Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. величина Зр (подразумевается, естественно, что рассматривается случай, когла составляюшаа Зр сумма является опрелеленной, т.е. не расходящейся) не меняется при проведении циклических перестановок операторов, стоящих под его знаком. Зр(АВС) = Зр(САВ) = Зр(ВСА) . Сл Заддчв 34. Для' шнура от экспоненциального оператора е"+"л, где А и В— самосопряженные операторы, в 'общем случае на коммутирующие друг с другом, доказать свойство выпуклости Вз ВЛ2 — Зр ее+ад > О.
Решение. В соответствии с правилом дифференцирования экспоненциального операто- ра (см. задачу 32) имеем — Зрел"хв = Зр / Ат ем~хюГ' 'гВеГ~+"вГ" = Бр(Ве~ "~) дЛ о (мы сделали циклическую перестановку операторов под знаком Бр н взяли интеграл по г), р2 (л: -~.- - л."- а,~. ЗЛз" Пусть ~и) — собственные функции оператора А+ ЛВ с собственными значениями еа = (п!А -1- ЛВ!и), Воспользовавшись этой системой функций для расчета шнура, получаем ! 2 — Зре~ "~~ = ~ (и!В(пг) / елл ип(из~В!п) е'"'от = ~ ~)(и(В~ги)( > О, ли а ли 420 Задачи и дололниаельлые'вопросы к главе 3 что и требовалось дохвзать. Заметим, что мы воспользовались заесь свойством эрмитоаости оператора В и свойством выпуклости экспоненциальной функции (е* — ет)/(х — у) > О. Из полученного неравенства вытекает важное лля нас следствие, так как /(Л) — /(0)— Л/'(0) > О, если только д~/(Л)/дЛ' > О, то Яре~" > Яре +ЛБрВе = бр(е (!+ЛВ)). Задача ЗЗ.
Доказать свойство выпуклости экспоненты (е ) ) е(Р), где Р— самосопряженный оператор, а угловыми скобками обозначено усреднение по некотороиу распределению й'! Бр(Ф)т» . брйг Решение. Рассмотрим величину /(Л) (,лг) л!г! ( л!г-!гп) где параметр Л определен в интервале 0 ( Л ( 1, и ее производную о/(Л) ((Р ( ) мг-!гп РЛ В точке Л = 0 имеем /(О) = 1, д/(Л)/дЛ1„ю О.
Замечая, что вслелствие свойства выпуклости экспоненциальной функции х ехр (Лх) > х пйи Л ~ 0 и любых х, и обозначая /„собственные значения оператора Р— (У), соотвстствуюшие собственньзм его функциям (и), будем иметь ((Р— (Р))е ! ! !!) = ~ /„е П(п1йг1п) ~~! (п1Щп) > > ~ /л(п1й'1и) ~ (и!й'1и) = ((Р— (Р))) = (Р) — (Р) = О. Такиы образом, мы получили, что при Л > 0 величина д/(Л)/дЛ > О, т.'е.
/(Л) являетса возрастающей функцией параметра Л. Полагая Л = 1, имеем /(1/ > /(0) = 1, что и доказывает неравенство, выписанное в условии задачи. В з!лапах статистической механики это неравенство было впервые использовано Фейн- маном (К. Р Ге1лтапп, 1955) для оценки статистических континуальных интегралов. Гь Задача 36. Доказать, что для двух произвольных операторов А и В ! льл л -лгВ л~ с Решение. Используя прием, уже апробированный в задаче 32, введем оператор Г/(1) е!алая ел 1Г(1) где 1 — численный параметр, и составим дифференциальное уравнение для его части З!(1).
Имеем — = (А+ В)е! = Ае )г(1) + е !леви л! и и(~Я Ж !д нли, произвола несложные перестановки, — =е Ве )г(1), "!г(1) -л! ю ей тг(0) = 1, 4г) 5 8. Вориоционноя пшорвмо Боголюбова откуда сразу следует, что ! « Приведенная в условии задачи формула получится, если мы положим ! = 1. Отметим сразу, что е =ее «+В А В только в том случае, когда операторм А и В коммутируют друг с другом (нли вообше операторами не являются). В качестве дополнения к этой задаче заметим, что основная формула термидинимичесхай щеирии возмущений непосредственно связана с использованной выше процедурой распутывания зкспоненциахьных операторов. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Имея в виду канонический вариант гиббсовской теории, когда в экспоненте стоит оператор Гамильтона Н, умноженный на — 1/О, поло!ким А = -На/В, В = -Н!/й и обозначим Н,(г) = еи«пиН!е и«™. Нулевой гамильтониан Н, — зто, как правило, гамильтониан идеальной системы, лля которой, как мы заранее полагаем, мы можем сосчитать любые интересуюшие нас величины.
Если Н« — гамнльтоннан идеальной системы, то оставшаяся часть общего гамильтонианв Н, = Н- Н„включает учет взаимодействия частиц статистической системы друг с другом. Считается, что она пропорциональна некоторому параметру о, который, к сожалению, для физически интересных случаев редко когда бывает малым, но по целым степеням которого мы хотим построить формальное рвало!кение в ряд для термодинамического потенциала ак = -О 1п 2, а следовательно, и всех интересуюших нас в рамках равновесной теории термодинамических величин.
Чтобы опустить оператор В из показателя экспоненты на основную строку и именно на ней получить разложение по степеням О, решим полученное нами выше дифференциальное уравнение для оператора И(!) не сразу, как это мы только что сделали, в будем строить зто решение по теории возмущений в виде формального ряда по степеням О. Записывая этот оператор в виде ряда по степеням й х 1(1) =~ г„(1), (га х ! «=о (мы полагаем Н, о, 1«о"), сразу получаем дифференциальную, в из нее н интегральную связь последовательных приближений д)«(1) Н!(!) 1 — = — — (г„!(1), $г„(!) = -- ) Н!(г)У«,(г) йг, « откуда для всего оператора У(1) (он нам нужен прн значении ! = 1) получаем ! 1'т" / И(1) = 1-ь ~ ~( — — йг, / йг!... / йг„Н!(т,)Н!(г!)...
Н,(г„) = о),/ «=! а о 6 ! ! 1'!" ! Г =Е(--) — ) / й " / М ° т(Н( )Н( )" Н(.)) о) ш) «ха ' О О о где символом 7 обозначена операция упорядочения операторных сомножителей, ставших под знаком интеграла, в порядке очередности следования их аргументов г, > г! » ... г«, а фактор 1/и! появился во втором варианте формулы вследствие тЬго, что в рассматриваемой области интегрирования О < г; < 1, где ! = 1, 2,..., и, ка:кдая такая последовательность упорядоченных аргументов встречается не один раз, как зто мы первоначально получили, в и! Раз. С учетом того, что статистическая сумма может быль записана в виде Ях~ е "! =~~Г(п(е Г(п)=8ре 422 Задача и даполнаглельные Вопросы и главе 3 и полученного выше разложения дая оператора г'(1), получаем для свободной энергии ар= -В!пБр ехр ( — 31 = -В1пбрТе Ы и'(1)3 = Но + Но ) -яыо В = -Врлбро( е Ы !г(1)Бре лоГ ~ = М„' — В1п(!г(!))о, (БРГ е лмо где,4 = — В!про, Ео — — Бр(е лого) — свободная энергия и статистическая сумма лля идеальной системы.
а символом (...)о обозначено усреднение с помошью канонического распределения, характеризуюшего также идеальную систему Но. При использовании большого канонического распределения формально все будет иметь тот же внд, только вместо Н, надо поставить но — годг, а вместо ов (В, 1г, дг) — термоаинамическнй потенциал й(В, зг, Р).
Мы не будем далее разворачивать полученное чисто символически разложение оператора Р(1) и споболной энергии ак и исследовать его характерные особенности. Сушественные результаты ожидаются, естественно, не от одного-двух членов разложения по степеням д, а от суммированных последовательностей членов этого ряда. Для этого надо разработать удобную технику расчета средних (...)о, сформулировать принципы выделения главных членов в рассматриваемом приближении и т.д. Все это — большие и достаточно сложные специальные вопросы, которые обсулсааются уже врамках квантовой статистики и в программу ланного обшего курса равновесной статистической механики не вхспят.
> Звдвчв 37. Вывести основную формулу ввриационного принципа Боголюбова (см. б 2, п. д)), исходя из полученного в задаче 35 неравенства Фейнмана (ел) > е<"1. Решение. Положим, как и а предылушей залаче, А = -Но(В, В = -Н, )В, где Н = Но+Н~— полный гамильтониан системы. Желая усреднять по каноническому распрелелению, характеризуазшему систему с гамильтонианом Но, положим Фр = е амо и выберем операгор Р в виде (см. задачу 36) / в, Го ~ -ломал В а Тогда, произведя циклическую перестановку под знаком шпура, получим ! оо~=-о ( /» ..о(- — 'о- )! — '.
" "! !о *-" "- -оо1 — '.-"") ~о .-"'. с В соответствии с результатом, полученным в задаче 36, 1 "= (""-И"""- "'1У" "'= В о = Бр ехр ( — у Бр е Ы > е! 1, нчн) у „, <, откуда следует, что Но+ Н~ ) -лыо ( Н~ -лого I -лого) Бр ехр ~ — > Бре Ы ехр — Бр — е оГ Бре или, переходя к термодинвмическому потенциалу У'= -В!п Бр ехр (— ( В1п Бре- «/о ! БрН е- оГ Бре- оl В Правая часть этого неравенства представляет искомую оценку верхней границы термспинамического потенциала нк ое -В1п Я.
которую можно рассчитать на основе взятия сумм лля точно решаемой системы, характеризуемой гамильтонианом Но. 1> 423 б 9, Примеры оспользоаанол аарцаццонного принципа 59. Примеры использования вариационного принципа Задача 36. Показать, что, используя для оценки свободном шшргми гейзенберпшской ферромагнитной системы 1 Н Е йа Е л(з 2)(азад) ц где и = (О,О,Ь) и сг; = (а,*, а,".,а,'), нулевой гамильтониан На = -Ь ~~~ о; 1 (приближение эффективного поля], мы получим те же результаты, что и для изннговской системы (см.
В 2, п.д)), эквивалентные приближению Брегга — Вильямса. Рвшание. УтвеРждение очевидно, так как пРи спеланном выбоРе Не мы имеем аа = <т," = О, а,* = а, вследствие чего ага» = а, а! = аг' а,* = а' и средняя величина Й, = Н вЂ” Не для гейзенберговской системы в точности совпадет со средним от Н, для изинговской. Заметим, что представление о структуре низколежашнх оззбужденных состояний системы как об отлельных независимых переворотах спинов в узлах упорядоченной в целом решетки, заложенное в структуре Н„лля гейзенберговской системы, как показали ее исследования при низких температурах В С< Ве в отличие от изинговской системы, не имеет места: эти нарушения упорядоченного состояния начинают распространяться по кристаллу, приобретая характер коллективных возбуждений бозевского типа (с подобной же ситуацией мы уже встречались в гл. 2, $4, и.
б)) при обсуждении характера теплового движения в твердых телах; в данном случае эти возбужденна называются спнновымн волнами). Это приводит к сушественному изменению в ходе теплоемкости: экспоненциальный характер ее стремления к нулю при В О меняется на степенной. Задача 39. Рассмотреть антиферромагнитную иэинговскую систему (см. б 2, и. а) — 2)) с взаимодействием ближайших соседей: 1 Н= — !з~ а,+ —,~ 1а,азч 2>О, 2 (й вводя эффективные поля в каждой из ее подрешеток (см. рис. 139), и определить уравнения для них, используя вариационный принцип Боголюбова. Решение. Полагая в соответствии с условием 1 -Нл = -Рл ~ а~ — Рв ~~', аз В ! гле индекс ! пробегает подрешетку А. индекс у — подрешетку В, получаем для верхней границы свободной энергии, обозначив сХ = В,, 1 1 — Ф = — 1и 2 — — ! и (сй Рл об Рл ) — — ~- — Рл ) й Дл — — ( - — Да») й Дв + — й Пл й 0а !УВ 2 2~В '( 2(В ) 2В МинимизациЯ величины Ф дает системУ снмметРмчных УРавнений дла Рл и Рв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
