Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако при рассмотрении полностью равновесных систем мы нашли в гл.! возможность описывать их микроскопические состояния (в форме смешанных квантовомеханических состояний) с помощью гиббсовской функции распределения «в» = е л"1а, которая вообще не содержит никакой информации об этих переходах, Мы знаем, что переходы и - и', динамическая причина которых бН не учтена в определяющем рассматриваемую систему гамильтониане Н, существуют обязательно, так как именно ояи все время (в рамках квазистатической в термодинамическом понимании теории) поддерживают гиббсовскую структуру смешанного состояния. В кинетической части курса (см. том 3) мы более подробно обсудим этот вопрос, а сейчас только заметим, что при стремлении системы к равновесному состоянию роль этих переходов в формировании такого состояния, несмотря на присутствие бН (т, е.
генератора этих переходов), постепенно сходит на нет. В предельном случае статистического равновесия этих переходов как будто нет совсем, т. е. система чистых состояний и, описываемых собственными функциями оператора Гамильтона, Н«~„= ЕД„, образует в этом смысле идеальную систему.
(Напомним только, что в большинстве физически интересных случаев эти состояния, к сожалению, нам точно не известны.) Так как распределение ги„через нормировочную сумму Я (или через свободную энергию нг = -в 1и 2) определяет всю термодинамику системы, то присутствие этих релаксационных процессов вообще не отразится н на макроскопическнх характеристиках равновесной системы. Таким образом, мы вилнм, что сама возможность использования представлений об идеальных системах вполне допускается структурой гиббсовской теории: всякая модель, для которой уравнение Н«л„= Е„«у„точно решается (напомним, что в этом случае ń— действительные величины и «Р„вЂ” стационарные состояния с бесконечным временем жизни), с формальной точки зрения может быть представлена как идеальная система «невзаимодействующих» собственных состояний (или собственных колебаний, независимых «мод», резонансов и т. п.).
В общем случае, конечно, невозможно сформулировать рецепт, как смоделировать реальную физическую систему, т. е. какую структуру гамильтониана Н надо выбрать для ее микроскопической конкретизации (выбор гамильтониана — зто исходный момент статистического рассмотрения), так чтобы, с одной стороны, он учитывал те микроскопические особенности системы, которые через сосчитанную с помощью его собственных значений Е„статистическую сумму Й объяснили бы характерные ее макроскопнческие свойства, а с другой — чтобы неучтенная в модели Н Бзава 2. Идеальные соппемы в опогпоппочесход меконоке часть бН при включении ее в стационарную задачу не давала бы дополнительного существенного вклада в Я, заметно искажающего результаты, полученные без учета 6Х. Вопрос о моделировании реальной физической системы — это вообще один из самых тонких вопросов любой теории.
Прн моделировании же идеальной системы мы дополнительно должны удовлетворить еше и формальному требованию: сам смысл привлечения к рассмотрению идеальной системы требует, чтобы эта модель допускала точное рассмотрение вплоть до расчета суммы Я. Примеров таких молелей в статистической механике, к сожалению, очень немного. Самая простая возможность образовать идеальную систему — опустить взаимодействие частиц друг с другом, как это мы сделали в гл.
1 на примере классического газа. При этом интеграл Ео у нас без особого труда рассчитался до конца, и вся задача сыграла роль неплохого показательного примера. Однако ограничение роли взаимодействия частиц только функциями организатора равновесного состояния идеального газа— это.
вообще говоря, роскошь, оправданная лишь при рассмотрении достаточно разреженных систем. Для более плотных сред роль этих взаимодействий становится уже существенной, и их учет перерастает в основную проблему всей равновесной статистической теории. Итак, краткое резюме и несколько общих соображений в защиту идеальны» систем. 1. Идеальные системы в статистической теории — это условное понятие, использование которого в равновесной теории стало возможным благодаря тому, что равновесные статистические распределения не содержат никакой информации о механизмах достижения системой равновесного состояния и поддержания его во время любых квазистатистических процессов. 2.
Рассмотрение идеальных систем — это не только показательные примеры, иллюстрирующие применение общих формул. Рассмотрение точно решаемых систем во всех разделах теоретической физики помогает понять некоторые общие вопросы, связанные со структурой теории в целом, с трудностями какого-либо подхода, особенностями характерных величин и т.д. 3. Идеальная система может быть использована в качестве простейшей модели равновесной системы типа газа. Однако формальное условие идеальности— малость энергии взаимодействия частиц друг с другом Ф()г~ — гз!) по сравнению с нх кинетической энергией — реально не осуществляется: кинетическая энергия меняется в пределах 0 < рз/2пз < со, а величина Ф(Н) для реалистического взаимодействия (см.
гл. 1, б 1) — в пределах — Уо < Ф(Н) < оо. Можно выдвинуть физический критериИ идеальности газа 3 Но<1/ — =а, где Во — радиус взаимодействия частиц друг с другом, а — среднее расстояние между ними. Тогда носителями энергии в системе будут в основном свободно летающие частицы, а не сжатые, как пружины, на короткий миг соударення молекулы, т.е. в среднем это выглядит как критерий Рз/2пт » Ф(Л), который без знака среднего, как мы видели, не реализуется. С микроскопической точки зрения это приближение связано с пренебрежением в общем гамильтоннане частью Н~.
Н = ~~~ Н;+ ~~~, Фб =Но+Н~ -~Но= ~ Но ~< <н ~<г<н ~<1<у<я 139, з!. Идеальные газы. Общее рассиоязрение 4. Идеальный газ — это нулевое приближение в любой теории, связанной с учетом члена Нн в частности, в теории возмущений и ее модификациях. Необходимым моментом таких теорий является естественное условие, чтобы возможность точного аналитического расчета реализовалась не только по отношению к нулевому приближению, т. е.
к расчету Яь и свободной энергии ээ = — а !и Яь, но и по отношению к поправкам, представляющим собой средние значения по гиббсовскому распределению лля идеальной системы, характеризуемой гамильтонианом Нь. 5. Наконец, в некоторых системах, не являющихся идеальными ни в каком приближении, тепловое движение можно представить как движение отдельных возбуждений типа свободно распространяющихся волн, которые (в'случае„когда они достаточно долго живут или,.
что то же, слабо затухают) называют квазичастицами. Если эти коллективные возбуждения (или собственные колебания) слабо рассеиваются друг на друге, то их совокупность образует своеобразный идеальный газ, берущий на себя функции обеспечения теплового движения в равновесной системе. Идея такого подхода в известной степени спровоцирована успехом статистической теории равновесного электромагнитного излучения (см. з 4), блестяще завершенной Максом Планком, — системы, в которой роль частиц играют осцилляторы свободного электромагнитного поля, которые мы называем фотонами, они же — плоские волны, число которых в том непрерывном пространстве, к которому мы привыкли, не ограничено (длина волны может доходить до нуля), и которые реально образуют идеальную систему, так как то взаимодействие фотонов друг с другом, которое индуцируется другими квантовыми полями, не может служить релаксацнонным механизмом установления в системе состояния термодинамического равновесия (см.
том 1, гл. 1, э 5) в тех условиях, которые доступны нам (если не для создания, то хотя бы для наблюдения) в настоящее время. 51. Идеальные газы. Общее рассмотрение В этом параграфе мы не будем ограничивать себя условием вырожденности или иевырожденностн системы, т.е. температура может быть любой по отношению к величине О»„р — — —" (-) . Мы будем полагать, что все !т' частиц системы одинаковы (обобщение элементарно: несколькокомпонентный идеальный газ — это вложенные друг в друга химически нейтральные газы, имеющие одинаковую температуру). Микроскопическое состояние каждой частицы будем обозначать как р;— набор квантовых чисел, определяющих состояние 1-й частицы. Например, если «частиц໠— это одноатомная молекула, то р; = (р;, «гг), где р; — импульс.
частицы, каждая компонента которого принимает значения (см. гл. 1, з 2) (р)! 1= — и!'1, а! 1=1,2,..., а=(х,у,в), а гг; — проекция ее спина, принимающая 2в+ 1 значений гг; = -в, -в+ 1,..., +в. Собственные значения оператора Н; обозначим как Жр . Для одноатомного нерелятивистского газа — зто Еи — — рг/(2т) (если нет внешних полей). а) Представление чисел заполнения Пусть все допустимые значения квантовых чисел р расположены в каком-либо заранее условленном порялке (например, импульс р! ! — в порядке возрастания числа и!'1, спин — в порядке возрастания в и т.д.).
на некоторой условной оси значений р (рис. 37). Пусть квантовомеханическое 1»'-частичное состояние идеальной Глава 2. Идеальные системы в статистической иекокике О ! О 21 О 3 О Рис. 37. Схема введения чисел заполнвння. Вверху — ось значеммй р, под мей — число аргументов волновой Оуннции, равных хаждоиу нз р системы характеризуется волновой функцией т(г = (з(рг, рз,..., рк), Ф аргументов которой р; упорядочены в смысле их расположения вдоль оси значений р (условно рг < рз « ...
ргг). Такое упорядочение аргументов в волновой функции системы одинаковых частиц можно произвести всегда, так как их перестановка местами не изменяет состояния системы (см. п. в). Сопоставим теперь каждому из допустимых значений р целое неотрицательное число гтгр, указываюшее, сколько рйз данное р фигурирует в качестве аргумента рассматриваемой волновой функции уг(рг, рп..., рзг), Числа зтр называются чмслали заполнения. Так как мы рассматриваем У-частичные состояния системы (У аргументов р в функции т(г), то набор этих чисел должен удовлетворять условию Квантовомеханические состояния системы теперь можно фиксировать набором чисел заполнения (2тглг (бесконечное множество нулей, единиц и т.д., подчиненное условию 2, '1зр — — (т() вместо набора (рг) = (р„рз,...,р„) (конечного при заланном 2зг множества значений), так как по данному набору (Фр) можно однозначно воспроизвести функцию тд(рг, рз,..., рлг), в которой мы зарайее условились упорядочивать расположение аргументов (мы не выписываем саму конструкцию з(Г-частйчной т(г-функции, хорошо известно, например, что для олноатомного газа — это соответствуюшим образом упорядоченное произведение плоских волн, но нам зто пока не нужно), т.е.
теперь можно использовать набор (Фрт в качестве обшего индекса микроскопического состоянии и. Такое представление ми(збоскопического состояния системы называется прелставлением,чисел заполнения. Запишем гамильтониан идеальной системы в этом представлении. Мы имели в р-представлении Ф(п(=Ф(рг," ргг)'* Н= ~., Е. гсгск теперь же тггг(гг 1 ( (т(л )' Н Х~ь Ерш Е(я 1 Р Несмотря нато, что во втором варианте сумма по р имеет бесконечное число членов, все отличные от нуля ее слагаемые последовательно совпадают со слагаемыми или группами одинаковых слагаемых конечной суммы по индексу з. б) Каноническая и большая каноническая суммы Исходное выражение для канонической суммы (мы опускаем ради простоты параметры а) имеет вид Ягг,т,нг=2 '~ = .2 Р( — г зн ) м (Яг(: У: л,=зт 14! 5 1. Идеальные газы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
