Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 36
Текст из файла (страница 36)
р д) Статистика Ферми-Дирака. Идеальный ферми-газ Теперь рассмотрим случай, когда числа 1тр ограничены двумя значениями гор — — 0,1 (Б. гегш1, Р. О!гас, 192б). Имеем при любом значении химического потенциала !в ! ~р — - ~~~ ехр о( — — 2ур~ = 1+ е ! ' рп, вв 1 -в- в л„=о В ".)' откуда й(В, К,и) = — В~~ 1пСр — — — д~~ 1и(!+е !л' РИ~).
Для средних чисел заполнения получаем е !л,-р!Гв пр - — д — !П (! + о ! ' Ю! ) = Р д !+ -!л,-ррв' и окончательно ! и е!л р!Гв + 1 . 146 Глава 2. Идеальные акп)емы в ппопшстичегяой меяонияе Эту формулу лля средних чисел заполнения обычно называют распределением Ферми — Дирака, Формулы для внутренней энергии и числа частиц — те же: 8=~~ Еп, .(Р=~~ пр, но с фермиевской формой для и .
Формулы пп. г) и д) внешне очень похожи друг на друга, и когда их пишут совместно, то ставят перемигивающие знаки ~ или ж, относя верхний знак к бозе-, а нижний — к ферми-случаю. е) Статистика Бельциана. Идеальный классический газ Этот случай, уже рассмотренный нами в гл. 1, 5 6 данною тома (1.. Во!(гшапп, 1871), является в данном варианте-изложения предельным, когда е(Р л")/' < е(» лр)/В,С 1 (т. е. когда /2 — ео < О и !/2 — ео(/() > 1). используя зту экспоненту в качестве малого параметра, имеем лля средних чисел заполнения 1 (Рр-лр)/В Р/В -лр/В/1 ~ (Р— лр)/В г(Р— лр)/В ~ ) ПР=Е =Е Е Р Е +Е В этой формуле выделился множитель е л / — больцмановская экспонента, величина ея/В играет роль нормировочного множителя, единица в скобках представляет основной, классический результат, остальные слагаемые — квантовые поправки к нему.
Мы сформулировали условие перехода квантового газа в больцмановский чисто бюрмально, но зато в обшем виде. В следуюшем параграфе мы покажем, что условие е(Р П')/~ ь ! при наличии одного трансляционного движения частиц полностью эквивалентно введенному нами в гл. 1, $б данного тома условию статистической л 2/З невырожден ности в )) — 1-) Проследим, откуда появляется статистика Больцмана с точки зрения микроскопических представлений, какие пункты' наших рассуждений сушественны для появления классической или одной из квантовых статистик. Вернемся к формулам лля статистической суммы и ее квазикяассического предела Я= ~~р ехр — -~~Е21/ ~ Я = — Я д РР) /(/! ' (мр), 2.
нр=м Р где Я вЂ” сумма по всем различным в квантовом смысле /(/-частичным состояниям системы, Я вЂ” сумма по всем различным в классическом смысле микроскопическим состояниям. С точки зрения квантовой механики набор 1/(/р) — зто одно состояние системы, но если мы отнесемся к частицам как к классическим объектам, и в связи с этим перенумеруем их, то классическое микроскопическое состояние определится не только набором чисел (/(/ ), как в случае безымянных частиц, но еше и расположением номеров на самих частицах. Сумма по этим расположениям лля кажлого из наборов (Хр) дает комбинаторный фактор Х(/(П2(/Р!). Поэтому, суммируя в Я по всем различным в классическом смысле микроскопическим состояниям 147 5 1.
Идеальные голы. Общее росгмоглрение системы 1т одинаковых частиц, мы получаем 1 1 Ф! Р р Чтобы избавиться от условия 2 К, = К, перейдем к расчету большой статистической суммы (с точки зрения рецептуры этого перехода мы должны заменить Е -+ Š— р и снять условие 2; Фр — — Ф). Тогда ь«(В К!г)=НЕ 1,( ' " "' ) '=Пь Ф =е р где ~р = ехр (е ! ' Р~~ 1 откуда для средних чисел заполнения следует пр ——  — !и ~р =  — е ! ' РУ = енг е В ' О что в точиости соответствует нулевому приближеиию для и, полученному в обшем случае в пределе е0' л'1ГР ~ 1.
Таким оЧразом, для того чтобы перейти к чисто классическому описанию идеального.пгза, необходимо: 1) сиять ограничения иа зиачеиия чисел заполнения:, 2) отказаться от квантового понимания принципа тождествеииости частиц (т.е. просто перенумеровать их). Исследование иевырождеиного идеального газа можно продолжить в обшем случае. Прежде всего рассчитаем химической потенциал р. Имеем С; р(р с, -лИр ( н(е)г ~ -глжр 1(В) = — р е И 1 тогда, оставляя только первую поправку к классическому результату, 1 = ер~ Е(В) ~ !ж ер~ — + ... Г е 1 (В)2) Е(В) или ерl = — ~1 ~ ерг — +...
, т(вд) .1(В) (, 1(В) Отсюда следует в нулевом приближении (классическом) (ер/р) 1(В) ' !48 Глава 2. Идеальные системы е статистической механике в первом приближении (т.е. с первой квантовой поправкой) ер/ — !Т, + 1(в/2) 1(в) ~, Р~~~) н т.д. Аналогичным образом рассмотрим теперь внутреннюю энергию Ф Х~~ Ерпр е" ~ Ере ' ~ (е" ) . — Х~~ 2Ере ' " + р з ! 2 р Обозначим фигурирующую в этом разло:кении сумму как 1~(в) = — ~~~ Е е "~ =  — 1(в). ! р гд 2!/ Р дВ Тогда д" = Мел~  — 1(В) ~ Аг(ек~ ) —  — 1 — +.... дВ 2 дВ !2/ Чтобы рассчитать внутреннюю энергию в переменных (В, !г, АГ) с точностью до первой квантовой поправки, мы должны при' исключении химического потенциала подставить д первое слагаемое правой части екге с учетом первого же приближения, а во второе'слагаемое — еяге в нулевом приближении. Это дает а !,д 1(в/2),д ! !,д в е= — = —  — 1(в)~  — 1(в)~ — —  — 1~-)+..., АГ 1(В) дВ, 1'(В) дВ 2 1'(В) дВ (,2/! или окончательно ,д !п1(в) Вз д /1(в/2)'ь е(В,в) = В ВВ 2 дв [, 1'(В) / Таким образом, вся проблема определения характеристик почти классического идеального газа сводится к расчету суммы 1(В), имеющей структуру нормировочного интеграла для максвелловского распределения (в следующие поправочные члены для ермак, е(В, и) и т.д.
помимо 1(В) н 1(в/2) войдут суммы 1(в/3) и т.д.). В следующем параграфе мы вычислим зту сумму для случая идеального одноатомного газа. 52. Одноатомные квантовые газы а) Общне ферм)(лы Будем считать, что на систему Ф одинаковых одноатомных частиц не действуют внешние поля, что частицы двигаются как свободные, и их «внутреннее» движение может проявиться лишь как изменение проекции их спинов на некоторое направление. Тогда в этом, несомненно, самом простом 'из всех возможных случаев 7 р=(р, ), Е = —.
2пь ' В общих формулах предыдущего параграфа у нас фигурируют суммы вида з,» ® = ~; у;«(~ ) =[г.« ~)~;«( —;) р а=-«р р !49 в 2. Одиаагпамиые кваиаювые газы' ОО -~-(О Ьр аЬ,/ 2кЬ,/ и=! хо/г. " го/й Обобщая зту процедуру на трехмерный случай, полагая Ь,/г2, = У и обозначая, как и раньше, 2в+ 1 = 7, получаем следующее правило перехода от суммирования по р к нтегрированию: 4эгр э ~ ®= 2: ®= — „::, / %) ='— ,.' / (-'.)"" Наконец, переходя от интегрирования по модулю импульса р к интегралу по пере- менной е = рэ/2гп, учитывая, что Юр = ае э/2т/(2э/е), получаем (, 2пэ/ э/2кэйэ ./ г о о где р = 7пээ/'/(э/2кЬ~) .
Все три варианта интегралов (трехмерный по р, одномерные по = !р! и по е = рэ/(2пэ)) будут использоваться нами в равной степени. Основные формулы з 1 можно теперь записать в интегральном виде, например, в виде интегралов по е: э/2 ! =,РР2„„ /2кэйэ / е1г-Ш/о ~ ! о 7пэ э' ггэ эд /2аэйэ ег-я(в ж ! о .Л =~'и,= У гле мы обозначили 1 2„= / е"п(в) йе, п(е) = о Покажем, что с помощью интеграла 2„можно выразить и термодннамическнй потенциал П. Запишем его сначала в виде интеграла по переменной е и затем где последняя сумма по р —. трехмерная сумма по р„р„, р, — выр р — вы ажается в предельном статистическом случае через трехмерный интеграл по импульсу р.
Напомним процедуру перехода от суммирования к интегрированию, намеченную нами в гл. 1, Рассмотрим сначала одномерный случай, когда р„= ('эгЬ/ ) Используя главный член формулы Эйлера — Маклорена (см. гл. 1, задача 7), в которой надо учесть, что г1гр = (иЬ/Ь)2гн = а Ь//„ имеем в пределе Ь вЂ” оо для симметричных по отношению к переменной р, функций уэ(р,) 150 Глава 2. Идеальные системы в статистичесной механине возьмем его по частям; П = ~В Е 1и (1 ~ е ! ' »1/ ) = ~ВВ з' ) е / ае !п (1+ е 1~ »>/ ) = о =*Вд~ ~-е"!п(1~о ' »1")~ — -) ~--) Ве . )3 3 1~Е-1г- У~О . В о Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю, так как при е -~ со имеем ез/зе '~о — О, а при е Π— ез~з — О.
Поэтому мы получаем 2 1 ез/зле 2 П = — -В!г / = — — с8'. 3,/ е('-»Уо ~! 3 о Таки~з образом, для нерелятивистского идеального газа (Ер — — р'/2гл) достаточно исследовать выражения для а и . 1', так как потенциал Й (а следовательно, и уравнение состояния) простейшим образом связан с внутренней энергией газа Мт 2 рК= -П= -Е.
3 Аналогичный результат имеет место лля случая Ер — — рс (р!г = В/3, см. задачу 4). б) Невырожденный идеальный одноатомный газ Завершим сюжет, начатый в В! п.е) расчетом величины 1(в) для случая одноатомного газа. Имеем 1(в) = — ~ е """" = — ' ! е ""' " йр = '" (2 В)"'= В"' 11Г ~ г1Г (г.д.гь)з,( (2, х)з 1 — = — 1(В), В первом прирлижении для химического потенциала тогда получаем (Ео = О в модели Ер = рз/(гт)) е»~ =1(в)~ +...=ай~ ~1-) +...>>1.
— гв 1 (В/2) з з 1(в) '" (,г) Так как (1/2)ззз = 0,35, то, пренебрегая этой величиной по сравнению с авз/з, получаем, Возводя в степень 2/3, условие статистической невырожденрости газа в виде условия на его температуру: которое полностью соответствует полученному в гл. 1, Э 6 критерию статистической невырожденности по отношению к трансляционному движению. Таким образом, поправки на невырожденность газа имеют характер выеокотемпературных (или низкоплотностных) квантовых поправок. Подсчитаем эти поправки к нулевому больцмановскому приближению. Имеем зд!п1(В) 3 . 1(В/2) /'1) ! дв 2 ' 1з(в) 1,2,/ а 151 б 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
