Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В задаче 32 мы подсчитали, что для водорода д/тсз В 2' 0„5 !О 'з, где 2" — температура а кельвинах, так что вплоть до тысяч кельвииов (т. е, вплоть до термической диссоциация молекул газа на ионы) релятивистские поправки столЬ ничтожны, что мы смело можем пользоваться распределением Максвелла, не задумываясь над тем, что, интегрируя до бесконечных значений р, мы сознательно делаем гибну, сохраняя иерелятивистскую форму рз/2ш лля энергии часпшы. При температурах порядка )О и аыше (т. е.
еше задолго до релятивизма) газ уже не может быть назван идеальным: это плазма, система из ионов и электронов. Распределение по импульсам, естественна, (-„9Р Ф чп. й друг с другом (даже на уровне электростатического взаимодействия) сушестаенно меняет термодинамические характеристики системы (см. гл. 3 данного тома). о 125 й 8. Класепчеошй одлопщомный газ н лля объема 3/(Г-мерного шара: ьчп Узл(м) = / А(бг') ' бгб' = 22 г(з(у/г+ !) о (здесь 3/(Г уже не обязательно связано с числом частиц, а может принимать значение (Зй( = (, 2, 3,..., так что читатель может проверить зти формулы неизвестных результатах лля одно-, двух- и трехмерных сфер и шаров). Использование формулы для Узл(Н) значительно упрощает расчет статистического веса Г(8), который мы произведем в следующей задаче.
с Задача 40. Для классического идеального газа рассчитать статистический вес Г(б; У,!б/), если энергетический слой имеет ширину бб, статистический интеграл л(б, У, К) и большой статистический интеграл Г(б, У, /е). Решение. Результат, полученный в конце предыдущей задачи, позволяет определить статистический вес Г.
не прибегая к взятию интегралов. Заметим, что изоэнергетические поверхности бг = сонм и б — бб = сопл( лля идеального газа, когда Ж = 2 рг/2щ, прел! ставляют собой в 3/(Г-мерной пространстве импульсов (р„...,рл,) сферы радиуса ь/2пгб 'бб(б-ббб.б б .Л 6 б б (гн..., гл, рб,..., рл», которую могут занимать точки. соответствующие состояниям классической системы бб( тел, имеющей энергию Я в интервале значений бт — бб < л ( Ф, имеет размер Ул в полпространсгве (г„..., гл) и объем 3(т -мерного слоя, заключенного между указанными изоэнергетическими поверхностями в пространстве импульсов (р(,..., рл).
Статистический вес Г лап ного макроскопического состояния — это число квантовомеханических состояний системы (в нашем случае соответствующих трансляционному лвижению частиц в квазиклассическом приближении), соответствующих заданным значениям макроскопических параметров. Эта величина равна объему указанной выше области фазового пространства, деленному на (2яй)зл и (в случае, когда все частицы системы одинаковые) на /(/!: (б ( "б б( б ( б (б~бб((! б бб ( бб( ((г(( й)' (бг((2 й)зл Воспользуемся полученной в предыдущей задаче формулой для объема 3»т'-мерного шара „злуг Ущ(32) = — "22'".
(3(б'/2) ! Полагая И = (/2щб и варьируя по Ф, получаем Уха~ар(2щ)щгз (3(ъг/2)ббпр-~ббт У (2ящ)з~(гбтз~ы ( 3 ббт ) !У((2кй) (3(У/2)! ж(2яй) (3/У/2)! '~ ~'" 2~ б )' В этом выражении мы должны сохранить только главную по л( при ((б' — б оо асимптотику, которая должна иметь вид Г(б У (бб) Яе, е)) т.е. сохранить только те сомножители в Г, которые не обращаются в единицу в пределе йщ М'г~. Используя формулу Стирлинга (см. задачу 4) и сохранял в ней'только показательную асимптотику, получим Отметим. что множитель в формуле для Г, зависящий от толщины энергетического слоя бб, не конкурирует с основной асимптотикой, так как (ехр ~!п -ббг — ~) = ехр ~ — !и -(бг — ~~ -б е = !.
!26 Задачи и дополнит»ель»ые вопросы к елаае 1 Поэтому окончательный ответ для статистического веса идеального классического газа имеет вид г л гзгг,г з» '( г«' (2яд)г Получение с помощью этого выражения термодинамических характеристик идеального газа предоставляется читателю. Отметим интересную особенность зависимости варивнии объема Ц»(е) по радиусу от размерности пространства 3/У, которая, по существу, и привела к исчезновению зависимости главной асимптогики статистического веса от 68: 32УВЕ й Воз»(г2) = ог»(ж) — = оз»(м) В т.е. с увеличением размерности пространства Згг/ объем шара как бы все более «прижимается» к поверхности ограничивающей его сферы. Статистическая сумма Я а квазиклвссическом приближении для идеального газа рассчитывается точно и без труда: (тг Выделяя главную асимптотику лля РГ! = (гт/е)», получаем ( (2ятВ) ое ~ Лля большой статистической суммы рассматриваемой системм имеем Г / о(2 В)П' Ь(В,Ъ;Р) и ~~г ЕШ Е(В,тл,гу) = ~ ~—,~ ЕЛГ Ъ') гУ1 ( (2»Д)з ) Замечая, что ряд по ггт есть разложение экспонентм, имеем (2»тВ) / ДВ, 1',Р) = ехр (елг У).
(2тл)э Полученный ответ имеет правильную статистическую асиытотнку, соответствующую аддитивной структуре потенциала П = -В зп ~ и -ру' ш Задача гг1. На прииеря идеального классического газа проиллюстрировать теорему о максимальном слагаемом патисгичаской суммы, записанной как сумма или интеграл по знаргияи (см. задачу 24). Раша»иш Фиксируя значение Е = 2 р,'/2гп и интегрируя по всем углам в Згт'-мерном пространстве (рн , р») (см.
задачу 39), имеем для статистического интеграла идеального ,г» В(В, Р;2У) = — 1 ВЕ лы l' ыг / / (2»Д)з» о . ( » 1 з»гг гУ1 (2»л)з» Г(ЗК/2) о (г7 2 3. Клоссическии одноапомный гоэ Подынтегральное выражение имеет при Дг - со мюссимум в точке Е = Еь;, = ЗВ1тГ/2. Оставляя вместо всего ингеграла по 'Е только значение подынтегральной функции в этой точке, имеем, перехода к Лг - со и используя формулу Стирлинга для Г(З)т/2): уи (2 В)' П ( ' У' Ф) ЛГ1 (2яЛ)зл т. е. точную формулу для статистического интеграла идеального классического газа.
С» Задача 42. Идеальный классический газ (Л/ частиц иассы гп) находится е цилин- дре (высота Л, объем У) в поле силы тяжести при температуре В. Определить распреде- ление его давления по высоте, а также внутреннюю энергию, теплоенкость и положение центра тяжести столба газа. Рассмотреть частные случаи .В < нзлЛ и В м нглЛ. и = ц~~ ( — '+ твз,), об .У(В,У,Р/) =д(В,ЛГ)-/КВ1п~/ Кге гю — 1Р'(В, У, Ф) / 6ЗК ~ 6У(з) /» Фв е чи» Л/В ВЛ/В у 1- е- гьж у ь (1/Ь) ) е нт» Вз о Это известное баромстричаское распределение (для сравнения методик его получения см. чисго термодинамичсский полход к барометрическим распределениям в томе 1). Внутренняя энергия системы определяется в соотвстствии,с обшнми формулами: в,д 1п ГУЛ 3 I гнал/В с = -В+В~1 — — ~. ЛГ ВВ 2 ~ е Чà — 1,I так как удельная внутренняя энергия с = р'/2гп+й»вз, то из сравнения этих двух выражений лля с сразу получаем лля з-координаты ~ентра тяжести симба газа в (, глвл/в ) 5з .и Решение.
Для олноагомного классического газа в олнород- ном поле силы тяжести имеем нлн, выделяя в свободной энергии лв(В, У, ДГ) часть, зави- сящую от объема: Так как работе газа по»вытягиванию» (хотя бы виртуаль- ному) стенки на вмсоте з (рнс. Зб), такому, что объем си- стемм увеличивается на 6У(з), равна 61У(х) = р(з)6У(з), то в условиях.в = сошг Я (В, У + 6У(з), Ф) Р( ) — — (,) е ги»ВУ(з) = лгв )' е- гв» Вг 6У(з) гг) Рис. Эб. Вариация фориы сосуда прн определении локальной ве- личины давления находящегося в нен газа 128 Задачи и дополнишельные вопросы к главе 2 ' Если высота сосула 'Ь невелика по сравнению с величиной В/шд (дея воздуха, например, при температуре 7 300 К В/гпд 10 км), т.
е. в честном случае пэВЬ/В < 1, имеем ее г -В, 3 2 3 ' Ь Стлш-, хй-. 2' 2 В противопояожном случае шВЬ > 1 (бесконечно высокий сосуд с идеальным газом) 5 г й -В, 2 5 В Сгл и э— с 2' пзд Задача 43. Во вращающемся цилиндре (объем У, радиус 22, угловая скорость ы) находится ноль идеального газа. Определить его свободную и внутреннюю энергии относительно неподвижной системы координат. решение. Переходи ео вращающуюся систему координат, относительно которой система покоится (а, следовательно, мы можем испольэовать все стандартные формулы гнббсовскод статистики), мы должны веестн внутри сосуда «поле» центробежной силы инерции С„е(г): з д тизгз В„е — зпы г = У„е Г„е(г) =— (константу в Ум(г) мы опустили).
Тогда в соответствии с обшнмн формулами б 6, п. ж) после взятия несложных интегралов получаем, выделяя станлартныд результат лля случая ы = О, ср' = -В!и Я = кте — ЛГВ !и ~ — з (ехр ( — ~ — 1)~, 2лз зд1пэ Ф = В =4+луп 1-. 1 — ехр(- — в~/ п(г) = — = —,, ехр !— ехр(~~ ) — ! Момент Количества движения всего газа можно рассчитать непосредственно: а 2ЬГВ 2ЬГВ зе М = ~ пн' ып(г) ° 2яг Иг — — — +— а можно было воспользоваться и термодинамическим соотношением, так как обобщенной ! координате ы соответствует термодинамическая сила М = (-ВУ'/ды)гк. Внутренняя энергия системы по отношению к неврашаюшемуся наблюдателю будет равна ,зяз и., = г, м.
= ., же ( ]аз 1 — ехр теплоемкость Сгл = ВФ„, /ВВ н т.д. Давление в сосуде на расстоянии г от оси вращения мы можем получить способом, исполь- зованнмм в предылушед задаче. Разделив его на температуру, получим лля распределения плотности числа частиц (лля сравнения, см, термодинамическая метод рассмотрения этой же задачи в томе 1, задача 20) 5 9. Теорема о Распределении среднеи энергии !29 ' 5 9. Теорема о распределении средней энергии по степеням свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
