Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Тогда сумма по состояниям (ан... га») распадается на произведение независимых сумм по каждому из гг;: е~~ = ~ ~ехр г(а ~~ а;~ = П ~~~ е~' = (2 оп а) !Ю слх) ! с..лв1 ! ыг а=ы и мы получаем Гт гы 7 1 те' л ж г/ — е 1! ехр ! — — — +/У!п2сЛ | -е+ -/! Ве = г/ — е Г 11 е * г!е. У 2яВ ,/ ( В 2 1,В В)) !/2ггВ этот интеграл в пределе 1у - сю берется с помощью метода перевача (см. гл. 1, зааачу 3). Обозначая точку перевала, в которой ы'(е) = О, квк ее = е, сразу получаем лхя величины о уравнение е=!Л ( — е+-) 4!5 Е 7.
Решетчатый газ и все другие уже знакомые нам по 42, и. в) и эалаче 63 нз тома ! формулы цл «» /Х Л~ 1 / = — В!п Я ' = -В»е(п) = -В1п 2 сЬ ( — п -ь -~ + -Хя ~в в/ г и т.д., в которых величина критической температуры определяется как В« — — .7, 5 7. Решетчатый газ Задача ЗО. Определить уравнения состояния р = р(В, и), с„= с„(В, и) для идеального решетчатого газа (си. 4 2, п. е)-4)). Решение. Система представляет собой объем У, разбитый на И' ячеек, образующих правильнув решетку (обьем каждой ячейки ю = У/И' ассоциируется с объемом, занимаемым самой молекулой), в которых размещены (не более, чем по олной) лг частиц, лгц = и'ю.
Для идеальной модели частицы, находящиеся в разных, даже соселних узлах пространственной решетки, не взаимодействуют друг с другом,,7(т,/) = О. В соответствии с формулами б 2, п. в)-4) имеем для изннгоаской суммы идеальной системы Хр»(В,Ж;Л;0)=(е~ +е Г) =(2сЬ— В/ лля средней «намагниченности» узла М В)п Я,гГ Л ш= — = ' =!Л-, И« ВЛ/В В -2«г« или е 1+ гп Так как в случае Х = О имеем Ее — — И'Л, то Ь" = е л»МВг«(В, И", Л; 0) = (1+ е эые) /У= — (1 — пг), ш=1 — 2 — =1 — 2-; е -эь « 2 ' И' о' 1 — ю/о Поэтому имеем для большой статистической суммы атак как РУ = -П = В 1иь и У = И"ю, то мы сразу получаем искомое уравнение состояния В / ют р=- — !п (1 — — !.
Для определения внутренней энергии учтем, что У = П+ р/У ю — В!и Я, и поэтому цт Иг ця Р ц рю Р о / ю~ 12Л / (2гтВ) ~ '\ Лг Е Г = — 1и Ь вЂ” — = — — — — = — — !и (1 — — ) + ~ — + 1и (ю 1У В ю В В ю ~ «) 'СВ ~ (2ЯЛ)э Учитывая, что ь зависит только от ю/о, получим лля удельной внутренней энергии идеального газа ,В)игцл, В / Р'т В, З с=В' =В' — (--~ =В' — 1ив"'=-В.
ВВ ВВ~ В/ ВВ Таким образом, в схеме решетчатого газа без взаимодействия частиц удалось учесть талью конечность объема самих молекул. Никаких фазовых переходов в такой системе нет. 14 э««. !4 Учтем, что число частиц лг задано, и мы можем исключить параметр гп = йг (или л) вместе с входящим в него химическим потенциалом с помощью соотношений 416 Эодочи и дополнишвльные вопросы я главе 3 Приведенные выше несложные результаты можно получить, и не прибегаа к аналогии с изинговской системой, Действительно, записывая статистическую сумму Я для решетчатой модели газа а виде (2 я ко о) зд ') Е „,/Д =( ."~ ° и учитывая, что число способов разместить /У частиц по Иг ячейкам равно Иг!/(!У1(И' — !У)1), а интеграл по внутренности каждой ячейки равен ее объему ш, получаем для конфигурационного интеграла ответ Иг! /У!(И' — !У)! Используя бюрмулу Стирлинга для аппроксимации факториалов, получаем г.
= — В (1--~ ( -ш), (2кт)П з з/ ш'! Ы" (2яд)з 1 „ / откупа через удельную свободную эйергию / = -В !ил'гл следуют все полученные выше результаты, Сх Задача 31. Определить уравнение состояния р = р(В,и) и удельную внутреннюю энергию е = е(В, и) для решетчатого газа с взаимодействием в приближении Брегга— Вильямса (см. 5 2, и. в)). Решение. Обозначая, как и в 52 основного текста (см. п, а)-4)), 1 2,,7(7)уи) = с.7= Во, .7(1,7') ш — 7/(~гг — г1~), 4 имеем в брегг-аильямсовском приближении 1и Я, (В, И', гн,у) = 1п !(2 сй ( — о + -) 77 — — о, где параметр и = М/И" удовлетворяет уравнению и =!и( — о+-), которое с учетом /У-частичности системы !У = И'(! — а)/2 можно записать как ехр ( — 2 ( — о ч- -) ~ = 1+ехр ~ — 2( — о+ -) ~ = Учитывая, что !и ( = РИ/В = Игры/В и что Еи — — И"(/з+ Ви/2), получаем Рю Еь /В Д'! В, ! В /ЛГ~ — = — — +1п 2 ой ( — о+ — /! — — о' =1п — — -4( — /1 .
В ВИг ~ В В/ 2В ! — 7У/ЪГ 2В ~йг/ Введем привычные для уравнений состояния обозначения ! Ь= за = —, а = 2Вом = ш-2) .7(7',уо) = — ~ (77(г — гй)1ю И"', ' 2 (аналогия с полученной в $1, п. г) для непрерывной системы величиной а = — 77 !!7(72И4яЕ ~И 1 Г 2 2,/ 4)7 8 7. Решетчатый гпз очевидна). Тогла получим )ш а з 1 1 р+ — ) = В-!п —. о') Ь 1 — Ь/о Это уравнение состояния было предложено Планком (М. Р!апсК 1908).
Для получения выражения лля удельной свободной и удельной внутренней энергии исключим яелнчину а = 1 — 2ш/о нз химического потенциала, учитывая, что /Во Лз р ш(2ятВ)хп Во ш/о -2( — о В -) = — +!п + 2 — '(1 — е) =!и ~ В В) . В (2яй)з В 1 — ш/о Тогда для статистической суммы газа Я получим )г ) 1и о рш р о ! 2В» ш ш(2ятВ)я~ ш/о 1П Я Г = — 1л~ц — — = — — — — = — 1п — + — — Ш1п — 1п б/ В ш В В ш 1 — ш/о В о (2яй)' 1 — ш/о Отскша следует / = -В 1п Яцл и пандерваальсояский результат для внутренней энергии гд!пан~ 3 а 4=В = —  — —. ВВ 2 о Отметим некоторые характерные особенности газа, подчиняющегося уравнению состояния Планка. Это уравнение вандерааальсовского тира, допускающее при температурах нике критической двухфазные состояния типа газ-жнакость.
Критические параметры этого уравнения равны а а / 1! 26' "' 2Ь' '3, 2) (критическая температура В„р совпадает с точкой Кюри для соответствующей нзинговской системы В„„= Во), критический параметр (ро/В)„= !п4 — 1 й 0,386 (дяя уравнения Ван дер Ваальса — 3/8 = 0,375), а приведенная форма уравнения состояния Планка имеет внд 1! 1 р а.(1п2 — — ) + — = т!п г) грг р- 1/2 Повеление этой системы в области критической точки сходно с поведением вандерваальсоаской системы (см.
том 1, задачу 53) н характеризуется теми же критическими нндексамн а, Д 7, б, что и изннгоаская система в приближении молекулярного поля (см. том 1, залачу 63). (Сопоставив величину ( дяя решетчатой модели газа с суммой Яг». мы тем самым показали, что их поведение в области критической точки Во всегда однотипно.) Мы получили выше результаты для неидеального решетчатого газа в приближении Брегга — Вильямса (нли «молекулярного» поля).
Но это приближение является точным яля системы, в которой кажлая частица взаимодействует с одинаковой интенсивностью со всеми дРугими (см. $2, п. в), а также задачу 29). Мы доказали это на уровне изингоеской магнитной системы. В паннам случае в этом убедиться совсем просто. Так как мы имеем 1 1 1 — 3(у,уо) =-ш -~~, '1(!П-гг !) ш-ш)Р -(/о — -~'-(/о, 2 ! го 2 2 то мы должны положить глубину ямы равной 2а и=-— ов )г (бесконечно слабое прн )г -» оо притяжение бесконечно большого радиуса действия). Тогда имеем гзг(1зг — П / 2а ~ б/ Н| —— ~~~ Ф(!г, — г!)) = ( — — ) = -а— гй« 1»Я и поэтому, обозначая результат для статистической суммы идеального решетчатого газа, полученный в задаче 30, как Ео. имеем В=Я»ехр( — — ДГ~ = [, (! — -) (о-Ь)ехр( — — ~~ 418 Задачи и дапалношельные вопросы к главе 3 откуда через удельную свободную энергию / = -д!пЯН следуют все полученные выше результаты.
Заметим, что появление в уравнении состояния конструкции р+ а/а~ (вместо р) не связано с решетчатостью системы; в непрерывной системе в.случае Ф(В) = -2а/У = сопз( мы будем иметь то же постоянное значение Н„а следовательно, ту же дополнительную экспоненту в Я. Ь 5 8. Некоторые общие математические формулы, необходимые при выводе вариационной теоремы Боголюбова Задача 32.
Пусть А(Л) — некоторый заданный каантовоиеханнческнй оператор, зависящий от параметра Л. Показать, что правило дифференцнрпвания оператора ел(л) по Л определяется формулой > л(л) л(л) / -л(л)л ( ) л(з)г ! е Решеное. Рассмотрим оператор ел(">, где ! — действительный параметр. Этот оператор совпадает с заданным прн ! = 1. Имеем — — е ' = — А(Л)е > =А(Л) — е + — е л(л> д .ил ~ д жлх дА(Л) л(ли дЛ Аа дЛ дЛ дЛ Полагая д лр>г зри у( ) дЛ получим, переставляя операции дифференцирования по Л и по ! местами и умножая почленно слева на е ( >, для неизвестного оператора У(Ц дифференциальное уравнение 'П' (!) -лр>г дА(Л) лр>г 4! дЛ с начальным условием У(0) = е л("" — ел(хк = — 1 = О. дЛ ~,, дЛ Решая это уравнение, имеем сразу ( У(() = // е л("> — ел( Иаг, дЛ е откуда при ! = 1 уже следует формула, приведенная в условна задачи. Отметим, что У(1) = дА(Л)/дЛ только в случае, если операторы А(Л) и дА(Л)/дЛ коммутируют друг с другом (или если это просто некоторые классические функции переменной Л).
Ь Задача 33. Показать, что величина БРА не зависит от выбора представления, которое используется для подсчета сунны диагональных элементов оператора А. Решеное. Предположим, что квантовомеханнческие состояния интересующей нас системы мо:кно рассматривать в двух представлениях, связанных с испольюванием палных и ортонормнраванных базисных функций (а = (ф„(л)) и гр = (гр (э)). Раскладывая какую-либо из функций р,'(е) по функциям р„(л) р (е) = ~ ~() (е)(п((т(а), 419 р 8.
Ворцоцпонноя глеорема Боголюбова получаем ляя оператора преобразования от прелстакеения к представлению (и((г~а) = / Ф.'(е)гр'( ) Ае аа(гр,(е) гр.(еИ. Нетрудно убедиться, что У+(г = 1, гле крестиком обозначено эрмитовое сопряжение, и 1— оператор умножения на единицу (в матричном представлении оператор 1 — зто матрица, вдоль главной диагонали которой стоят единицы, на всех других местах — нули). Тогла имеем Зр А ьт ~~ (гр,", Алга) ) (а((7~(и)(ф„', Агры)(и')(Г)а), а ллш Но так как в силу унитарности оператора преобравзвания (и'Ща)(а)У+)и) = (и')УУ "(и) = гз(и — и'), а (уг„, Ар') = ~ Ь(п — й)(гр„, Агры) = ~ (ф„'ч Агр„) = Зр А, а л' что и доказывает независимость величины Бр А от выбора представления, в которое этот шнур считается: Бр А = БРА = Зр А. (а) (лГ Отметим здесь же (не вынося в отдельную зааачу) часто используемое свойство операции Бр: Бр(АВ) = ') (и~АВ(и)= лг (и~А)и)(и(В(и)г-~ (~п~В)и)(и~А~и) иЯ(и'(ВА~|й) =Бр(ВА), л ла л л л' т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
