Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 92
Текст из файла (страница 92)
е. й ~ 0). Для фиксации состояний рассеянной частицы целесообразно ввести сферические координаты, в которых вместо модуля р = (р! используется экспериментально измеряемое изменение энергии 376 Задачи и дополниглельные вопросы я алове 3 и ччр р ччр ччй = тр(Е) ЛЕ ччй, где ччй = нп В ччб ч)р.
Если теперь отнести вероятность перехода ю ччр к единице потока падающих частиц — — (Ф~ "Ф~-Р~ "Ф~) = („й),, то мы получим так называемое дифференциальное сечение рассеяния в дифференциально малый сферический угол чИ с изменением энергии частицы, лежащим в дифференциально малом интервале (Е,Е+ ч)Е). Проинтегрировав по Е, мы, конечно, потеряем часть информации, заложенной в этом в принципе измеряемом сечении рассеяния, перейдя к более, простому так называемому угловому дифференциальному сечению рассеяния ч)чг 2я )(г Г, тр(е„— е„) (2я") Рц ю„((п(р )и )~ т(2яй) = — 2чГ ! ~~2 ю„(п2Рч)п')(п»2Рч)п) где р(Е, -Е,) /рц ! + (ń— Ем)/ —.
Рц / 2пч Еше сузим информацию, сслержащуюся в этом сечении, — рассмотрим частный случай, когда энергия падающей частицы значительно больше ее изменения в результате рассеяния; » (с физической точки зрения этот случай реализуется, когда энергия нелетающей частичзвч значительно отличается от умноженных на й резонансных частот, характерных лля данной статистической системы). Тогда р гв рц, треугольник импульсов р = рц + в, изображенный на рис. 146, становится равнобедренным с углом рассеяния чр при вершине, а величина модуля импульса передачи определяется простой формулой Ф о = 2рц мп —. 2 В этом случае квазиупругого рассеяния для углового сечения получаем < 2 ччй 4 чбч( ч) (Рчрч) ( )(Рчрч )ч где чертой сверху, как всегда, обозначено среднее по каноническому распределению Гиббса. Сразу отметим интересную особенность полученного выше основного для рассматриваемой проблемы результата: характеристики налетающих на систему частиц, собранные нами в фактор 1(е), полностью отделились от среднего (рчр+), являющегося характсридуикой только самой статистической системы, поэтому для намерения этой величины во веем диапазоне ч) мочкно использовать разные налетающие частицы и т.д.
Структура этой формулы сохраняется и при рассмотрении рассеяния электромагнитного излучения, напри)чер, рентгеновского: вместо квантовомеханических плоских волн. включаюшик необходимый )чвм фактор е'иГ", в расчете будут фигурировать электромагнитные волны с такой же экспоиентой, вместо р'/(2т) булат стоять величина рс = йцч и т. д. Значительно усложнится струщура фактора 1(ч)) за счет учета взаимодействия излучения с молекулами системы, поляризенионными свойствами излучения и т. п., но в статистическом факторе (рчр+) ничего при Этбм ие поменяется.
Сважем тепеРь измеРЯемУю в пРинципе величинУ (Рчр,) с паРной коРРеллционной функцией Е2(Л). Учитывая аааитивиую структуру фурье-комйоненты плотности рч и упрощая 81. Парная корреляционная функция и харакглерисгпики сиопемы 377 уже разработанным нами способом двойной интеграл по г, и гз, имеем (р р~) = 2 ~ ехр ~ — ц(гг — г )~ = 1к <л!ку<л д = Лг+2 ~ ехр~ — ц(г; — г )~ = Л/ (1+ — / ехр) ! — '(Рз(Я) в!К) ° 1кв<зкл Чтобы в написанном выше интеграле мы могли бы, не зааумываясь, перейти к сферическим координатам, учтем, что фигурируюшее у нас среднее определено для всех ц, кроме точки ц = О.
Поэтому, чтобы снять кажушееся вследствие стремления на больших В парной корреляционной функции к елинице неблагополучие подынтеграяьной функции, вычтем нз написанного выражения величину ДГ-/! ехр! ! — У в!К! = ДГ -(2хй) о(я)~ =О. е Ь вео е вес Тогда получим формулу (Р Р ) Дг 1+ «хР в (Рз(В) 1) в!К), определяюшую связь через преобразование Фурье сечения йг/в!П ((р»в»в) с парной корреляционной функцией — — 1 -(Рз(Л) — 1) (рв в) дг е и окончательный ответ для дифференциального углового сечения рассеяния аа ( 1 /' ~цК( — = 1(О)Л/ ! + — ехр в — (Рз(Л) — !) о!К) = 2 =1(О)/у 1+ — ~ ~з!и — — ~(Рз(Л) — 1)4кЛ И 1'1, д// д/ о Множитель а скобках, стоящий в написанной выше формуле для сечения после величины Дг1(а), называют струкхвурним фактором статистической системы Яв = »гров//в/.
Сделаем небольшой качественный обзор экспериментальных результатов, определяюших вил парной корреляционной функции системы. Произведя обработку данных рассеяния, мы можем в принципе получить структурный фактор Я (мы здесь совершенно не касаемся практических трудностей такого измерения). ХаРак)еРнал его зависимость от й = Оао/Д, где лов лиаз)етр молекул системы, изображена на рис. 147 для ТС случаев, когда взаимодействие Ф(В) достаточно удовлетао!)ительно аппраксимируется потенциалом Ленарла- 0 5 10 15 д=йо( /д ДжоНса (см.
гл. 1, 51) и потенциалом твердых сфер (полученные с помошью численных расчетов для этик Рис. 247. Завхсимасть структурного случаев кривые близки к экспериментальным), Пере- фактора от безразмериога модуля иисчег вдвинутого на единицу структурногофактора я, — 1 пульса Оде/д для случая взаимок койрлинатному представлению, выполненный, осте- действия частиц па закону Лаиардаственно, невРУчнУхг, опРеделлетвеличинУ(Рз(В)-1)/е Джонса (л-)() и системы из твеРдых Нд~)оис.'148'представлен характерный график парной сфер (7С) карралшцюнной функции лля жидкого аргона, взаимодействие частиц которого традиционно сопоставляется с потенциалом Ленарла-Джонса, при Хемпературс д/По 0,8 (Уо — глубина потенциальной ямы притяжения, лля аргона равняв . 120 К) и плотности Б = в!оз/е 0,85 (ао гд 3,4 /в).
На этом же рисунке отмечены 373 Зодочи и дополяишельные вопросы я главе 3 Рг(г») 3 1 2 3 4 »2 !э/л Рис. 148. Парная яаррелвцяанная функция Рз(Щ для системы с взаимодействием частиц яа за. кону Леяардаэджанса (талстая линия). Характерные изменения графика, связанные с повышением темпера»урм системы я понижением ее плотности, показаны тонкими линиями 1 и 2 соответственно . характернме слвиги в поведении парной корреляционной функции при изменении герма динамических параметров системы В и ш при повышении температуры системы (тонкая линия 1) интенсивность осцилляций Рз(22) ослабевает, максимум несколько сдвигается влево! при уменьшении плотности и = 1/е (тонкая линия 2) — тоже уменьшается, причем при достижении плотностей, характерных для газового состояния, зти осцилляции почти совсем размываются.
Численные расчеты функции Рз(М) дают такие же результаты. Следует отметить, чта структура функции Р,()1) лля жидкой н газообразной фаз однотипна, что при постепенном изменении параметров В и е никакого скачкообразною изменения функции Рз(»!) не происходит; точка фазового перехода газ — жидкость определяется не внешними особенностями графиков функции Р»(22), а условием равенства химических потенциалов, определяемых с помощью функции Рз(22) или с помощью полученного с помощью той же Рз(!!) уравнения состояния р = р(В, е) (см.
том 1, гл. 1, 4 б, и. г)), Поведение же системы в области критической точки (а следовательно, и вид функции Рз(22) лля системы, находящейся в околокритическом состоянии), когда величина 22„, достигает макроскояи» ческих масштабов, мы здесь, как уже отмечалось, не рассматриваем. Это будет сделано позже в специальном разделе. г> Задача б.
Выразить через корреляционную функцию Ь(В) = Рт(гс) — 1 и связанную с ней интегральным соотношением Орнштейна — Цернике функцию с()с) коэффициент изотермической упругости системы (-др/до)е и дифференциальное угловое сечение быстрых частиц на системе»зи/г!П. Решение. Пусть даны две функции Ь(г) = Ь(г) и с(г) = с(г), где г = (г(, достаточно быстро убывающие при г -» оа, и интегрируемые в остальной области, связанные интегральным соотношением ! Г Ь((г3 Г»!) = с(/г~ гз!) + Ь(/г/ гз))с(!г» гз!) гз называемым обычно уравнением Орнштейна — 11ернике (1..
Б. Оггцге1п, Е. Еегя11е, 1914). Эта и»пегральная формула, симметричная по отношению к замене функций Ь -с, определяет функцию с(г), если залана Ь(г), и наоборот. По отношению к фурье-компонентам этих функций Ь» — / е™Ь(» ) ег, С» —— / е™с(г) ог 380 Задачи и дополлиглельные вопросы к главе 3 Задача 7. Выразить взаимодействие частиц статической системы друг с другом Н1 через величину ргрг+, среднее от которой измеряется на экспериментах по рассеянию (см. задачу 5). Решение. Определим фурье-прелставление и(д) потенциала взаимодействия лвух частиц си- стемы друг с другом: Ф(Н) = — / ехр с — г — ~ и(5) ац = — ~ ехр 1( — г — )1 и(е). (2ел)з,/ ( Ь ) У ( Ь ) Тогда будем иметь Н, = ~'.~ Ф(гг — гз) = - ( » К~ Ф(г; — г,) - ~ Ф(0)) = 1/ багет<и ~< кл ~к~ел 1<«л — и(Ч) (,» ~ ~ехр ( — 1 — '~ ехр ~г — '~ — » 1),' ч !<ил ! <г цл 1шкл или, учитывая определение величины р, (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
