй = ми бабаи, и к величине потока энергии падающего излучения, получим для дифференциального углового сечения рассеяния окончательно Задача 9. Для системы с парным центральным взаимодействием частиц друг с другом Ф;, = Ф(!гг — гз)) связать парную корреляционную функцию Нз(В) с вариацией по потенциалу взаимодействия частиц удельной свободной энергии системы.
Решение. Пусть равновесная классическая система характеризуется (см. 5 ! основного тексая) гамильтонианом Н = Н»+ Н,. Имея а виду систему с парным центральным взаимодействием друг с другом, будем иметь лля вариации Гямнлътойиана по этому взаимодействию бН = бН~ ~ ~~~,бФ((г; — г.)), ~<1»гя»~ч где вариация потенциала вюимодейстеия Ф(!гг г))) может заключаться в изменении общей ь интенсивности этого взаимодействия (т.е. константы взаимодействия у — простейший $ 2. Уравнения для корреляционных фуннций и ил исследование 383 вариант процедуры варан!иванна) или изменении вида самой функции Ф()гз — гз!) (общий случай). Соответствующее этой вариации изменение свободной энергии системы равно бгт = б(-В1пл) = — бНе ~з~ — = бНзв(р,д) Врбд = бНп Я,/ Н! У Выражая срсанее от величины двухчастичного типа бН~ с помощью лвухчастичной же функции распределения, имеем ВЯВ,У,М)Ф) = — ~ бФ(Н)рз(Н)ВВ Лг Г 2с,/ (эта формула в простейшем случае, когда ВФ(22) = бдФ(Н), была нами использована в б 1, п.
б)), откуда, обозначая /(В, е!Ф) = а (В, $г, Н)Ф)/ззт, получаем, беря вариационную производную, бз(в, е(Ф) б)(Н) =2 Если в результате каких-либо аппроксимаций мы получили выражение для свободной энергии гт (В, тг, лг!Ф), то с помощью полученной выше формуяы мы можем получить в том же приближении парную корреляционную функцию, представляющую, как мы убедились на примерах предылуших зааач, значительный самостоятельный интерес. Записывая вариацию гамильтониана взаимодействия частиц Х~ в д-прелставлении с помощью формулы, полученной в задаче 7: бНз = — — / беби(д) ( ~ — — 1) + — б(Е) ~, и варьируя свободную энергию по фурье-представлению г(д) потенциала взаимодействия частиц Ф(Н), получим для определяющего сечение рассеяния быстрых частиц на системе (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
