Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Заметим, что в классической системе одинаковых частиц средняя кинетическая их энергия равна 3 Е = ~~~ г; = № = /у. — д. !<вял 2 Ввиду независимости распределений по скоростям отдельных частиц при 2 ~ у имеем 22ев = квакв = (е)', поэтому еч = ~~ ~ еве = ~ ев ь ~ ГГ = дгез + (/у2 — хг)(е)2, 1 / ец откуда лля дисперсии энергии системы 222 частиц и,се относительной флуктуации получаем (ДМ)2 М2 (Я) /22(Е2 (2)2) я(де)2 /2/ Р2 2 Так же рассчитываются и средние от квадратов: — Р—, — —  — 23 и' = —, ез = и,'+ аз+ е2 = 3 —, ез = — р2, Интересно сравнить на графиках рис. 29, б) и е) характерные масштабные величины: т/аз е т/~ег — Рд 1Д 3; — Ф 1,22; — = 3; — щ 3,87.
енв Енв Енв Енв Для дисперсий рассматриваемых величин, характеризующих квадраты Ширины соответствующих распределений, и относительных флуктуаций на основе выписанных выше величин получаем 116 ЗаДачи и дополнишельныу вопросы к главе 1 в связи с чем мы можем говорить, что, измеряя температуру классической системы, мы тем самым измеряем среднюю кинетическую энергию всех йГ частиц системы (в расчете на одну частицу системы нли нет — зто уже частное дело), причем теоретический предел погрешности этого измерения ввиду малости относительной флуктуации этой величины (бв 2у и') при 1ч' Ъ 1 чрезвычайно мал, !> Задача 32. Определить связанное с тепловым движением молекул газа допплеровское ущирение линии испускания, если известно, что неподвижная молекула газа испускает свет с частотой ые, что температура газа В и масса отдельной молекулы т. Решение.
Если направить ось х от спектрометра к излучающей системе, то максимальный сдвиг частоты, связанный с продольным эффектом Допплера (СЬ, Оорр(ег, 1842), равен (ьг = 2ви = 2х/Т) 9,~ ььы е„ Т = Те ~1+ — /1 или с) ы с Так квк число молекул в газе со скоростями в интервале (е„е, + бе,) пропорционаяьно величине ы(и,) <(е„то, делая замену е, = с/Ьш/ы, получим для спектрального распределения интенсивности излучаемого света молекулами нерелятивнагского (е,/с = бьы/ы ч.
1) газа 1(ф)Щы) = Спехр ( — — — ~ — ) ~ — г!(гьи), В! )) где величина С содержит лишь амплитудные характеристики излучения отдельными молеку- лами. Определяя величину 1 1е = 1(ы) ~ „р = Сп —, ыь получаем для искомого спектрального распределения (т.е. для формы линии) гауссово распреаеление с квадратом относительно ширины Для проведения оценки возьмем водород Нз, т = 2/!Уз г, температуру В = Т 1,38 10 и эрг порядка Т 10' К, тогда В/тс' Т х 0,5 10 'з и относительная ширина составит (бю /и) 10 ' (напомним, что ьь 1О" с ', так что ущирение составит би !Ож с ', т.е.
величину, достаточную для спектрального разрешения). гэ Задача ЗЗ. Используя распределение Максвелла;определить давление р газа на стенку, если плотность числа частиц п и температура его д заданы. Решение. Так как плотность числа частиц, обладмоших скоростямн в интервале значений (е„е, + бе,), равна Ып„, = пв(е ) Ые, то число таких частиц, падающих за секунду на 1 см стенки, перпендикулярной оси в (рис. 30), равно умноженному на бпч объему призмы сечением 1 см и высотой е,: г!и„. = е,пм(е,) бе„. Пусть стенка представляет собой идеально отражающую плоскую поверхность, Тогда кюкдая частица при отражении от нее меняет нормальную составляющую импульса те, на обратную -гпе, (т.е.
изменение импульса гзр, = +2ти„). Сила давления на стенку, обусловленная потоком частиц, падающих на участок стенки в 1 см' за секунду и изменяющих В 7. Распределение Максвелла при этом нормальную к поверхности стенки составляющую своего импульса на величину 2пзи,. будет равна др, = 2ти«и«ню(и,) ди«, откуда, интегрируя по всем значениям скорости и, падающих частиц (т.е.
по интервалу 0 < и, ( оо), получаем полное давление газа: р = н ° 2 / »низы(и„) ди, = пти»з т пд, е соответствующее уравнению состояния идеального газа р =В. Рнс. 31. Взаимодействие частиц равновесной системы с реальной стенкой и компенсация средних потоков числа частиц Задача Зе. Найти распределение по углам частиц максвелловскаго газа, вылетающих в вакуум через небольшое отверстие в бесконечно тонкой стенке сосуда. Ркшение. Направим полярную ось вдаль оси е, положим и = и саад и воспользуемся трехмерным распределением Максвелла, записанным в сферических координатах (см. задачу 31).
Тогда для числа частиц, падающих со стороны газа на некоторую площадку Я в единицу времени с абсолютными значениями скоростей в пределах (и,и+ ди) под углами д и р в пределах (д, д+ дд) и (р, уз+ др), будем иметь . зй Г из1 Я ои(и, д, р) = Яп ~ — ) ехр ~ — — ) и соз дез ди мп д з(д др, ~2ид) ( 2д ) Интегрирование по азимутальному углу тз дает 2зг, по модулю скорости зн х .
/ ~ — ) ехр (- — ~ии ди = — / м(и)иди =— Мы уже отмечали ранее, что илеально глвлких и плос- Рис. 30. Падение «апнц газа на ких, идеа ьно упрупв, никак не влияющих на ударяющиеся идеально шрахыющую лл "ую о них частицы, совершенно не участвующих в тепловом движении (юхк бы «выыороженных» до д = О) стенок не бывает.
Модель идеально упругой стенки — зто не реализуемая идеализация. Следовательно, нет и закона идеального отражения частиц от стенки. Олнако, имен в виду средние характеристики (т.е. отвлекаясь от флукгуационных явлений), можно утверждать, что в равновесной системе ввиду отсутствии потоков частиц и каких-либо локальных отклонений температуры н плотности от заданных значений, поток падающих на стенку пад заданным углом частиц с нормальными составвяющими скорости из интерыша (и„и„+де,) должен компенсироваться точно таким же обратным потоком, который образован, естественно, уже другими частицами, упавшими на даннмй участок стенки под другими углами и с другими скоростями (рис.
31). Это обстоятельство. кстати, выражено в симметрии равновесного распределения Максвелла относительно замены т- -т. Поэтому и полученные нами выражения для дрм и давления р сохранят свой вид, что служит еше одной иллюстрацией независимости термолинамических характеристик равновесной системы от природы ограничивающих ее размер стенок. з> Задано о дополноглельные вопросы л главе 1 поэтому 'лля числа частиц, падающих в секунду'на Я (или пролетающих в секунду через отверстия с сечением Я) под углами (д,а+ г!д), получим пд Я до(д) = Я вЂ” мп 2дда = Яиз1п 2дггд, 4 где величина гпв пв и = — у! мп2ддд = —.
4,/ 4 е есть полное число частиц, падающих на ! см стенки за секунду: Рис. 32. Распределение по полярному углу д 'частиц, вылетевших е вакуум ~врез малое отверстие тонкой стенки И Вд пе и = / в пш(в») Ие = -ч/ — = —. 4 1/ягп 4 о Заметим, что полученный ответ, графически представлемный в полярных координатах на, рис. 32, имеет смысл только лля случая очень малого отверстия, такого, что вытекание через него газа практически не нарушает состояния термодинамического равновесия в сосуде, а само вытекание еще не может быть интерпретировано с точки зрения механики сплошных сред (т.е. размер отверстия должен быть значительно меньше средней длины свободного пробега молекул газа; см. задачу 37).
Задача 35. Подсчитать среднее число частиц идеального газа падающих эа секунду иа 3 снз поверхности стенки со скоростями, нормальные составляющие которых больше оо Решеное. Используя выражение для числа частиц, падающих за секунду на 1 см' стенки со скоростями (е„в„+ Ие,) (см. задачу 31), имеем г;,>„, — — / аи», = //и( — ) ехр(- — *~о»де, =иехр(- — ~, . где, как и в предыдущей задаче, и = пр/4 (О = т/8д/ят) — полное число частиц, падающих, за секунду ма 1 см стенки. Чтобы реально представлять себе масштабы величин, фигурирующих в ответах этой и предыдущей задач, сделаем оценку величиям и для водорода (пз = 2/йте г) и азота.
(пз = 28/1«е г) лля нормальных условий (Р = ! ат, ! = 0'С, !ге — — 22,4 л, и ш,«ЧГе/)ге). Лля средней скорости е = ь/8д/ягп получаем соответственно ! 692 н 454 и/с, чзо лает ляя числа соударений а кажцый квадратный сантиметр стенки за секунду впечатляющие цифры: ии, 11. !От~, ин, 3 10'з (напомним, что число Авогадро — моль газа — это АГе = 6 !Оз ). Если величина ша~~/2 — высота потенциальнога барьера, изображающего ашику, то иш>, представляет поток выходящих из системы частиц (если, конечно, этот пат!ок мал настолько, что не вызывает заметного нарушения равновесного состояния газа). Если эти вылетевшие частицы обратно в системы не возвращаются (т.е. лсе они «атсасываются» от границы каким-либо внешним полем), то палученнмй результат будет представлять цюрмулу Ричардсона (О.
К)спап!зоп, 1901) для плотности тока насыщения термоэлектроннай эмиссии из катода с работой выхода шее/2 в классической модели электронного газа, р задача зб. Рассчитать среднюю (в расчете нв одну вылетающую частицу) энергию частиц махсвелловского газа, вылетающих в вакуум из небольшого отверстия в стенке сосуда.
$7. Распределение Л(аксввлла Рещение. Характер малости отверстия оговорен в задаче 34. Поток вылетающих частиц (в рас- чете на ! см' сечения отверстия) подсчитан изми тоже (см. залачу 34 и 35): пй /йа 4 ' зтл' /ще й= ) пи»'( — + — + — ~м(е„)м(ег)м(е,)де,ое г(е, = 2 2 2 Беря инщграя по е„в соответствии с задачей 1, получим, что первое слагаемое равно пйа/4, откупа, учитьпая, что щег/2 = пге,'/2 = В/2, получим а=и 2В, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
