Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Общее рассмаглренае Учет обязательного дополнительного условия 1т-частичности системы ~; Ф = Ф приводит к тому, что сумма по всем различным наборам чисел'заполнения (Фрт не распадается на произведение независимых сумм по каждому из чисел Фр. Снимем зто условие, введя под знак суммы кронекеровскую гь-функцию '~ 1 1 — набор (Ж,Г таков, что ~;Ф =1т', < Л Д1-,'> Х,~ = г ~ Π— во всех других случаях. Тогда суммирование по наборам чисел заполнения (Ф ) будет производиться без всяких ограничений, но зато выражение под знаком суммы уже само не распадается на произведение сомножителей, зависящих только от одного из Хр. Можно, конечно, использовать какое-либо представление для функции гз н рассчитать Я с помрщью, например, метода перевала в пределе больших К, как зто сделано в задаче 1.
О1гнако зта процедура все же слишком громоздка. Основной момент в возникновении этой трудности — точная фиксация чиела частиц Л, от которой можно отказаться. Для этого надо лишь воспользоваться большим каноническим формализмом Гиббса. Действительно, так как большая статистическая сумма связана с Я соотношением (В Г(В,К,и) = ~~» 2(В,У,Ф)е" ~, я=о то, подетавляя в него полученную ранее формулу для Я и учитывая, что при условии Л = ~ Фр экспоненту елнго можно разбить на отдельные сомножители еннгго, Р имеем дв, г и = з г; ь (к — з м) -р ( — г. 'оь — ми ) . (н„1 л=о г Р Так как при любом наборе чисел (зУ„) Г ~ь( -~ч)=|, то большая статистическая сумма (' распадается на произведение бесконечного числа независимых сумм по каждому из чисел заполнения Фр..
О~~М-ЕЕ...- (-" "вы)*"(-"' "« )...-ПО, нм нм г где однократная сумма по числу Ф имеет вид (-взел,). Р Таким образом, вся проблема расчета большой статистической суммы ~ свелась к расчету (р, который мы произведем точно и без особого труда, как только выЯсним войРос о допУсуимых значениЯх чисел 1тю Выпишем теперь еще несколько общих формул, связанных с суммой г, . Так как взятый произвольно набор чисел заполнения (Хр) фиксирует н число Ф = ~ Ф„, 142 Глава 2. Идеальные шопены' в опопаопнчегкой иеканнке и микроскопическое состояние уже Ф-частичной системы, то, взятый беэдополнительного условия йГ-частичности, он играет роль индекса состояния (Лг, н(йг)), который мы использовали при рассмотрении большого канонического распределения в общем случае. Теперь для идеальной системы в представлении чисел заполнения оно будет иметь вид 1 Г 1/ 1 Г Е„'-р ю1л!(В,У,д) = — ехр1(- — ~~) Е Ф вЂ” р~) Ф ! З =П вЂ” ехр~- к !т к у у У Рассчитаем с его помощью среднюю величину числа заполнения Кг, Имеем, выделяя сомножители, содержащие зто число заполнения, е~,-ч(-',"~,) и ~ Фнг т.
е. средние числа заполнения выражаются тоже через сумму ~р. Выразим теперь через эту сумму („и средние числа зайолнения и основные термодинамические величины идеальной системы. Для термодинамйческого потенциала получаем Й(В, У, р) = -В 1и ( = — В Е !и <, для термодинамического числа частиц в системе .Л' = лг согласно общим формулам ВГ! д -Ф'= — =',У. — !пав, = Е; д,и дд (этот результат совершенно естествен, так как следует из точного соотношения М = 2; Фр после взятия среднего по большому каноническому распределению). У Далее, так как то производная от !и( по температуре также выражается через средние числа заполнения н„: Поэтому для термодинамической величины 8 =  — р..4' имеем сразу зд1п~ гд!п~„ В= — р, Ф'= — =~~~  — "=~ Е,р — р~~ и„ дВ дВ У в У т.'е.
внутренняя энергия системы д равна (тоже достаточно очевидный результат, так как точное соотношение для энергии Е = 2', Е„1т„после взятия среднего определяет внутреннюю энергию системы В). 143 з 1. Идеальные газы. Общее рассное!ренее Таким образом, мы приходим к возможности построить исследование идеальной системы.по следующему плану: !) расчет суммы !,г и величин иг = — ф- — этот расчет производится точно," дмг в!ягг! 2) расчет термодинамических величин . Па, У, р) = ~ Е,,; йг(и, Р, р) = П+ р ,'~" „и т.д.; У У 3) использование условия . г =л'(в,т;и) =~ для определения химического потенциала р = р(9, У, $') с тем, чтобы исключить его из результатов, полученных в п.
2); этот пересчет производится уже приближенно, так как трансцендентные уравнения для р не допускают получения точных решений в аналитической форме. в) Числа заполнений в системах одинаковых частиц Вопрос, который мы рассмотрим в этом пункте, относится не только к случаю идеальных систем, это вопрос более общего плана. Мы говорим, что система состо- ит из Аг неразличимых частиц, подразумевая при этом совершенно определенное свойство всех динамических величин (т.
е, всех операторов), характеризующих всю систему Ф тел, граничных условий, начальных условий н т.д., быть инвариант- ными по отношепйю к любым перестановкам индексов частиц. В статистической механике главный оператор — это гамнльтониан Н, н его свойство ие реагировать на перестановку, например, двух индексов 1 н у можно записать как Р,,Н = НРО нлн Рг,Н вЂ” НР;; = 0 (любая более сложная перестановка Р всегда может быть представлена как после- довательность парных перестановок, т.е.
Р = ПРО). Но операторы в квантовой механике существуют не сами по себе, они действу- ют на волновые функции. Напишем уравнение Шредингера, подействуем на левую и правую его части оператором Рц, используем свойство коммутативности опера- торов Рц и Н и сравним получающиеся результаты: 1Р!зНтг= НР!ггР 1 Ню~> = ЕьД + -+ НР!за!= ЕпР!згР. Р!аНР = ЕпР!гР Мы видим, что функции !Р н Ф' = Рц!р удовлетворяют одному н тому же уравнению Шредингера, одним и тем же дополнительным условиям и т.д., а следовательно, они описывают одно и то же состояние системы. А это в свою очередь означает, что волновые функции !р и !р' могут отличаться только фазовым множителем Л, модуль которого равен единице (т.е. Л = е"): Ф =Р!з!Р=Л!Р.
Определим теперь собственные значения оператора Рц. Подействуем на написанное выше уравнение еще раз оператором Рц, учтем, что, с одной стороны, РцРц— это тождественное преобразование, а с другой — что каждое действие оператора Рц на волновую функцию дает множитель Л: Е Р!2~ !2Ф 1 ' !Р~ РпР!зтР = ЛР!з!Р = Л ф, 144 Глава 2.
Идеальные соопены» опгппиопическод не»авиле откуда следует, что Л' 1, т.е. собственных значений у оператора перестановки двух индексов частиц только два: либо Л = + 1, т. е. РИР = гг' = Ф» н состояния системы !т' частиц описываются симметричными по отношению к перестановкам индексов частиц волновыми функциями, либо Л = -1, т.е. Р Р = -ьд = -гдл» и состояния системы описываются антисимметричными волновыми функциями, и никаких других или смешанных возможностей нет, причем ввиду (Н, Рд! = 0 отмеченное выше свойство симметрии волновой функции является постоянным свойством данной рассматриваемой системы. Те из них, состояния которых описываются функциями тЗ», называются бозе-системами (системами из бозе-частиц, или, еше проще, из бозонов), л те, которые описываются функциями типа Ех»,— ферми-системами (системами из ферми-частиц, или фермионов).
Нам пришлось вспомнить эту известную теорему квантовой механики только для того, чтобы выяснить, существуют ли общие ограничения на значения чисел заполнения 2тр. В бозе-случае таких ограничений нет, может совпадать любое число аргументов функции !д(рп..., Рн), т.е. если тЗ =Р»(р„...,рн), то 2!1„=0,1,2,...,лГ. В ферми-случае двух одинаковых аргументов у функции !»(Рп..., Рн) быть не может, они все должны быть разными, т. е, числа М, могут принимать только два значения: если Р=Рх»(рп...,рн), то 2!Г„=0,1.
Действительно, пусть, например, рз — — Р~ (т.е. 29р, = 2). Тогда оператор Р~,, с одной егоровый переставляя одинаковые аргументы р~ и рз — — р!, вообще не меняет тз-функции, а 4 другой — изменяет ее знак на противоположный, и мы получаем, что Рл»(рпрпр».",Рн) = -Фа»(Р1 Рпрм" Рн), что возможно только в случае Ех»(рп рп рз,..., Рн) = О, а это означает, что таких состояний для ферми-систем вообще не существует.
Выявленное нами ограничение на числа заполнения для ферми-систем игр — — О, ! (или ни одного, или один) — это знаменитый принцип запрета Паули (%. Рацй, 1925). Существует теорема о связи спина и статистики, доказанная для свободных квантовых полей (%. Рац11, 1940): системы частиц с полуцелым олином ('/ь з/ь...) описываются Ра»-функциями, с целым (0,1,2,...) — ту»-функциями. В первом случае говорят о статистике Ферми — Дирака, во втором — о статистике Бозе— 'Эйнштейна. Доказательство теоремы исходит из обшерелятивистских представлений квантовой теории поля и существенно выходит за рамки нашего курса, поэтому мы принимаем ее как дополнительную (уже не статистическую) аксиому. Примерами ферми-частиц являются электроны, протоны, нейтроны, р-мезоны, нейтрино, все виды кварков, Не и т.д.
Примерами бозе-частиц — фотоны, я-мезоны, глкюны 3 всех цветов, Не" и т.д. г) Статистика Бозе-Эйнштейна. Идеальный бозе-газ Рассмотрим случай, когда ограничений на числа заполнения 2тр нет, т.е. зтр — — О, 1, 2, 3,... (ЯЬ. Возе, А. Е!пзге!и, !924). Тогда ( Š— р г 1 С = ~~ехр~ — — з!! ~=1+е лг "!г +(е ' пу~) +...= ,ч;-о .145 з1. Идеальные газы. Общее рассиаяорение Чтобы этот ряд сходился при любых р, необходимо, чтобы знаменатель написанной выше геометрической прогрессии был меньше единицы, т. е. Ер — !в > О лля всех р (если бы рял расходился, то не сушествовало бы ни статистической суммы С, ни потенциала й и т,д., т.е. у системы не было бы равновесного термодинамического состояния).
Обозначив Ео — минимальное значение из всех возможных Ер, будем иметь Ер — — Ел+ар, ер > О, и условие сушествования статистической суммы (условие термодинамичности рассматриваемой системы) запишется как гв — Ео <О (если вести отсчет энергии от уровня Ео, то, положив в написанных формулах Ео — —. О, получим более простые неравенства Е > О„!в < О). Выпишем в соответствии с общими формулами выражения для й, пр, д и .
! в бозе-случае. Имеем й(д, в',Гв) = — В~ !пСр — — В~ь !п(1 — е !л' Р1~~), для средних чисел заполнения д д, е !~в Р!/в и =д — !пС =- — !и(! — е !лв Юрв)= д!в дгв ! е !в~ рнв ' или окончательно ! р е!л„-р!ув Эту формулу лля средних чисел заполнения обычно называют распределением Бозе— Эйнштейна. Выражения для внутренней энергии н термодинамического числа частиц имеют стандартный вид (но с бозевской формой лля пр): ,в=~~ 'Ерпр Л:=~ ' „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
