Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Обобшая это рассуждение на трехмерный случай, получаем, суммируя сх-функции по всей решетке (К;), »»го=»»»»о»в»»»оо»...=х, »г,— в)»в~~; —,„., »":"::: » ЗЭ1 5 1. Йагссичясляе идааяалыа сасвгемм Р2(гр г2) = Р2 1(гнгт)+бГ~ (гнг2)+... = ~~)" азб(г, — К;)'б(г2 — К.)+' гг) ~Е2Р Для определения неизвестной пока величины 1/(2л) используем уравнение для первого по В приближения, которое в несколько сокращенной записи будет иметь вид Учитывая действие б-функции и снимая интеграл по г2, мы получим, что оба слагаемых, входящих в первый член, совершеннц одинаковы, Далее, в силу симметрии решетки (К2) и симметрии потенциала Ф по отношению к своему аргументу сумма по узлам, окружающим узел К,, д2Ф(кг — К,) =О, дл, длл если только 29;а а.
Наконец, используя свойство б-функции 2"'(х) б(х) = -2 а(х) б'(х), снизим на елиницу порядок производной от потенциала. Тогда получим 1 д2Ф(К; — Ку) дб(г~ — Кг) д й~ (дЛ) длв ' +~ д"б(" Ш2 ! откуда, учитывая симметрию самой б-функции, будем иметь д2Ф(К.) (дЛ;)2 уев 1 гяо Этот результат полностью соответствует физическому смыслу коэффициента х, являющегося характеристикой той параболической ямы, которая создается в окрестэиостях точки г = О полями симметрнчно окружающих ее неподвижных в ланном рриближении узлов. Подставляя теперь полностью опрелсленную структуру лля ь(г — к;) в функцию Р2~ (через Р, Р, ), получим, сразу учитывая симметрию по отношению к замене индексов 1 2, Н, = — ~ Иг~ Иг2 Ф(г~ — г2)Ю~ ~ — 2 б(г2 — Ку) = 1' е2 дзб( К,) 2е2 / 2й (дга)2 2яу а 1 = - ВйГ - ~ Фаа(К1) = Лà — В, уае откупа 2(ля внутренней энергии следует известный классический результат гармонического приближения б = 21гве+ Зйгб.
332 1Ъава 3. Саотипличесхоя нехонино неидеальных равновесных сисюен В идейном отношении метод непосредственного температурного разложения, как мы видели, является упрощенным вариантом рассмотренного перед этим исследования интегральною уравнения для функции Ь(г) (не учтена даже в гармоническом приближении аиизотропия эффективного потенциала а(г), определяющего функцию сх(г), само поле и(г) определяется как создаваемое пространственно иеразмазанными соседними частицами, упорядоченными по узлам (Кг) и т.д.). В первом приближении он дал, откроаеиио говоря, очень мало — только закон Дюлоига и Пти.
От следующих приближений, связанных с сохранеиием более высоких производных от б-функции в аппроксимации сз(г), следует ожидать учета аигармоиических эффектов, однако уже при сделанных потерях получить достоверный их вклад в термодинамические характеристики кристалла оказывается достаточно сложно, даже если оставаться в рамках мулевого приближения теории самосогласояаиного паля д(гогз) = О. 5 2. Введение в статистическую теорию дискретных систем В общем обсуждении проблем теории твердого тела, проведенном нами в гл. 2, 54, и. б), мы уже отмечали, что в целом ряде случаев динамика микроскопического состояния твердого тела включает ие только движения, связанные со смешениями узлов решетки, ио и дискретные изменения состояний, которые могут происходить в каждом из узлов этой решетки. Если эти дискретные изменения в узлах ие зависят друг от друга и ие зависят от движений самой решетки, то их учет проводится иа уровне теории идеальных систем (см.
гл. 2, $ 3 и 4). Если же оии связаны друг с другом, ю это в некоторых системах может проявиться макроскопически настолько заметно и мастолько характерно, что становится возможным говорить об определенном классе явлений, обязанных сяоим возникновением такого рода взаимодействию узлов. В частности, этот вид микроскопического движения становится определяющим при физическом и теоретическом осмыслении причин появления бесконечных Л-выбросов теплоемкости и других явлений, характерных для фазовых переходов, происходящих в системах при сохранении рассматриваемой структуры кристаллической решетки. Интересуясь теоретическим объяснением подобных аномалий, мы будем в связи с вышесказанным рассматривать достаючно идеализироваииую и формализованную, ио физически все же осмысленную модель твердого тела. Во-первых, будем считать, что тепловое движемие кристаллической решетки (которая, как и раньше в гл.
2, предполагается идеальной в геометрическом понимании) отделилось как в динамическом, так и статистическом смысле от внутренних движений ее узлов, т.е. ие только гамильтоииан системы распался иа две независимые части Н = Нги,, + Н, „,, но и термодинамические величины (термодииамический потенциал и все получающиеся из него характеристики системы) тоже представляют собой сумму независимых частей, например С = С + С,„„. Это позволяет рассчитывать вклад в термодинамические характеристики, обусловленный внутренними движениями узлов, полностью игнорируя их поступательное движение (часть С „, при этом полагается как бы уже известной).
Во-вторых, мы будем полагать, что внутренние состояния каждого (теперь уже «неподвижного») узла меняются дискретно (как мы увидим дальше, эта дискретность ие обязательно связана с кваитоваииостью внутренних степеней свободы каждой частицы), поэтому, как следствие пространственной фиксированиости узлов, и взаимодействие их друг с другом будет ступенчатым, т. е. 5 2. Введение в ояатистичесную теорию дискретных систем ззз тоже будетдискретным по своей интенсивности (при этом мы не исключаем взаимодействия частиц с внешним полем, которое вследствие дискретности их состояний тоже будет дискретным по величине). Рассмотрим несколько примеров таких наиболее часто исследуемых дискретных систем (н в пространственном понимании, и в динамическом), в которых дискретность внутренних состояний (н дискретность взаимодействия друг с другом) является наипростейшей — включает только две возможности (мы увидим, что исследование даже такой в конструктивном плане простой модели в теоретическом смысле представляется достаточно сложным и включает целый ряд нерешенных проблем принципиального значения).
а) Примеры дискретных систем 1) Модель ферромагиетика Рассмотрим правильную пространственную решетку, в узлах которой расположены атомы, имеющие электронные оболочки. Их внешние электроны при соответствующих условиях (в металлах) могут потерять свою индивидуальную принадлежность, образуя свободный электронный газ во всей системе в целом (такую возможность мы рассмотрели в гл. 2, 5 2, и. в)), внутренние же электроны пространственно локализованы — они связаны со своими узлами кристаллической решетки. Предположим для простоты (более сложные случаи рассматриваются аналогично), что имеется только один внутренний электрон в в-состоянии. Его нескомпенсированный магнитный момент равен собственному моменту электрона (з = Дсг, где )з = еп/2тс — магнетон Бора, а е = (ин1, и1г1, ай1) — известные спиновые матрицы Паули.
Так как мы не интересуемся какими-либо другими движениями данного 1-го атома, то будем определять внутреннее состояние 1-го узла решетки квантовым числом а,.' = — вт = А1. Взаимодействие магнитного момента Ез; с внешним полем 11 вв П = (О, О, Н) нзобразится как Ц = — Ег;Н = -~)Но;. Взаимодействие же узлов друг с другом определится главным образом не прямым спин-спиновым взаимодействием, а (как в квантовой теории молекулы водорода) будет связано с перекрытием электронных волновых функций, относящихся к различным узлам, и возникновением помимо классического кулоновского также и обменного взаимодействия узлов, знак которого существенно определяется взаимной ориентацией спинов рассматриваемых электронов. Так как оператор спинового обмена, введенный Дираком, имеет внд Р(сг„гг ) = (1+ а';и )/2 (собственные значения этого оператора для параллельной и антипараллельной ориентаций спинов а; и и, как легко показать непосредственно, равны +1 и — 1 соответственно), то взаимодействие 1-го и т'-го узлов можно записать как ЕЕ;, = сопи — 1(г; — гу)(ют;гг .), где Е(г, — г.) — величина, пропорциональная обменному интегралу.
Заметим теперь, что так как обменное взаимодействие определяется интегралом перекрытия электронных функций, то оно оказывается существенным только для ближайших соседних узлов, а так как расстояния между ними фиксированы, то это взаимодействие 1(г< — г ) для каждой координационной сферы (из которых важна по существу только первая, включающая ближайших соседей) превращается в константу, и мы приходим, суммируя это взаимодействие по всей решетке, фактически к однопараметрическому гамильтоннану, который при сохранении только операторной по (о';) = (а „..., ~гн) части' можно записать в виде 334 Глава 3. Святнапнческая механнкп неидеальных рпеноееснык сыппем или, в случае учета вжтимодействия только ближайших соседей, я ;1Г = — 15Н ~~г о'; — -1 Я(гггсг.). 2 ! (91 Этот гамильтониан определяет так называемую гейзенберговскую модель ферромагнетика (% Ие(зепбегй, Р.
Гг(гас, 1928). Наряду с моделью Гейзенберга в теории дискретных систем рассматривают и ее упрошенный вариант: если спиновые векторы тг; заменить на их я-компоненты (з1 гг; ав ггт = ж1, то мы получим уже феноменологическую модель, предложенную Изингом (Е.(з(пд, 1925), с гамильтонианом и е" = — ГзН ~ тгг — — ~ 1(з,,у)(ити ). ьм гу в котором квантовых операторов уже не осталось, есть только числа (ей = Ы), разбросанные по узлам данной кристаллической решетки.
В дальнейшем своем рассмотрении мы будем в основном ориентироваться на модель Изинга как более простую. В связи с тем, что помимо набора (ггт) микроскопическое состояние более ничем не определяется, при рассмотрении систем Изинга и Гейзенберга несколько деформируется и сама терминология: никто уже не вспоминает, что по узлам решетки расположены атомы с электронными оболочками, говорят, что в узлах пРостРанственной Решетки находЯтсЯ магнитные моменты (т< — — (тггт, котоРые могУт иметь две ориентации и взаимодействие которых с полем Н и друг с другом определяется написанными выше формулами для,тг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
