Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Дискретная система Изинга Задача 26. Рассчитать статистическую сумму для одномерной сипены Изинга Н= -1~) ргпг+, — И~~ сг;, где (рм сгз,..., огл) — независимые величины, имеющие два значения ог — — ш!. Решение. В случае 1 = О (идеальная система магнитных моментов ш(1 е поле Н) имеем, суммируя по каждому из сй независимо, ( )о глл л Я= ~~~ ехр~ — ~ ~е,~ = П ~ сыр = (2с)з-) '. .."аи ьо ~<вял «.«ш Этот результат не зависит от размерности системы и нам уже достаточно хорошо знаком по решению парамагнитных и двухуровневых задач (см. гл. 2, задачи 14, 15 и др.).
В случае гл = О сумма Я для одномерной системы считается достаточно элементарно. Действительно, суммируя только по ел, получаем ( 2 л-2 Я= ~~ ~ ехр~ -~~~ 'егггоы+-огл-~ггл~ = ~ ехр~ -~ оге„,) 2с)з(-ол,). ао ..«а <«а=ю а~,...~ а ~ ош 4! 1 й 6. Дцслрегпипл спсшеип Изингп Замечая, что с)т (1 гвв,/Р) = сй (1/Р) при любом значении пл, = ж), и продолжая последовательное суммирование по пл „пл, и т.д., получаем окончательно Я = 2(2сЛ -) = (2с)т -) Удельная теплоемкость этой системы равна 2 График теплоемкости, приведенный на рис.!56 (он имеет тот же вид, что и полученный результат в гл.
2, задаче 45), не обнаруживает никаких особенностей. Для решения задачи в обгцем случае Ь р' О, 1 Ф 0 свернем одномерную систему в кольцо, так что плы — — и, (мы избавляемся при этом от необходимости учета концов цепочки — теперь все узлы цепочки равноправны), и представим е лм в виде произведения 0 0,5 (,0 В/с1 в, в Рис. 156. График удельной теплоемког стн одномерной нзннговской цепочки П яр 1( пп 1+ (и Ьп )~ с взаимодействием ближайших сосе- Р 26 дей (с = 2) е случае Л = О, Для сравнения пунктиром приведен график Каждая экспонента вэтом произведении — зто магри- точного решения Онсагера дпя кваца в и-представлении дратной (с = 4) нзотропнай (Е„ = 1 = 1„„= 1) решетки, нмеющега екР '(в + в Е ехР '( в 3 логарифмическую особенность а точке ехр~--~ в) ехр ~1 — 6) (в в) а статистическая сумма — это шнур от произведения ДГ таких матриц; Я = ~ ~(п,(Р)пт)(пт~Р)пз) ..
(пл$Р)г~) = ЪрР вьвь,«в Так как известно (см., например, задачу 33), что шнур матрицы не зависит от представления, то можно подсчитать сумму диагональных элементов в том представлении, в котором матрица Р, а следовательно, и Рл диагональны: Тогла в случае Л, > Лт г = Вр(Рл) = Л", + Лл = ЛГ (Г + Ы ) й Л~, (Л,) и всл проблема расчета Я сводится к определению максимального собственного значения матрицы Р. Заметим, что в двумерном случае, когда мы имеем не одно колечко из ДГ спинов, а Д' колец из взаимодействуюших друг с другом спинов (плоскап решетка ДГ х ДГ как бы свернута в цилиндр, концы которого можно замкнуть, образовав тор), то матрица Р— эта уже не конструкция 2 х 2, и приведение ее к диагональному виду с целью опрелеления максимального собственного значения представляет из себя очень сложную комбинаторноалгебранческую задачу, которую Онсагеру и ппследуюшим авторам удалось решить только в частном случае 6 = О. В трехмерном случае ситуация представляется пока безнадежной.
412 Задачи и дололншпельные вопросы к алове 3 В олномерном же случае есе лостаточно просто. Уравнение на собстаенные значения матрииы Р (мы обозначили Х = 1/В, Ь = Ь/В) имеет вна Нетривиальное решение лля («р«««р,) сушествует, если детерминант или Л=е спГгх еьгспгд — ету+е ". Сохраняя только максимальное значение Л,, приходим к результату, впервые полученному Изингом в 1925 гс Я= е сй — Ш емшзй'-+е згГ') /Пг Гг Ь В В Задача 27. Рассчитать первые члены иизкотеипературного и высокотемпературного (в масштабе Ве = с1, где с — число ближайших соседей у узла решетки) разложений теплоемкости изинговского ферромагнетика, полагая для простоты д = О.
в„ д' или Я Г =ехр — (1+е П +...) (2В3 (при определении следуюших поправок нкао рассматривать возбужденные состояния с двумя и более перевернутыми спинами и при этом учитывать, что они могут быть ближайшими соседями или не быть ими). Отсюда следует, что удельная теплоемкость а расчете на узел решетки при  — О экспоненииально стремится к нулю (рис.!57): 2 С =  — ( — В!и Я~!~) = ( — ) е мтд+ .. Пусть теперь В 2я В„.
Разложим е ««г в ряд по 1/В и учтем, что средние от нечетных степеней е, в случае Ь = О равны нулю. Поэтому В среднем от произведения двух сумм по ближайшим соседям отличными от нуля будут слагаемые с г = й, Х' = 1 и г = 1, 7' = й, поэтому зто среднее будет равно 2с2гГ.
В среднем от произведения четырех сумм ненулевые акеалы далут слагаемые, в которых асс пары ложатся Рис. 157. График теплоемкости изирговской системы. Сплошными яииияии изображены участки, расчет которых поддается регуяярими методам (глу- чаи В«КВе и Вл«ре) Решение. Рассмотрим сначала случай В < с1. Энергия основного состояния (все «гг = +1) равна Е!« = 1 = -РГ(сХ/2).
Энергия состояния с одним пе(с! ревернутым спином отличается от Ьц на величину е, = Е, — Ея — — с. 2Х. Степень вырождения этого первого энергетического уровня равна дг. Поэтому имеем, сохраняя лишь первую низкотемпературную поправку, ( 1 гп1 Кй = ехр — 2У (1 +Хе ' ~ + ...), (2В 413 8 6. Дискретная шсшема Изинга на одни и те же два узла 67, (этот вклал равен 8сдг), и те, в которых суммы группируются парами: (п„пз) и (пз, п,); (п„пз) и (пни,); (он ох) и (пи из). Полагая Ьг » с, получаем Я = 2 11+ -(-) 2сЖ+ — — (-) (8сДГ+ 3(2сЬГ) )+...~ = 81,В7 24 161,В) Е'+(в) ('+ ") 4 +2(в) (4 ) + "1= '"РС(в) 4 +"'1) или Я па = 2 ехр ( ( — ) — +... ), откуда слелует для удельной теплоемкости при В » Ве (см.
рис. 157) Расчет суммы Я в случае Ь Ф О, а глюке определение следующих членов разложения в обоих случаях произвшится аналогичным образом, технически он несколько сложнее (больше слагаемых и разных сочетаний расположения узлов). 1> Задача 28. Определить в области д» Вв = с1 наиагничение изинговского ферроиагнетйка, помещенного в поле Н, и связать полученный результат с законом Кюри — Вейсса.
решение. Полагая часть Не = -Ь 2,'лз в изинговском гамильтониане основной и разлагая 1 в ряд, как и в предыдущей задаче, экспоненту ехр (-,' 2 шаг ~, получим, учитывая, что (л Яа = Ч ~ехр ( — ~ о;~ = (2сь — ), лг =гп -, Мь-,ы и удерживая только первую поправку по Вц/В, Я= (2сл-) (1+ — -<Л'-+...), откуда Я = 2 сь — (1 + - — 1Ь вЂ” Е... ) .
оли ЬI 1ВО зЬ дх 2В д Для удельной свободной энергии имеем ьт в,ь 7 = -В1л Япл = -В1п (2сл -) — — Ш'-+... = -В1л2 —— В~ 2 В 2 хв) 2 1,В7' откуда для намагниченности с точностью до линейных членов получаем и ау ь в„ь ь ~ ве~ ь — =- — Й вЂ” + — — = — (1+ — ) са (367 аь в в в в(, в~ в — в.' Последняя формула и есть закон Кюри — Вейсса (см. том 1, задачи 18, 25, 63), в котором нам удалось связать температуру Кюри Ва с постоянной взаимодействия узлов Т и числом ближайших соселей Ве = сХ (естественно, что мы пол уч или обоснование феноменологического закона Кюри-Вейсса лишь в высокотемпературной области),- ' Заметим, что метолика решения этой и предыдущей задач не чувствительна к размерности системы: в полученных нами формулах она входит только через число соседей с, при ОпрЕдЕлеНии сЛЕДУюших поправок тип решетки и ес размерность будут сказываться у:ке более конкретно.
По полученным приближенным результатам невозможно судить о том, имеется ли 414 Задачи и доиолниглельные вопросы к слове 3 в системе фазовый переход в области 'В Ве (и какого он типа) или его нет. Кстати, точное решение для одномерной цепочки (см. задачу 2б), не претерпеваюшей фазового перекода, в низко- и высокотемпературной области, как легко показать, удовлетворяют полученным выше результатам. При этом необходимо соблюдать осторожность, рассматривая случай В/1 О, так как пользоваться полученной для случая Ь = О в задаче 26 формулой л = (2сй1/В)» уже нельзя: в низкотемпературном пределе Л, = 2сЛ1/ — Лг — — 2зЛ1/В, и пренебрегать отношением (Лг/Л,) по сравнению с единицей нельзя. Уточняя расчет, имеем в случае низких температур -ны ха'т г -чие Я=Л, +Л, =е ~ (1+е ги ) [1+(! — — / ~ =2е' г ~!+!У +Ф'...), 1+ е-ггм 1+ е-гие откуда следует с учетом 2Н» ы 1 Я'~ =е Л(1+с "Л+...), что уже полносуью соответствует низкотемпературной асимптотике л'Ш, полученной в задаче 27, если учесть, что для линейной цепочки с = 2 и Вь — — 21.
1> Задача 29. Рассчитать статистическую сунну для ферромагнитной изинговской системы из гт" магнитных моментов, взаимодействующих друг с другои с одинаковой интенсивностью 1 =.У/)ч вне зависимости от их взаимного расположения. Решение. Имеем в соответствии с 52, и, в) 1,1 1 1,1/ Н = -- — ~ ега — Ь~ ~Ш вЂ” — — — — — (~~~ ог) — Л~ 'о,. Фг' Если ввести величинУ Ь = 2 аг/Ф, то статистическУю сУммУ можно записать в випе 1 /гг1 1г /у и= " ехр( — — + — — + — Ъ~. 2В В 2 В гю»," х1 Учтем, что т.е. в экспоненте ценой введения дополнительного интеграла по переменной е можно снизить степень Ь~ ло Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
