Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Мы рассмотрим реализацию этой идеи для самого простого случая: изинговская система, как в п. б), — ферромагнитного типа; взаимодействие узлов — только с ближайшими соседями; внешнего поля нет; первое приближение Бете — центральный узел ьь, окруженный его ближайшими соседями. Пусть состояние центрального узла ьв характеризуется числом сг;„= +! (спин вверх) и в его окружении находятся й узлов (из общего числа ближайших соседей с) с тем же значением е и (с — Ь) узлов с противоположным. Центральный узел взаимодействует только со своими ближайшими соседями, и энергия этого взаимодействия равна для ферромагнитной системы — 1Ь+1(с — Ь), 1 > О.
Учет' взаимодействия узлов, составляющих оболочку центрального, с остальной системой Бете предложил произвести на уровне идей молекулярного поля: энергия их взаимодействия с этим полем будет равна -ЬЬ+ (с — Ь)Ь. Число способов реализовать состояние рассматриваемой группы с обшей энергией — (1+ Ь)Ь + (1+ Ь)(с — Й) равно — „,,',, (число способов выбрать Ь элементов из общего их числа с). Если же сг;„= -1 (центральный спин вниз), то энергия всей группы узлов будет равна: -(-1+ Ь)Ь + (-1+ Ь)(с — Ь), а степень вырождения — та же, что и в предыдущем случае.
Вероятности укаэанных состояний группы узлов будут равны соответственно Р (Ь) с' ь(а+(э) -(с-ь)(а+р) д Ь!(с — й)! Р (Ь) -ь(а-р) (с-ь)(а-р) 1 с! е е 9 Ь!(с — Ь)! 5 2. Введение а алал2иапическуа л2еорию дискрел2нык сисксем 347 где мы обозначили рапи удобства а = 1/В, 12 = 12/В, а нормировочный множитель, определяемый из соотношения с 1»а,'> (Р,(й)+Р (й)), ь=о равен с учетом формулы бинома Ньютона (еа+р 1 е а р)с 1 (е-а+р 1 е» р)с (2 с12 (а + )у))с 1 (2 с12 (а 12))с Исходя из чисто физических соображений, положим, что для каждого состояния решетки (ани2,..., сгм) среднее относительное число частиц со спином вверх по всей системе д/ /Ф совпалает со средним числом частиц с тем же олином по рассматриваемой группе из центрального узла и его ближайшего окружения: Ф+ ~' [2сЬ(а+Д)[' К ~ ~ [2сЬ(а+ Я)[с+ [2сЬ(а — Д)[" а среднее по всей системе число связей (++).
т. е. число 2т„с/(сК/2), — со средним числом таких связей в рассматриваемой группе узлов: с — ВРс(й) = -е~~~[2с)2(а+13)[' ' = сК/2 с к=о 1 1 е-2»-2р х/ Величина ВГ+ непосредственно связана с параметром дальнего порядка, Ка/2у = (Ь+ 1)/2, а К+с — с параметром ближнего порядка: 4К»+ 4К„ — 2~-2Р с Я = — ~ — — + + 1 = — 2(Ь+ 1) +! = Гп (а+ Я) — 1(1 — Гп (а+;9)) Кс/2 К 1+,-2 -2,2 (Сразу отметим, что теперь при Ь = О у нас Я ~ О). Величина 12 = й/В и Ь непосредственно выражаются друг через друга 1у 1 1 1 + с12(а 1 ан) + ссср+ е а-р откуда следует 1 — Ь (е2+езл1 л — е 2' (1-Ь или е ,,=( 1+А 'с,1+е2 2р/' КЕ-2» Далее следовало бы подставить величину Я, выраженную через 1, в гамильтониан .сс" = -)У(с1/2)Я(Ь, а), степень вырожления состояния с заданным значением 1 определяется, как и в п. б), величиной ос(Ц, и мы получили бы возможность оценить гЛавную асимптотику статистической суммы Я по ее максимальному.
слагаемому ас(и)ехр К вЂ” Я(и,а)~ =е ' с1 1 с -,тсо 2В где сг = сг(1,В) — та величина Ь, при которой этот максимум имеет место. При этом в силу условия дис (В, и)/ди = О, являющегося уравнением для и = гг(1, В), мы не испортили бы соотношение Гиббса — Гельмгольца и получили, что удельная внутренняя энергия е = В/сс' = — (с1/2)Я(сг, В).
Все эти выклалки представляют 34В Глава 3. Статастаческал механака неадеальньгх равновесных систем несложные операции, но долгие н откровенно неинтересные (тем более что в конце своем они все равно упираются в необходимость проведения численных расчетов). Бете же использовал другой, чисто физический подход к определению параметра )у. Он предложил в качестве условия внутренней согласованности всего подхода приравнять вероятность обнаружить в узле т = то значение а„=+! с — Р,(Ь) = -(с~~~+ с а ~) ь=о вероятности найти соседа этого узла с тем же значением спина: Ь ! 1 ~ Ь(Р (Ь) Р (Ь)) [ ачд( аьр -а-р)с-! -а+В( -аьв а-д)с-1] ь=о Приравнивая зги выражения и сокрашая левую н правую части на еа' и на [2с!1(о+/3)[' '/сЕ, получаем / е-а еае-зр ч с-! а -а -зд а -а + е + е е = е + е Х еа + е-ае-эр откуда следует трансцендентное уравнение для д = Ь/В: с ! еа ! е-ае-~0 Исследование этого уравнения, которое мы проведем с помошью графического, сопоставления изображенных на рнс.
143 левой и правой его частей как функ- ций,д, в общих чертах повторяет исследование В(с 1)а ~ трансцендентного уравнения для намагничения в теории магнитного поля Вейсса (см. том 1, У(а В! задача б3 и рис. 124; напомним, что зто же ре- шение завершает исследование изннговской сив>в, стемы в приближении Брегга — Вильямса). СоВВ=Ь гласно этому уравнению и рис. 143 критическая температура Во (или критическое значение по = Е/Во), определяемая из условия д(1 дЕ(а, )у) ~ — нлн 1=(с-1)йао, Рнс. 143. К графическому исследованию днн днм уравнения первого приближения по Бете для эффективного поля Ь = Вд равна (в отношении к критической температуре по Брепу — Вильямсу, равной сЕ) В, 2,, 2 В области В > Во сушествует только одно решение д = О, соответствующее случаю отсутствия дальнего порядка Б = О.
Это решение дает Е сЕ Е Я=йа=й — >О, е=- — й-, В ' 2 В' де (1/2с)(сЕ/В)1 дВ сй '(Е/В) 5 2. Введение в опаюнспаческую глеорню днскреглныл снппем 349 (заметим сразу, что полученная формула для теплоемкости при В » с1 дает согласованный с высокотемпературным разложением результат С = (с1/В)т/(2с)). В области В с Во уравнение имеет два симметричных решения (тривиальное решение )т = О ие соответствует устойчивому состоянию системы), отличаюшихся друг от друга знаком и соответствуюших состояниям системы с отличной от нуля спонтанной намагниченностью, равной в единицах максимальной намагниченности (1т㫠— 1тг )77тг = о-.
Так как для функции 7(а,(3) точка (3 = О является точкой перегиба, то в области В < Во, когда (! <К 1, уравнение для )7 принимает вид Р В(1 Р+ 31 В)73 Р ' Поэтому его решение, как и в полуфеномеио- В логической теории фазовых переходов Дан- ВВ 2 лау (см. том 1, вб, п.и)), приводит к конеч- 2 ному скачку теплоемкости, т. е.
приближение Бете, как и приближение Брегта — Вильямса, описывает фазовый переход, связанный с исчезновением дальнего порядка, как фазовый переход второго рода. Не уточняя палее деталей этого перехода, приведем только графики теплоемкости, получаемые в этих приближениях (рис.!44). Конечно же, изображенное О В,с1 на этом рисунке температурное поведение те- Рнс.
244. характер температурной зависипдоемкости сушественио ие дотягивает до Л- мости темплоемкости итинтояской системы кривой. Отполуфеиоменологическихтеорий согласно приближениям Бреста — Вильямса не следует ожидать подобных триумфальных (1) и Бете — плйерлсл (2) (число ближлйретультатов. Однако анализ изииговской си- шил соседей с = 12) стемы, проведенный иа основе простых в техническом отношении и вполне «физических» приближений Брегга — Вильямса и в особенности Бете показал, что если фазовый переход в дискретной системе связан с исчезновением при критической температуре дальнего порялка, то «крутизиа» графика теплоемкости в области критической точки и ее поведение в надкритической области сушествеиио определяются блпжиим упоРядочением в системе.
Отметим, наконец, что с увеличением числа соседей с точно обсчитываемая группа узлов становится все обширнее и физическая концепция Бете представляется все более убедительной. В пределе же, когда узел то одинаково взаимодействует со всеми узлами решетки (этот условный предел мы рассмотрели в п. в) и задаче 28), результаты теории Бете переходят в результаты Брегга — Вильямса, являюшиеся в этом пределе, как мы показали, точными. Действительно, при с — 1т имеем 1 .7 с — 1 !+а!(тД Во с1=.7, а= — = — — О, 7(а„9) = — !и — ~,7 т(т )7 В ВФ ' 2 ! — а!(т,б и тт(!этому, обозначая В = Вотт/В, мы получаем уравнение тт = 1!т(Ва7Во), совпадающее с уравнением для параметра дальнего порядка (или намагиичения) в приближении Брегга — Вильямса (или Вейсса).
д) Вариационный принцип Боголюбова Можно показать, что полученные в предыдуших разделах этого параграфа результаты, основанные частично иа полукачествеиных соображениях и оценке 350 Глана 3. Опатисюичесноя мех«нино 'неидеальных роаноаесных с«своам максимального слагаемого статистической суммы изингоаской системы, являются следствием .аариационного подхода к оценке этой суммы.
Так как яариационная теорема Боголюбоаа, лежашая а основе статистического аариацнонного принципа, имеет обшее значение и используется не только а применении к лискретным системам, докажем ее здесь а обшем виде (Н. Н. Боголюбов, 1956). 1) Осиянная формула аариациоииоге принципа Боголюбояа Рассмотрим статистическую сумму Я=~~ е "~ =~ (п1е ~ 1а)=Бр(е ~ ) и в Нв А= —— 1 В Л=1, где Я вЂ” некоторый параметр, не яаляюшийся оператором (или, как говорят, С-число), который мы выберем несколько позже, и используя свойство выпуклости величины, установленное а задаче 34, Бр(е~ + ~) ) Зр(е ) + Л Бр(Ве"), имеем после умножения левой н прааой частей этого неравенства на величину е ~ >О Брехр — ) е Яре ' — Бр е Нв+ ~~ 1 -г(вв' -«,~в Н В -ныв в В Определим теперь величину Я из условия максимума правой части этого нерааеистяа. Это дает срН, -«в1в Я= -нем и мы получаем искомую осноаную формулу для оценки свободной энергии системы ,"вт = -В 1и 2 сверху: Ыг= -В!обре (Ф = -В1пбре " + БРНе- 1в Бр е-«в/в Правая часть этого неравенства Ф определяет верхнюю границу свободной энергии У'(В, У, а, Н) и является функцией параметров разделения )у = (Д, Д,...) гамильтониана Н на части Нв(13) и Н1 (В) = Н вЂ” Нд(13).
ИсследУЯ на осноае общих пРинципоа условия термоди намичес кой устойчивости состояния системы (см. том 1, $6), мы показали, что прр фиксированных переменных (В, У, о, Ф) равновесное термодинамическое состояние системы соответствует минимальному значению потенциала йг. Величина Ф(В, У,а,Х;)У) лежит выше Х(В, У,а,М), но наилучцьая оценка свободной энергии получится тогда, когда зти параметры р будут оввределены из условия минимума верхней границы свободной энергии, причем условие Ф(В, У,о,К;)у) = гп1п определит наилучший с термодннамической точки зрения выбор параметров )5 =,б(В, У, а, Лг). (полученная выше с помошью энергетического представления, Н1п) = Е„~п), запись суммы Я через шнур от экспоненциального оператора е «~в улобна, так как согласно задаче 33 она универсальна а любом прелстаяленни) и разобьем оператор Гамильтона Н на дае части Н = Нв + Н1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
