Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 94
Текст из файла (страница 94)
задачу 5) фурье-образа Ь, так.называемой полной корреляционной функции Л(Н) = )гз(Н) — ! формулу Л =2е(2згд) ' — (2кй) б(Е), , ВУ(В, е!Ф) бг(д) составляющую пару с полученной выше формулой для Е~(Н). $2. Уравнения для корреляционных функций. и их исследование Задача 10. Исходя иэ цепочки уравнений Боголюбова (сн. а 1, и. в)) получить парную корреляционную функцию Нз(Я) с точноаъю до членов порядка (1!о)э включительно. решение.
Введем более краткие, чем использованные в З 1, обозначения: Нз(гз, Гз) = Рз(!гз — Гз!) б)з, 'Нз(гн гзз гз) = б)зз ° ° ° 1 ехр ( - - Ф(!гз — гз!) ~ = з'(!гз — гз!) + ! = Лг + !' В !г, — г,! = гп! Ф(!гз — гз!) = Фа. Тогда первые два уравнения цепочки можно записать в виде дк, 1ВФ„! ! )' ВФ, — + — — Нп + — — ~ Вгз — Рззз = О.
дг", В дз"," В е.з дг", дбпз ! д(Фп+Фзз+Фзз) ! ! Г дФн + б'аз+ — — / Вгз г'ззм = б. дг;. В дг, В / дг Зб4 Зодочц и дшюлкиглвльиые вопросы к алове 3 Их решение в нулевом порядке было уже нами получено в б1, п. в); (аз -Фо(в (аз -(Фоваозанрв Г12 — Е 4 123 — Е Подставим корреляционные функции Р(2 и Раз в виде оз/ 1 (и 1 (г! 1 (оз(? цз 1 г(2 = г ! + (р(2 + 4/?12 +'' 4?(23 4(23 + (р(23+''')' 12 4х 12 2 12 Ф где фц н у(123 — новые неизвестные функции. й соответствии с условием ослабления корреляций имеем граничные условия для функции ф в любом порядке по !/е: ? 2 Сохраняя в цепочке уравнений лишь те члены, которые обеспечивают степень точности 1/ для г(2, получаем следующую систему уравнений для функций (ь Вг» е Вг', ' д/ ' дг, р'аз(, и — 3 +...
+ — / ((г4 — = О. д » " ' В / д . ,(оз цз Уравнение первого порядка по 1/и для функции ф,м д(/?123 ( ! В(~(4 + фн + 334) ) -(Фаза?4»онз(в Оз е интегрируется сразу: ф(13, = ~/( -"н"Ф """' — !) Вг +С'П = ) 4 3 (1! = / (/14+ /24+ /и+ /14/24+ /14/34+ /24/н+ /14/24/н) дев+ Сз . любом значении г Так как прн 4 /(4/34 ~ г то в соответствиис граничным усяовием (31231( „3 .
/ (/14 + /?4 + /34) дав+ Сз = 04 откуда следует, что С(п = -З/У(, где, как и в 5 1, п. г), д( = ~Л4нг4 = / /()г))дг= /(е Ф('зм-1) нг, и мы получаем врцз = ) (/14324+/14/и+224/и+/14/24/м)два= / (е 1) вг4 3/ (е 1) ~г4. Первый порядок по 1/Ф для функции ?Р(2 получить еше проще. Имеем, полагая 1 = (1, 2), — — "ц =/ ( '""'"') "- "'- — '.1" ('""'и'"-) (и — =/ дгз е — — Гз Е дг,' ' д дг," дг," (и (р(?О = 4( дгз(е 'Фо'Фнз('- 1) +С,'3 = ( (!гз(/13+/?з+/13/23)+с? .
р 2. Уравнения для корреляционных фунд)/пд и ок исследование 385 Граничное условие 4/з)2 - О прн Гц -» оо определяет константу интегрирования !!) Сз = — / (У)з+ 123) 4!Гз = -2/уп !и и в итоге мы получаем 4/з)2 / Л31234!Гз / (е 1/ д! 2 / (е 1) ИспользУЯ полУченное Решение ллЯ ФУнкции 4))23, запишем УРавнение длЯ Р!2 в лиле, !!) !2) позволявшем проинтегрировать его практически сразу: двз!2 " ( ! д(ФО+ Фзз) 1Фо44н>/4 !2) х [е Ф"/4(е !Фн'Ф">/4 — 1) +е Фн/4 — 1 — 3(е Ф"/4 1/1~ ( -!Фи+Фи)/4 1) ( -14! +Фи>/~ 1) -Фн/~ ! дг,' — 2 /4/Г4 (е Фн/4 — 1) — (е !Фо+Ф'з)/4 — 1) Нгз /',.
Замечая, что первое слагаемое симметрично по отношению к замене индексов 3 4, а зто позволяет после снмметрнзвции по переменнмм интегрироввния записать подынтегральную функцию квк половину производной по Г, от произведения стояших пол знаком инте)рала скобок, что интеграл по переменной г4, вынесенный во втором слагаемом как множитель ПЕРЕЛ НитЕГРаЛОМ ПО Гз С ПРОИЗВОДНОЙ ПО Г,', НЕ ЗаВИСИт От Г„ПОЛУЧИМ 4()! > 4/г дг Е-Фн/Ф( -!ФО !Фп)/4 !) (Е-1Ф34+Ф34)/Ф 1) 2 ! Г )2 = — / ГЗ 24 Е 2 — 2/ дг4 (е '4/ — 1) / дгз (е ! н4 23>/ — 1) + Сз Г) = / дгз дг4 (-(ХмХ!31231)4124 + УзФЛ)ЛаЛ4+ Уз4ЛзЛзЛ4+ ЛФУцУ)!ХА + (г 2 + ХмХ)31)4 + У)4УоХм + Хм1231)4124 + Хм1231)4 + Хм123124 + Л)Л)УмЛ4 + — 2+ У!ЗЛзУ)4+ УцХпХ24+ ЛзЛ4Л4+ ЛзЛ4+ ЛзУм+ ЛзУыУм+ ЛзУ)4+ + Узз 124) 2(УмУззЛз + УнУзз + 134123)/ + Сз !2> Полагая 4/з)2 — — О в пределе гц -4 ОО, ПОЛУчаем длЯ константы интегрирования ц) Сз = У дгз4!Г4 Уз4УоУм+ 2 У' дгз дг4 У)41о = -2/52+ 2/3), Гй где введено ствндвртное абознвчение для первого и второго неприволнмых групповых инте- гралов Майера (см.
также залачу 15) 1 /3! = / Умдг4 = / Ходе)4 /32 = Х' УцЛ4Умдгздга. приводя подобные члены, получаем окончательно лля приближения второго порядке 1 т)2 Х 4!33 4!Г4 ~2 Л3123Л4У24134 + У)ЗУ)4У24У34 + У!ЗЛ3124У34 + ЛЗУ24У34 + 2 1)31231)41241 полученное разложение для двухчастичной функции д»2 можно прелстввнть граФически, если, квк это принято в подобных случаях, квхсяой Функции майера 143 сопоставить линиюв б 2.
уравивлпя длл «орреллцилиныггфункцпй и.ик исследование 387 (2У вЂ” 2) слагаемые в сумме по У отличаются друг отдруга только обозначениями переменных интегрирования. Используя определение функции ~;,2, получаем л! ае,з ве 2И О> 22 2 / <22  — = Еп яг2 Вгз Фпуп — ФпЕп —. ФпЕпз йгз~ д !гз р,г или, взяв один из двойных интеграаов первого слагаемого правой части, в предельном статистическом случае 2у оо, е = г 722 = совы ( Егг!  — 1пЕ +Фи+ — ( Ф22 — Е 422=0. д 222 ! 223 2У2 1 ду „ / ~ 222 22 ( 22 Если теперь учесть, что при д = 0 частила ! не взаимодействует ни с олной из частим системы, то у нас.
естественно, возникает граничное по переменной д условие вида Е~~з ~ = Г~(г~)Е1(гг) = 1. Интегрируя полученное выше дифференпиальное по переменной у уравненИе от нуля до некоторого значения д, получаем первое уравнение цепочки интегральных уравнений Кирквуда П) В! Еп +УФн+ — (ГФ„( (Г ~ — —;, ~ йд1 ВП=О. о Аналогично можно получить уравнения для Епз, и т.д. Эти уравнения необходимо за- 2М мкнугь (т.е. реализовать какую-либо аппроксимапионную процедуру), решить замкнутую систему интегральных уравнений (это может быть и одно уравнение, как в задаче 12) и затем положить у = 1, чтобы получить представляющую физический интерес парную корреляпионную функпию Ез(Е) = Ез (г).
Краткое обсужление этих проблем объединим с обсу:клением результатов, полученных в следующей заааче. 2> Задача 12. Построить на основе первого уравнения цепочки Боголюбова интегральное уравнение для парной корреляционной функцми Рз(г2, гз) = Е22, аппроксииируя трех- частичнУю фУнкЦию РаспРеДелениЯ Ез(22, гз, гз) = Е!2з с ПомоЩью симметРизованного по индексам частиц произведения трех двухчастичных функций с223 'к!2тзтс23 (зта идея была предложена Кирквудом в 2935 г. и получила название тернарной аппроксимации или суперпозиционного.приближения).
Решение. Полставляя тернарную консгруклию лля Епз В иНтЕГраЛьнЫй ЧЛЕН УРавнеНия лля Ен (см, задачу 10), сразу получаем замкнутое нелинейное уравнение относительно парной функпии Ен2 арп 1ВФ2 11 г ВФ + Е + у 2222 Г12Е!ЗЕ23 ж О дг» В дг", В е,у дг", а а Фн 11 Г ВФ вЂ” !л Еуз + + 2123 » .1 13 '22 дг", дг, В В е,/ дг", Придадим этому уравнению несколько иной вид. Введем функцию !ч-и! Еч = Е(гп) = Е(!Г, — г2)) = / — ЕО(Л) (И. Г ВФ(Е) дз! '» Тогда ВФ~з д — Е~ — — — Е з= 388 Задачи и дополни>цельные вопросы м главе 3 н написанное выше уравнение интегрируется по г,: Ф>з >пРп = — — — у дгзЕнРп+ С. в во,/ Определяя константу С из граничных условий 1 1 С=--~ Епаг„ в е,/ Рзз)г ~ ! Фзз) О получаем уже чисто интегральное уравнение относительно Р;,: Фп ! 1 Г 1пРп+ — + — — з> дг>Е>з(Р>з — 1) =О В Во,/ в которое надо подставить функцию Еп, выра:кенную через Рп.
Полученному уравнение можно придать' более наглядную структуру, если ввести эффективный потенциал Фп —— Ф()г> — гз!), учнтываюшнй помимо прямого взаимодействия частщз Фп, также их корреляции через другие частицы (а рамках, конечно, рассматриваемого суперпозицнонного приближения): 1 / Фп = Фп+ — / >1г>Е>з(Р>з — !) нли >а-к! З>ж>=вщ -'>>еч>я>-~>( (я>л>~~~~>~к)~з'=.
= Ф(Я) + — / (Р>()К вЂ” К!) — 1) ~ ~ Р>Я) — ВК ) ВК. е ВК" Тогда интегральное уравнение суперпознционного приблнження для корреляционной функции Рп запишется в виде бсльцмановской экспоненты е — ь!а»г (в которую, естественно, надо подставить Ф(Я), выраженное довольно сложным образом через Рп). Рассмотренное выше в различных модификациях уравнение было получено Н. Н. Боголюбовым (1946) и независимо Барном и Грином (М.
Вогп, Н. Огееп, 1946.) Суперпозицнонное приближение несколько ранее использовал и Кирявул (1942) по отношению к своему интегральному уравне пню для Р>г> (см. задачу 11). Напишем для сравнения с полученным выше замкнутое относительно Р>>зг> интегральное уравнение Кирквуда. Подстаялая в интегральный член полученного в заааче 1! уравнення тернарную аппроксимацию Р>г> РМ>Р>з>Р>г> ззз >з >3 зз 1 получаем, обозначая гп — — )г> — гз( = Я н гз — гз = г, 1пР>> (Е)+9 — + — — ( Ф()К вЂ” г)) ( Р ()К вЂ” г()(Р! (г)-1) ад >>с=О. ,> Ф(Е) 1! Г >г > у> о Придать этому уравнению структуру больцмановской экспоненты с эффективным потенцналом Ф'(Е) предоставляется читателем..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
