Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 28
Текст из файла (страница 28)
дейшэительно, максимальное слагаемое в ( определяется нэ уравнения В l р ' ~ ! Т Внг(е,э,гг)' — ~дг — +!вг(в,э,му = -~р- ' ' ' у! = -(р- р(в,э,лг)) =о, влт~ в )=в~ вл ~-в откуда следует, что определяемое этим соотношением число М = ЛГ„, есть то число частно в системе, которому соответствует заданная величина химического потенциала р = Р(В, э, ЛГ„,). Решая это уравнение относительно ЛГ„, = ЛГ„,(В, я, р), получаем ллэ свободной энергия:К, стоящей в максимальном слагаемом, иг(е,э,дГ„,(В,э,р)) = эг(е,э, и) и, наконеи, для самого максимального слагаемого что и требовалось доказать. ((О Задачи и дололнипюльные вопросы к главе! задача 2б.
Показать, чта в интеграле (см. задачу 11) Еа(б,р,)Лг) = — у оус ду Л(В,У,)т) / рв з асимптотика статистической суммы по Ф 2о(В, р, зт) = ехр --С(В, р, К) = ехр определяется максимальным значением подынтегральной функции Решение. Задача аналогична предыдущей. и ее решение любым из способов предоставляется читателю. г> $ б. Распределения по числу частиц, энергии и объему как следствия канонических распределений Задам 22.
Па аналогии с интегральным представлением статистической суммы Я, использованным нами в О4 основного текста, большую статистическую сумму тоже можно представить в виде аналогичного интеграла б(Л) = е ~~(К) гзз1г, в где Л = -/5/г = -р/В, а б()т) играет роль непрерывного распределения плотности микроскопических состояний по числу частиц (формальный аналог величины В(Л)). Определить асимптотический вид этой функции, а также плотности вероятности обнаружить в системе ЛГ частиц. Решение.
Используя обратное преобразование Лапласа (см. зааачу 5), имеем амх ((/г/) = — / ((Л)е аЛ. 2ггг,/ Полагая. квк в й 5 основного текста, ((Л) = ехр (ЛГеГур(А)), гле в = г/Лà — фиксированный параметр, получим амх (( Г) 1 / еиГЛгГз И4А 2яг / ~-М Так как Лг Ъ 1. то интеграл можно взять с помощью метода перевала (см. задачу 3).
Точка перевала Ль определяется нз уравнения ш'(Лв) вгз — + 1 = О, нли вГУ вЂ” = -!, вр(л,) вр(л,) дАь ВА, т.е. точка перевала определяет то значение химического потенциала Р = -ВАь, которое должна иметь равновесная система, когда число частиц в ней равно Лг (т. е. условие и'(Ль) = О определяет Ле — — Ль(дг) в соответствии с термодинамическим соотношением Лг = -ВП(Р)/ВР) Вторая промзволнвя функции ю в точке перевала, квк асепш, определяет шмрину максимума вгр(л.) 1 в'рр(р) 1 в / вт г /вл/А (ы) "(А.) = /З вЂ”, = —  —, = —  — г - — = — ив вл„' лг вм дг вр'г, вр/ дг (,вр,/„лг й б. Рослределенил ло числу чоопиц энергии и объему и мы получаем 1(уг) -мкг,ггньг -э е !и ! Л/2к(гъйг)г /2к~ду)г где У(йг) = гд (д х, !гс) — свободная энерпгя системы из ЛГ частиц.
Так как вероятность обнаружить систему со значением числа частиц, лежащим в интер- ване (У, Лг+ ггЛГ), равна ! вн(Л) оггг = — е,((!гс) гз!т, б(Л) то, выражая параметр л через термодинамические число частиц, л = — гг/е = л( 4"), получим лля плотности вероятности распределения по числу частиц те. стандартное гауссово распределение с дисперсией числа частиц (гл!ч)г = д(дл /др)гг. г> Зайача 2$. С помощью большого канонического распределения получить распределение по числу частиц и энергии в патистической система выделенной вообрвжаепыми пенками. Решение. Если просуммировать большое каноническое распределение по микроскопическим состояниям и(!!Г), зафиксировав при этом число частиц К и энергию Б„= Е, то мы получим для искомого распределения внв(Е, х,р) = е Эеи!Э(Б,/сг)Б Мв ™.
Величина же э(е,ггг) — сгепень вырожаения энергетического уровня е„, согласно 54, п.б) пропорциональна статистическому весу, т.е. 1(е,)!г) ез'в'"г, и мы получаем, опуская нормировочные коэффициенты,. которые можно будет восстанввить позже, н учитывая термодинамическое соотношение П = гс — дд(е, !!Г) — р,.4', згвзгг-згг,иг-эгв-ггглмгн-.г ! вли = солце \ где е" и.Л' — термодинамические значения энергии Ф = Б и числа частиц.Л' = У. Полагая Е = д+ гЛЕ, !тг = ..Ф'+ гъ!гс и разлагая величину Я(Ф+ /ьЕ, 4 + гз!!Г) в ряд по ЬЕ н гЛ2гг, замечаем, что в силу соотношений дд(Л,,Л:) ! дд(Д, Лг) дл д' д 4'' д линейные члены по гЛЕ и сгФ в показателе экспоненты взаимно уничтожаются, и мы получаем двумерное гауссовское распределение ( ! д~д(Ф !ЛГ) дгд(Ф ЛГ) ! дгд(дг/!Г внв = сопз! ° ехр ~ — ', гЛБ'+ ', АБЬгтг+ — ' гъ!тг'~.
длг дед Ф' 2 д Ф'з Пересчитаем коэффициенты стояшей в экспоненте квадратичной формы по !ЛБ и гЛФ' к переменным В, )г, .Л" так, чтобы прн термодинамическом задании системы с помощью уравнений состояния их можно было бы полностью определить. Имеем При расчете коэффициента при сгБгЛЛг воспользуемся известным соотношением (см. том !, ' задача !) иг Задсчи и дополнслгель»ьге вопросы я славе 1 Тогда Полагая Р = Р(д, )г,.Л '), имеем для коэффициента прн (г5Ф) Учитывая, что что согласно слелствию из П начала термодинамики (см. также й 5, п. 6)) -В( — ",) +Р= ( — ) и что величина (дд/д.!")г уже нами преобразована при расчете дгд/д. !'ВФ, получаем, собирая все вместе, Гдл~ в»д = соим.ехр (- — ! —,!5Š— 2 г ( —.у! дгЕдгМ+ 2 ~В'Ст» дгСт» ~д-4 Уат 2 (Вз(В.Л''УВР)гт В'Ст» (д,т') т) Сопосгавляя полученный результат со стандартным гауссовским двумерным распределением ! ! р'а~ — 2еуеу+ягр'~ н, ге~/,у !И! Г ' *'ю'-»М' Г получим, разрешая простые алгебраические уравнения, выражения для дисперсии числа частиц (гзгзГ)з, энергии (ЬЕ)~ и корреляции (гзЕЬ1»'): (~У')/ = В( — ), х 2 (дд) —, первые два из котормх мы уже получали в й 5, п.б) основного текста.
Задача 29. Рассчитать дисперсию и относительную величину флуктуаций объема системы, помещенной под подвижный поршень (заданы термодинамические переменные В, Р, Ф; см. Рис. 25), исхоДЯ из РаспРеДелениа нгн„, полУченного нами Длл этого случая в задаче 11. Решение. Действуя по аналогии с б 5, п.б) (расчет (гхйт)з), имеем )гехр ( - ~~+а- ( Вас~ В » — — ! -д — — -д — !пЯс ег!р( — ЬЯ~Е~~ лс ( ВР / ВР ти — ! гд г т' = —  — Яс, ' Ес дрз йб. Распределеною ло чослу часглоц, энергоо о объему откуда следует выражение для лисперсни величины объема (ЬУ»)т = Р' — (Г) = † †( † ! го/! = -В~ †) = !У др Ъ, др ),» ~ др ) н (-др/до)»' где мы положили 7' = !хге и учли, что р = р(В, е), а также лля относительной ее флуктуации (равной ширине распределения пв относительной величине Уг/Уг) б» = т„(гз)г) В ! — )ъг о'-+ О.
г> )г (-Вр/Ве) ечг/ч Задача 30. С помощью канонического распределения юга(В, р,!г/) получить явный вид для распределения по величине объема системы, .помещенной под подвижный поршень. Решеное. Заимствуя формулу лля мт„ из задачи !!. имеем, суммируя по и при фиксирова- нии г', и выражая эту уже каноническую сумму Е(в, Уг, )гг) через свободную энергию, жш»,р,л)-л (г ~-г»! (6(дгр~ У) Р~ '~ (Вг ! г!~ ) ! вг-— е 'г' * г =ехрх( -Е " * В или, учитывая термодинамическое соотношение 6(В, р, !т') =:В (В, У', !т') + РУ', где У' = гг, и опуская написание общих аргументов В и )ът, :р (Р) — юг(7') + Р(УУ вЂ” У') ~ мг — — ехр В Полагая )г = ух+ бг)г и разлагая в ряд по гх!г свободную энергию .В( у'+ гх!г), получим, учитывая, что дгв (У')/д У = -р, для мг гауссово распределение ! (Р— 7') т/2~г(М~)' с дисперсией (гхг')' = !Ъг результат лля которой уже был получен нами в предыдущей задаче.
'Получен не формул для дву- мерного гауссовского распределения па бг(г и гзЕ в случае, когда заданы параметры (В, р, М), предоставляются читателю. Приведем только ответы для дисперсиИ объема и энергии, а также для корреляции ЬЕЬР в системе с заданными значениями параметров В, р, !т': В!У ~дну! мгл ( д /д,) (лЕ)»1 — В»С + ( ~~ 1 (г),У»)г хд /,„ /.ВР 'х (бьегьр)~ =1 — ) (ър)г, . — ~д„) где величина (де/д!г)» н опрелеляется через уравнение состояния р = р(в, е) в соответствии со следствием из П начала термодинамики как ( — ) =в( — "р) -р. Задачи и дололниглельные вопросы н главе 1 $7ь РаспреАеленле Максвелла Задача 31.
Исходя из распределения Максвелла (см. 9 6, и. д)) в(т) = —, ехр где ез = ез + етз + вз, написать распределение по компоненте и„по модулю скорости е = !т! и по кинетической энергии частицы е = пзез/2. Определить средние значения этих величин, наивероятнейшие их значения, их дисперсии и относительные флуктуации. Решение. Одномерное распределение содержится в трехмерном квк один из составкяющих его сомножителей: в(т) = в(е,)в(е )в(е,), в(е ) = ~ — ~ ехр (- — ). Переходя в трехмерном распределении, записанном в лекартовых координатах е„е„, е„, и й =,йатп и.й,й отвеина преобразуя элемент объема дт= де„де„де, -й е Незгп дйГддйР, получаем , т хзл г-тле'т в(ейдйтй)йзеддйзуй= ( — г) ехр( )е~дез~пдддйзр.
2по) ( 2В ) Интегрируя по углам (полный телесный угол равен 4п), имеем % в в(е) = ~ дд / айР в(е, д, Зг) = ( — ) схр (- — )4яе . о о Распределение по кинетической энергии получается прн подстановке е~ = 2еГгн; де =, (2гпе) и'де: в(е) = — е '~'с'~', г вз Графики этих распределений приведены на рнс. 29, а-в. в) а) Рис. 29. Графики плотностей функций распределения по компоненте скорости е„па модулю скорости йатптй ю «= йй «й 115 8 7.
распределение Ипнгяелло Приравнивая нулю производные от ы(е,), м(е) ' и м(е) соответственно по е„е и е, получаем наивероятнейшис их значения: Ла р (ен)нв =бв "нв = ~/ — 1 енн = —. '2/ пв 2 Средние значения рассчитываются с помощью стандартных интегралов пуассоноаского ти- па (см. зтлачу 1): Г8В 3 Ев =О, В= 22/ —, Е= -Р. Чкш' 2 ,~(Де)' /Зя е 8 (д» )2 = ез — (в ) ви — — Р/ 8'в (Дв)2 = ез — (е)' = — ~3 — -); — — 3 2/(Д)' /2 (де)2 = е2 — (е)» = — Р2; 2 3 Относительные флуктуации этих величин, относящихся к отдельной частице системы, как мы вилим, не щпы.
Некоторые авторы связывают понятие температуры со средней кине- тической энергией е. На уровне столетней давности, когда кроме распределения Максвелла ничего другого не было, зто еще как-то звучаао. Действительно, для классической систе- мы е = яр (для нерелятивистской системы, когда ег = р'/2вп, мы определили, что я = 3/2), но в общем случае такой пропорциональности не сушествуег, и попытка построить опре- деление обшей характеристики (такой, в частности, как температура Р) на результате лля частного случая вряд ли может в настоящее время счигатЬСЯ НаУчной.
Далее, если бы мы могли измерять энергию отдельных частиц, помещенных в термостат, то мы получили бы разброс в результатах порядка 80% (такого разброса в показаниях термометра никто никогда не наблюдал). Но мы построили теорию не двв одной частицы, а дяя системы /в тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
