Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Тогда, вводя числа заполнения узлов и; = (1+ аг)г2, имеем для энергии взаимодействия Н1 частиц лруг с другом по сушеству изинговский гамильтониан антиферромагнитного типа ! 1+а;1+а. Н, = — ~ ~Ф(т, т') 2, ' 2 2 мву ! — .7(т', т')(1+ а;+ ау+ а!ау), с т тку В1 В2 ВЪ Вт где Рис.
242. Ступенчатая аппроксимация 1 потенциала взаимодействия частиц в 7(1, З) = — -Ф(т, 1) > О. модели решетчатого газа (В, — ра- диусы координационных сфер для кваПреимушества решетчатой модели перед ячееч- дратной решетки) ной неоспоримы — она полностью микроскопическая с самого начала. Однако необходимо сразу отметить и ее физическую ограниченность. В ячеечной модели число ячеек совпадало с числом частиц Лг, объем ячейки являлся термсдинамической переменной, а внутри ячейки частица все же двигалась (свободно или нет — зто уже детали), поэтому импульс частицы сохранял свое первоначальное значение.
В решетчатой модели объем ячейки иг фиксирован, его величина выбирается, по сушеству, равной собственному обьему молекулы -,яго, поэтому и число ячеек (или число узлов решетки) 4 3 Вг > 1У. Частицы в узлах решетки считаются неподвижными (изменение микроскопического состояния — это их перескакивание из узла в узел).
При этом, введя для описания микроскопического состояния дискретное пространство коорлииат, мы сохраняем прежнюю форму для интеграла Яо, при подсчете которого импульсы рн...,рл традиционно считались непрерывными от минус до плюс бесконечности и распределенными в соответствии с максвелловской формулой иг(р). Понятно, что, сделав координатное пространство дискретным, мы должны соответственным образом преобразовать и импульсную часть фазового пространства (р, д), но это уже достаточно сложное дело, и мы будем простолушно полагать, что решетчатая аппроксимация касается только конфигурационного интеграла 9, сохраняя известную нам из теории идеальных газов часть Ео в неприкосновенности.
Итак, в решетчатой модели газа микроскопическое состояние системы определяется набором чисел (аг) = (гн ац..., ав ), подчиненных условно 1т -частичности: !1Г = ~~ 1+ ггт 2 г'=1 Заметим, что говорить о перестановках индексов частиц теперь просто бессмысленно, и мы должны снять множитель 1/1т'1, появившийся при переходе У -» Я„„ 340 Глава 3. Статистических механиха неидеальных равновесных сиса|ем (см. гл. 1, 56). Имеем лля канонической суммы Ям= ~~! ) ма е где символом (а;)ч отмечено то обстоятельство, что набор величин (сгн аз,..., а„) должен удовлетворять условно Ж-частичности. Чтобы снять это условие, перейдем к большой статистической сумме, введя химический потенциал системы р в качестве термодинамической переменной: Обозначая 1 ~' / (2япзд)з!з 'т х,= — и («в»( „, ) «1;х»з«), 1 / / (2япзд)з/з 1 !з = --( р+д!и ( за — 2~ 1, (2,й)з ) ) .;.2з 'Зиь)) (в этих выражениях суммы по у берутся фактически только по ближайшим соседям некоторого фиксированного узла зв), мы получим связь большой канонической суммы г,' со стандартной изинговской суммой Ям.' г, = е л«~ Яг,(д, $У, !ь; Х).
Формальная «намагниченность» системы д1пс М = д — = И'пз, д!ь как и в предыдущем случае, является величиной заданной, так как:среднее значение а; = пз входит в условие д!пс ! 1д!пС И~ Л= = -Иг — — — = — (1 — пз), др/9 2 2 д!ь/В 2 которое должно использоваться в качестве уравнения для химического потенциала р. Ограничиваясь приведенными выше примерами, отметим, что существует целый класс дискретных систем, формальное описание которых отличается от;описания исходной магнитной изинговской системы лишь обозначениями.
Позтому основная проблема теории — это расчет изинговской суммы Яг,(В, зз1, Ь;2), пересчет же результатов на язык лругих физических систем совершается уже на уровне макроскопической термодинамики. б) Понятие о ближнем и дальнем порядке В дискретных системах пространственно упорядоченных узлов. которые ь(ы рассматриваем в данном параграфе, само микроскопическое собтояйие, связанное с заполнением этих узлов числами а; = ж! или и; = 0,1, также может быть охарактеризовано определенной степенью упорядочения. С качественной точки зрения это упорядочение можно разделить на два типа: возникающее в локальной $2.
Введение е сттяистичеогую теорию дискретных систем 34! области около каждого узла решетки и то., которое может проявляться во всей системе в целом. Первое получило название блилсний нарядак (з!зоп гапКе огдег), второе — дальний нарядак (1опя гапйе огдег). Ближний порядок как явление характерен не только для дискретных систем. По своей прироле — это поляризационный эффект: узел с определенным значением а, = +1 или -1 вследствие корреляции со своими соседями окружает себя преимущественно частицами с тем же (лля ферромагнитных систем) или противоположным (для антиферромагнитных систем) значением а (в бинарном сплаве атом сорта А окружает себя преимущественно атомами сорта В и наоборот).
Зта избирательность по отношению к выбору своих соседей приводит к упорялочению, но упорядочению локальному. Оно существует в принципе при любых температурах, как всякая корреляция сказывается на термодинамических характеристиках, но оно не связано непосредственно с фазовым переходом, происходящим в системе при температуре В = Еь. Для систем рассматриваемого типа характерным является также существование при температурах, меньших некоторой Вх, называемой точкой Кюри, дальнего порядка.
Именно его исчезновение при б — бь и связано с упомянутым выше фазовым переходом. На языке изинговского ферромагнетика зто упорядочение состоит в том, что даже при Н = О, т.е. когда нет внешнего фактора, способствующего установлению в системе отличной от нуля намагниченности М, за счет взаимодействия узлов друг с лругом (т. е, только за счет внутренних причин) устанавливается общее направление магнитных моментов — спонтанная намагниченность, или дальний порядок, величина которого и характеризуется отличным от нуля средним значением Уг = а Ф О, Этот возникающий спонтанно коллективный эффект с феноменологической точки зрения можно связать с существованием внутри системы некоторого общего для всех узлов молекулярного поля, которое как бы выстраивает магнитные моменты в определенном порядке и которое этими же упорядоченными спинами и создается. Эта идея молекулярного поля была введена чисто феноменслогически еше Вейссом (Р.
Фе)зз, 1907) для ферромагнетика, затем Неелем (1.. Нее!, 1932) для антиферромагнетика в каждой из его подрешеток и Бреггом и Вильямсом (% Впгяй, Е.%1!!1ашз, !934) при рассмотрении процессов упорядочения в сплавах типа замещения. Рассмотрим на примере ферромагнитной изинговской системы с взаимодействием только ближайших соседей, как явлении упорялочения можно описать количественно (антиферромагнитная система и бинарный сплав рассматриваются аналогично, но чуть сложнее вслелствие наличия двух подрешеток).
Пусть микроскопическое состояние решетки запано, т. е, задан набор чисел (ацам..., ан). Тогда, используя наряду с изинговскими символами аг = ж! также и числа заполнения (п+); = (1+ аг)/2 и (и ); = (1 — а;)/2, можно записать общее число спинов с ориентацией вверх зч+ и вниз Н как Ф+ = ~~~ (и+)и Ф = ~ (и ); = ~~ (1 — (и+)г) = 2Гà — РГь, а число пар соседей с олинаковой ориентацией спинов вверх Жьь, вниз У и с противоположной ориентацией Ж~ как 1 У = — ~~~ (пь);(и+)зз 2 йй 342 Глава 3.
Сшовиавочесноя механоно неодеольных роеноеесньи соопен ! 1 Лс У = — ~~> (и );(и ) = - ~> (1 — (п~)< — (и.„)у+(и+);(п~),) = — — с)т'., +У.„.„, 2 ' 2 ' ' 2 (О) ОЛ йг+ = ~~ (и+)ь(и )у = ~~~ ((и+); — (пь);(пе).) = с))Г+ — 2)У,+, ОУ) бу) где мы учли, что общее число узлов, число ближайших соседей у каждого узла и число связей ближайших соседей в системе равны соответственно 1 Фс Е!=Я Е!=с -Е1=— 2 2 ! (Оь) (О) Для того чтобы охарактеризовать дальнее упорядочение численно, введем параметр дальнего порядка Х, равный средней по системе величине преобладания числа )т~ над Л: 1 з ))г„, — Ж 2))㄄— Ж Х= — Го;= + =, — 1<Х <+1. Параметр ближнего порядка Я можно определить как баланс числа упорядоченных друг по отношению к другу соседних пар Л и Л и числа неупорядоченных по спинам ближайших соседей )У~, отнесенный к общему числу связей ближайших соседей в системе: 1 1 2у++ + дг — Ж 4Л~+ — 2с)у., + загс/2 Я= — — ~ опт;— — !<Я<+!.
Фс/2 2 ' Лс/2 Жс/2 (О) Заметим сразу, что энергия системы для простейшей изинговской системы с взаимодействием только ближайших соседей выражается через параметры Я и Х (или числа ))г„+ и )'т'+) сразу: 1 /сХ ~9= — х~',; — ь~',=-м( — 8+Ш) = дй ! /! = -41))г„+ 2(1с — )ь))У~ — ( -с1 — )ь Л. 1,2 Но величины Х и Я (или ))1~+ и Ж~), выражаясь сами через заданное состояние решетки (он оз, он), не независимы друг от друга.
Для основного состояния они согласованы: когда М, = ))г (или Л = Л), то )т „= О и Л = О (или Ф~+ — — О), поэтому значение Х = 1 влечет за собой 5 = 1. В общем случае связать параметры Я и Х друг с другом или подсчитать степень вырождения энергии лля состояния систе- ' мы с заданными значениями Х и Я представляется задачей огромной трудности. Ее ' решение было бы эквивалентно определению главной по Ж асимптотики изинговской суммы Ят,(О, Ф, й; 1) (см. гл. 1, задача 25). К настоящему времени эта задача точно решена только лля одномерной системы (Е. 1з!пй, 1925, см. задачу 2б) и лля двумерной решетки в частном случае )ь = О (Е.
Опзаяег, 1944). Послелнее решение не только чрезвычайно интересно, но и уникально в статистической механике: Онсагер показал, что в отличие от одномерного случая в двумерной изинговской решетке происходит фазовый переход Л-типа с логарифмической особенностью теплоемкости в точке Кюри О = Оь. Решение этой задачи очень сложно. Онсагер использовал комбинаторный подход, другие авторы приходили к его решению несколько иными путями, но сверх результатов 1944 г.
до сих пор не продвинулся никто. Мы не будем 5 2. Вввденов в оватоояочвскую глеврою доскрвглнык соплам 343 злесь повторять зто несомненно красивое, но все же очень сложное чисто математическое и имеющее специальный характер исследование. Трехмерные же дискретные системы исследуются только с помощью приближенных методов. Мы рассмотрим здесь только два из них, которые являются, во-первых, традиционными, во-вторых, качественными, т.е. достаточно иллюстративными с физической точки зрения, и, в-третьих, «всегемпературными», т. е. охватывающими область и д « с1, и д > сХ, и область д ° с1, в которой они хотя и качественно, но все же описывают фазовый переход от упорядоченного состояния с Х, ~ О к неупорядоченному с Х = О (принципы построения низко- и высокотемпературных разложений мы уже обсудили в гл, 2, д 3; в применении к изинговской системе они использованы в задачах 27 и 28). в) Приближение Брегга-Вильямса По своему физическому содержанию это приближение является еще одним примером использования идеи самосогласованного поля в теории кристаллического состояния (мы рассматривали этот вопрос в п.е) предыдущего параграфа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
