Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 41
Текст из файла (страница 41)
50) и т.д., и модель илеального газа ни в каком приближении не соответствует этой существенно неидеальной ферми-системе. Рис. 50, Характер генлврээурного поведения теплоенкости металла э области низких тенлератул. Тенлоенкость крипэлличлской решетки с и В; теллоемкость электронного гаэк э нормальном состоянии (нрн В > В,„) В В: теллоемкость электронного газа э сверхпроводящем состоянии (лри В < В,„) с„, е лГэ. В точке В = В,ч конечннй скачок тепло- емкости и фээоэнй переход 2-го рода 166 Глава 2. Идеальные сисогеиы в соашисшичесхой иехонихе Рассмотрим, как этот естественный с обшей точки зрения результат связан с процедурой Π— 0 в общих формулах лля идеального бозе-газа. Обозначим Л = -р > О.
Тогда лля любого р, включая р = О, 1 пр = О. ехр (-~~~в — -~ — 1 Спасти подожение можно, если предположить, что при й 0 Л 1 й в-о Тогда пРи РУЬ О все пр - О, адлЯ Р = 0 1 пе =; !1/, е1гж — 1 и здравый смысл восстанавливается. Заметим сразу, что зависимость Л = — р = й/!!/ с точки зрения предельной статистической процедуры означает, что при 9 — 0 главная статистическая асимптотика в химическом потенциале равна нулю, р„= О, так что р = -й/лг — это просто формальное соотношение. Далее, если, учитывая даже первую неисчезающую асимптоматику в параме- тре Л,, написать соотношение для полного числа частиц лг, являющееся по традиции уравнением лля р = !в(й, е), в привычном для нас интегральном виде ЛГ=~ пр= ~ и4яр др, (2кй) / р о то при Ю - О справа после перехода к интегрированию мы получим ноль, так как множитель 4яр' зарезает,нулевое слагаемое пе, чему бы оно ни равнялось.
Это рассогласование, возникающее при переходе от суммирования по р к интегралу, можно было предвидеть заранее, так как величина интеграла по р вообще не зависит от величины пе, т.е. (2яЬ)з в' о ррв Когда первое (или какое-либо другое) слагаемое в сумме по р имеет одинаковый с другими слагаемыми статистический порядок !че = 1, его выпадение из суммы не меняет ее величины в пределе 1ч - оо, когда сумма переходит в интеграл, — это выкалывание в нем одной точки. Но если это слагаемое порядка !ч, т. е. отдельно само по себе имеет порядок, совпадающий с порядком по !!Г асей суммы, то переход от суммирования к интегрированию необходимо уточнить, выделив это слагаемое отдельно, т. е. мы должны написать лг = ив+,~ пр. ров В знак того, что число заполнения и при р = 0 может принимать макроскопическое значение порядка !г/, м1а булем обознрчать его большой буквой !чв, а малой букяой 'ие по аналогии с и = лГ/!г будем обозначать плотность частиц конденсата !!Гв/р' = пе (в интегральном варианте такое выделение отдельного слагаемого выражается 'появлением в соответствующем месте (у нас — при р = 0) о-функции с некоторым коэффициентом).
167 О 2. //днаагланные кванвловые газы 2. Случай д > О. Исследуем написанное выше условие в предельном случае /З/ со, У//ч' = е = сапог. Полагая х = рз/(2пзд), имеем СО 00 4 „а,! ! 2я(2„,О)з/з хозях лв + з — +У ел/в ! (2яув)з з/ 1 к л 1 ! ° .
ел/в 1 (2яо)з е*+л/в ' 1 ' ехр1 „+-з — 1' о Из трех членов этою соотношения два (левая часть Ф и второе слагаемое правой части У) имеют аддитивную асимптотику по Ф (т. е. ° /ч '), так что в отношении алдитивной природы № — первого слагаемого в правой части — у нас остается только альтернативный выбор: либо № /з/ (как в случае д = О, когда /чо = зз/), либо№ Фа=1, 1-й случай — вырожденный газ: все три слагаемых имеют одинаковую адаптивную асимптотику, т.е.
1 № = л в ! = д/чз(й е) или л е =1+ —, — Й вЂ”. К1з д .Фтз(9, е) тогда в пределе К вЂ” оо получаем (учтя, что ео = 1) 2я(2гпй)з/2 г х!/за К =К!о+У (2яа)з / е — 1' о Интеграл по х в рациональных величинах не берется, он связан с интегральным представлением ('-функции Римана хг 'в!х. е*-1 о которая протабулирована. В частности, Г(З/2) = з/я/2, г,(3/2) = 2,612..., и мы получаем уравнение для функции 1з(д, е) в окончательном виде: 2.
(2 1У)з/з 1 = уз(й, е)+е, — 2,6!2., Выясним область существования такого решения. Пусть величина е фиксирована (т. е. залана плотность и = 1/е). При е = О, № = /ч и 1о = 1. С ростом температуры второе слагаемое правой части увеличивается как йз/з, величина уз все время уменьшаетсв, так что верхняя граница лля сушествовання такого решения определяется соотношением ~р(ео, е) = О: != в — 9~/ ~ и мы получаем, что первый случай реализуется в низкотемпе)затурной области ! 'Л з/з 4я 3'31 вз Глз / /1Г л з/з Ы к(/ и"' 13гава 2. Идепльньге системы а апатостцческой нехонцке Если мы зафиксируем температуру В, то верхняя граница существования решения по удельному обьему определится соотношением ут(В,оо) = О, т.е. вырожденный случай реализуется при Отметим полезное соотношение й« н ' ойз/т~(3/2) ( В ~'/' оо (2кьт/пз) /' ь.
Во/ ! и,= „„,, р~о. 4л . 2птд 3 Таким образом, мы видим, что при В < Ве (2лтг) (или о < оо) и /т = О возникает своеобразное «двухфазное» состояние (очень условно, так как «фазы» пространственно не разделены — нет поверхностного натяжения в идеальр ных системах, не разделены они и по частицам, известна лишь их доля 2З/о, образующая этот бозе-конденсат — существенно квантовый эффект, являющийся следствием специфической бозевской кинематики). Частицы, составляющие конденсат, не участвуют в тепловом движении системы, образуют своеобразный резерв, который с повышением температуры постепенно истощается.
Так как эти частицы неподвижны, то энергия этой части с„„, = О, создаваемое ими давление р„,„, = О, энтропия л„,„, = О (как энтропия системы при В = О), и становится понятным, почему система в целом характеризуется нулевым значением химического потенциала: так как р„„, = с — Вл+ рн = О, то вследствие общего условия термодинамического равновесия и для несконденсированной «фазы» он тоже равен нулю, т. е.
/х,„, = О. Рис. бз. Зависимость от импульса средних чисел заполнения в вырожденном идеальном бозе-газе; н — пунктирная линия; н„ ° 4крт/(2кл)' — сплошная линия; величина гтв — число частиц в конденсате, обозначена условно внсоким столбиком в начале координат.
Площадь ограниченная сверху сплошной линией, равна числу час$игс участвующих в тепловом движении Величину Во, назьгваемую температурой бозе-конденсации, можно использовать' в качестве масщтабной единицы энергии, однозначно связанной с плотностью числа частиц в системе (аналогично тому, как / в мы использовали величину ел в ферми-случае). ТоРис.бт. Зависимость оттенпера- гда для срелнего числа частиц тттп, не участвующих тури доли н» вЂ” — /тг«/Лт сконден- в тепловом движении системы, получаем достаточно сированннх частиц в внрожден- элегантное выражение ном бозе-газе Д/о = тт/гр=йт 1— (см.
график этой функции на рис. 51), и для средних чисел заполнения с р ~ О в вырожденном случае, когда р = О, — стандартное базе-распределение без химического потенциала (см. рис. 52) 169 р 2. Одноопзоиные кввнвювые газы Характер зависимости средних чисел заполнения от импульса теперь уже иной (рис. 53), теперь конденсата нет, и все частицы газа участвуют в тепловом движении. Область сушествования такой возможности по температуре установить несложно; так как ехр (Л/У) > 1, то 1 (2яй)з ( х~/з йх ( х1/з нх о 2я(2птд)ззз,/ ев+хтв — 1,/ е* — 1 о о (2вд)з в 2Я(2тдо)ззз откуда сразу же получаем В ~ Во.
т.е. лля идеального бозе-газа область состояний с !т 4 0 совпадает с областью невырожденных состояний. 3. термодинамические свойства системы, Сначала рассмотрим вырожденный случай й ( до. Так как конденсат не дает вклада во внутреннюю энергию, то Рис. ВЗ. Зависииость от импульса средних чисел заполнения в невырожденнои (В ) дв) идеальном бозе-газе; пт — пунктнрнал линия; 2 и бхьт — сплохнал линиЯ. Пложадь, ограниченная сверху сплоюной линней, равна Ф вЂ” все частицы участвуют в тепловои движении; химический потенциал и и 0 рз 4тг Р' й(2тй)з/з У хат нх 8 ~~ пр Ф ' 2тп Я (2яй)з лт 2 г' е — ! я о Вводя масштабную единицу энергии до с помошью соотношения Ф 2я(2пздо)зтз 3 3 и учитывая значения специальных функций à — = -ъ/я, ~ — =1,34! ..., получаем Г (2) ( (') / й х зд йз!з дг Г (2) с ф ~й./' ' й,'~'* 2-й случай — нввыролсйвнный гак все слагаемые в сумме ,'з, 'и имеют одинал ковый статистический порядок и ° Фо = 1, включая Ко, а значит, Л/й Ко, и химический потенциал и = -Л ~ О.
В этом случае реализуются привычные двя нас формулы (но бозевского типа) 1 ехрг!.» + зз 1 А !ьв в) пГ 2, (2тпй)з!з У !Уз,~ — уравнение длв Л = -и. о !70 Глава 2. Идеальные системы в стптистичесной механике откуда следует характерное температурное пове- дение удельной теплоемкости (см. рис. 54) сил = — = 1,92 1,5 Для термодинамического потенциала Й имеем ГВ'ь 1 !2 = -- В = — 0,513... !!гВ ~ — ) 3 ' "' ~В,) 0 В В Рис. 54. Температурная зависиность твппоаикости идваяьного бозе-газа Тг  — = — ртг, по и = -0,513....
ттТ — = — 0,513... ° по откуда следует уравнение состояния  — =0,085... — Вг, зз во Ь р = 0,513 т. е. при наличии в бозе-системе конденсата !!Го !т давление газа вдоль изотермы не зависит от объема (как для насыщенного пара над жидкостью и как лля равновесного излучения). В. случае В Ъ Во мы вправе использовать общие формулы п. б) для невырожденного газа. Имеем, подставляя значение по(В), згзйз В 4в(пзВ)згз по =1 — 0;462... — '+... = В = 1-0,462 — +..., 3. 3 В е=-рв= — В ! — 0462...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
