Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 98
Текст из файла (страница 98)
133. Вид мастери одиоиернаго классического газа с короткодействи- еи Интересно отметить, что изотермическая сжимаемость газа при любых В и р конечна и имеет всюду один и тот же знак; ~ — ) = - —,!и о(' г(бехр ~ — — — — ~ = о ~д~~з =- — <О, В к ) ехр) — аС вЂ” +) гтб о 3 ехР(-Π— о ~ "б о Задача 21.
Для системы, рассмотренной в предыдущей задаче, найти функцию рас- пределения по относительному расстоянию между частицаии. Решеице. Так как в классическом случае распределение по импульсам частиц является станлартным максвеллоаским, то. выписывая сразу распределение по величинам („...,бл, имеем в случае, когда фиксируются макроскопические переменные В, р, ЛГ, а длина системы л 3 = Ес. «ы л и 3 л м((ц...,бл! В р лг) =сехр ~-в ~ Ф(с«) Е(«~ Пм(с«)' сн =1 «ш а зто значит, что зависимость давления р от удельного «объема«е вдоль изотерм всюду монотонна, имеет характер, представленный на рис.! 53, и ни при каком виде взаимолействия Ф(Ь+ е), а > О, не имеет вандерваальсовских изгибов или хотя бы точки, где производная (др/де)о обратилась бы в нуль (что и доказывает однофазность одномерной системы с короткодействием при всех лопустимых значениях р и В).
405 й 4. 0г)номерньгй «лассичесхиг) гаэ иэ упругих шаров х м(б) = ехр ~ — — — — Я ехр ~ — — — — ) гтсг. в Вид этого распределения приведен на рис. 154. Для случая Ф(Ь+ э) = 0 прн У > 0 (идеальный одномерный газ нз упругих сфер) длл с > ь имеем (рнс.
155) р ( р(б-Ь)) ! Г б-Ь) ш(б) = — ехр г — — ) = — ехр г - — г, в '( в )' -ь '( -ь)" где е =б. При б < Ь в силу Ф(б) =+со имеем в обоих случаях ю(г) = О. 1> ш(б) 1 Ь ...:"'В, Ф(с)/О 0 Ь с с Рис. 154. Структура распределения па относительному расстоянию между частицами в одионерной системе прн заданных температуре н давлении Рнс. 155. Функция распределения по относительному расстоянию между ча- стнцани в одномерной системе невэа- нмодейстеующнх упругих шаров Звдвчв 22. Исходя из общего выражения для химического потенциала одномерного газа с короткодействием (см. задачу 20), получить уравнения состояния газа в случаях (+ос, < Ь, Ф« = + '„, ~~ ~' Ф(б)=1- (+ос, 2 <Ь, = ! о, б > ь, Решение. Для модели идеального газа упругих шаров имеем к / оС ехр ~ — — — — ) = — е в откуда для химического потенциала следует ( ь/2хша Е в) и = -Е 1п С вЂ” - е МГ у, 2хл р что приводит к известному по задаче 19 результату 3 р(е — Ь) =Е, ср — — — — — с~ +!.
2 Для моаели газа из шаров, между которыми действует постоянная сила притяжения, получаем сходный результат ( ~/2яша а ~ (р+й)Ь)) нз которого следует уравнение состояния (р+ й)(е — Ь) = д. 406 3адачц и допплншпельные вопросы к главе 3 Оба полученных выше уравнения состояния (являющиеся точными для рассматриваемых моделей) были предложены Дюпре в качестве уравнений состояния трехмерного газа еше в ловандерваальсовский период (А. Ешрге, 1864). для газа шаров. притяжение между которыми аппроксимируется потенциальной ямой шириной Во — Ь (в рассматриваемом случае взаимодействия ближайших соседей Во — Ь < Ь), имеем !! ( — р — — — ) = — ' ! ~ — 1 — -!и — ь! ! ! ! — -и — ь!)], о откуда лля уравнения состояния следует е (! — е оГ )( — Ь) е — Ь вЂ” — + Р ехр ]ге( — Ь) + со~ + (! — сион) В случае высоких температур, таких, что (Го/д с $, низкоплотностному участку изотерм рассматриваемого газа (т.
е. в случае е — Ь » Во — Ь) можно придать вид вандерваальсовского уравнения В (г („— Ь) р= е — Ь (е — Ь)з Можно привестк еше примеры модельных потенциалоа Ф(6), допускаюших элементарное аналитическое рассмотрение задачи построения уравнении состояния (например, Ф(~) = й(с — а) /2 — потенциал упругой силы). Однако основная проблема одномерного газа — это учет взаимодействия с соседями, следующими за ближайшими (т.е. расширение границы взаимодействия Во за пределы величины 2Ь), и исследование возможности двухфазных состояний. Это сложная задача уже для Во < ЗЬ даже при модельной структуре потенциала Ф((), В следующей задаче мы остановимся на допускающем точное рассмотрение противоположном случае — на одномерном газе из жестких сфер с модельным взаимолействием.
имевшим радиус Во -» сс, — молель Каца-Уленбека (М. Кас, О. Е, ОИепЬесь, Д. Нетшег, !963). Задача 23. Пусть взаимодействие частиц одномерной классической системы описывается потенциалом Каца — Уленбека + со при Е<Ь, Ф(о= ь — (/ — е (/л' = -иР(Е) при Е > Ь. Получить уравнение состояния такого газа в предельном случае Во — оо, используя для этого случая предельного дальнодействия идею саиосогласоваиного поля (си. гл.
3, 8Е п.д)). Решение. Энергия взаимолействия частиц (теперь взаимодействуют все частицы друг с дру- гов!) записывается в виде и и-! и-т и-! и-о / о Н,(() =~Ф((„)+~Ф((„+(„„)+2 'Ф((„Ч-(„„+(„,з)+...=~~ ~,'Ф~~ ~(„„ =! э=! э=! о=о =! =о Из самой структуры равновесной функции распределения по величинам („...,(„при заданных параметрах д, р, й( Н!(О+ р 2.6.1 мн((„...,(н; д,р, Аг) = С ехр е й 4. Одномерный классический газ из упругих варов 407 следует, что она удовлетворяет уравнению дигн 1 ) аФ(г») ' а(Ф(Е»+Г»„)+Ф((», +4»)) аб» а + — (Ф(б»-г + 4»-~ + (») + Ф(Г» г + (» + Г»ьг) + Ф((» -ь с» и + 4», г)) + .) = О.
Е» Если проинтегрировать это уравнение почленно по всем бн кроме Г», то получится первое уравнение цепочки для частных функций распределения ш~((») шг(с» 4» ~) и т д: а,(Е,) 1Г аФ(Ы~ ! Г а -~..) ав„+в(,р+ аб,,l "г(~»)+в 3 аб, 1 Г аФ(4», -ь В») + — / шг((»-н (») В(»-~ -ь ау а(, 1 ГГ дФ(б»-г + (»-г + Е») + — ц шз(б»-г,(»-н (ь) 44»-г 4(»-~ + " = О в.о аб» Используем теперь власовскую идею (см, гл. 3, 41, п. д), а также том 3, гл. 5, б 5) введения концепции самосогласованного поля, положив в предельном случае дальнодействия шЯ„,(„„) = ш,(4„)ш,((„„), шг(( ь с г) й ш а)ш (ь )ш (ь г) и т.д.
(при Ло — оо кажлая из частиц 1т' взаимодействует со всеми остальными практически одинаково, поэтому относительный вклад соселней частицы или нескольких соседей в это общее поле оказывается ничтожно малым). Тогда написанное выше уравнение станет замкнутым нелинейныи уравнением относительно функции ш, (с); аш,(4) ! Г аФ(4) 1 а( в », ае Г +-(р+ — ) ш Ю+ ~Ф ! » .—,'-«(/"'."'-«'" "//""'~"'-' -"" "'. 1=' Обратим теперь внимание на особенности мцаели взаимодействия Ф(~) при 4 ) Ь, позволяющие довести начатое рассмотрение до конца. Это — притяжение, интенсивность которого с ростом ралиуса взаимодействия йь -ч оо обязана стремиться к нулю (а противном слуяае мы получили бы нефизический неаддитивный вклад во внутреннюю энергию системы Й и»11Г(Л вЂ” 1)Г2 1т" ).
Во-вторых, этот потенциал благодаря экспоненциаяьной структуре обладает свойством мультипликативности, Ф(бг'+ (г) = -иуг((г)уг((г), откуда сразу следует дФ(4+4') дФ((), дФ(4+4'+Е») дФ(Е) дб дс ' аб д( и т.д. В связи с этим уравнение для ш,(с) запишется в виде — -(.+ — (~~ ° »1»ю.,кг»г ° » у1нгз. (»г~г) "] ~. и =» дшг(~) 1 1 аФ(() г' д( в ~ а( Обозначая буквой: д входящий в это уравнение интеграл ш ш »» д = / уг(()ш,(Г) 4( = / е г/ »ш,(Д д( = / е и юя, (4),!4 ( / ге (О 4( 1 е » ь е и суммируя схоаяшнйсл степенной ряд г 1 1 + 2д + 3а + ... = (! д)г 408 Зодочи и дополиишельиые вопросы я алове 3 получаем уравнение для функции вг(4), по структуре совпадающее с уравнением для случая взаимолействия только ближайших соседей, но с перенормированным исхолным взаимолей- станем Ф(4) = Д~т дв,(4) 1 / 1 дФ(() т .
— + — 1 р+ — ! в, (4) = О. дб В ~ (! — о) д4 ) Его решение, нормированное на единицу, имеет вид " (--'( +-'-" )) в,(0= „ ,/ехр(-1 (р(+ -,—,'~ф) ) 44 Подставляя эту функцию в определение величины а = ехр(-4/Щ, мы получим трансцендентное уравнение лля этой величины. Однако в пределе Яе оо оно сразу решаетсш в случае Яа ль В/р имеем 1 — а+ / (! — е с яь)вг(с) 44~ = — / бв(с) Вс = — = —.
( е л/ я, я,' Подставляя эту величину в нормировочный интеграл, получаем при Ве Ъ В/р с х / ехр ~-- ~рс+ — гФ(с)) ~ 4(~ = / ехр (-- (рс — —,+ — гб)~ 44= .а ь = ехр ~ —,~ ехр ~ — -(р+ — )Ь), откуда уже следует уравнение для величины в: и = ( = - — 1п ~ ехр 1 - - ~рб+ — Ф(Д/1 ~ в( +ь, ег / ) / р+ 1/Ь/вг е а или, записывая его в привычном виде, Такиы образом, мы показали, что традиционное уравнение Ваи дер Ваальса (предложенное им как приближенное феноменологическое уравнение состояния трехмерного газа в 1873 г.) является точным уравнением состояния лля одномерной системы упругих шаров со специальным видом пх взаимодействия в пределе 29е — оо (зтот результат был получен Канем, Улеибеком и Хеммером в 19ЬЗ г, значительно более сложным путем). Следовательно, эта одномерная система имеет и критическую точку, и при В ( В„имеет двухфазные состояния типа газ — жидкость.
Заметим, что авилу асимптотической мультипликативности функции вл(яг,..., сл) 1 2/ ~ Ф(6Н1+рИ г)+р(( )р(( г)-ь" ) — гч ФЭ »=г В пределе Яа лг В/р это дает 1 1 (/Ь с = — В+ — У~ — — —  — —, 2 Ь/ 2 е' т. е. в теплоемкость сг величина Й/Ь/ в рассматриваемом предельном случае вклада не дает, сг = (дс/дв)„= 1/2. 410 Задочо о дололнцглельные вопросы л главе 3 Решелце.
В соответствии с условием энергия взаимодействия двух частиц, находашихся в соседних ячейках, не зависит от их точного расположения в ячейках, а определяется усредненной величиной Ф(222) = 4(/о(( — ) — ( — ) ) = 4(/о(( — ) — ( — о) ), где о/о — глубина потенциальной ямы Ленарда-Джонса.
Если обозначить буквой с число ячеек, ближайших к данной (для гексагональной плотной упаковки сфер с = 12), то средняя энергия взаимолействия /лг частиц в такой ячеечной системе будет равна Нь л« вЂ” Ф(2В) = Дг ° 2сг/о(( — ) — ( — ) ) ° учитывая теперь, что в соответствии со вторым началом термодинамики ( — с) =В( Р) -Р=В'( — 1-) и что с = з/г В+ У~,/дг, получаем, что при ц = сопя! '$ =-(-::),=-'(-') — ""(- (-.")'-'(-'")') Интегрируя это уравнение с дополнительным условием, чтобы при 1/о = О уравнение состояния «свободного* ячеечного газа определалось формулой для р/в, полученной в предыдущей задаче, получаем р = (, ч-4с(/о(2( — ) — ( — ) ).
Изотермы, соответствующие этому уравнению в области о > ио, имеют вандерваальсовский внд. так что лля рассматриваелюй модели возможны двухфазные состояния типа газ-жидкость. Расчет критической температуры системы предоставляется читателям. 1> 5 б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
