Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е"лл Ю е ял" и вырюкение для энтропии 8 всего ансамбля: 96 Задачи и дополнигпельлые вопросы и главе 1 получаем лля эитропии одной из систем ансамбля й — с)Г д = !п(елал) =— в Рмс.2В. Деформация луги интегрироваиия по комплексиой переменной П = х + ву ог исходиого Ь к прокапав(ему через точку перевала !)р = )), лежащую иа дейсгвительиой оси 1 м(а) = -Ь(!2 — ~ ~„Я»Е ч~ Г Фактически повторяя всю процедуру расчета статистическою веса Г, имеем 1 м„= ~ -дв((Я вЂ” 1)с( — ~Я„Е„+Л -Е ) = Г аю им рвавнч» акимы»ам (м-П снсюм) 1 (Я - 1)! — — '() ((Я-1)Е'-~;Я»Е„+г-Е„) = Г ПЯ.'.
( овса рааанчиын в ° ваннам (М*), юнюастворвюинв Го»авив 2;м,=м-п 1 (Я вЂ” 1)! , Ь((Я вЂ” 1)е — ~ ~Я„Е„+и — Е ) .Ь(Я вЂ” 1 — ~ ~Яи) (ио ассы нарова (Ма) а и Есэ ссра»н внии нв окав М) 2»! 2ю -(Я вЂ” 1)! — ( до~ дбехо1(Я вЂ” 1)~пх+б+ — ~ е в (р))1ева Р 1 1 Г Г ( Г '(2я()2 / о е п Определяя точку перевала из соотмошеиий .2',Ее лл е= — у Е„ем*(всн Я вЂ” ! " 2е рл. и -м -(о 1 Я вЂ” 1 п т. е. величина см по термодииамическому своему определе- иию (см. том 1, гл. 1, $5) оказывается свободиой энергией Ь системы.
Сделаем иебольшое формальное п)мечапие. Имея дело с двойиым интегралом по переменным П и 2, мы выполнили его оценку по методу перевала поочерелио. Исхолиыми путями интегрирования по П и 2 были отрезки ваоль миимых осей от точки 0 до точки 2я(, точки же перевала О х в обоих случаях лежали иа лействительиых осях (как это показано иа рис.2В для интеграла по и), причем точка перевала бр — — — )п(Я/л) с ростом Я все более сдвигалась по действительной оси влево, олиако иа оцеике основной асимптотики иитеграла, определяемой только прохоляшим через е-окресгиость (см. задачу 3) точки перевала участком коитура иитегрироваиия, это ие сказывается. Нам остается еше в методе Марвица — Фаулера получить само каноническое распределение Гиббса.
Сделаем это наиболее естествепиым и прамым способом: зафиксируем обшее для всего висамбля микроканоиическое распределение по состояниям всех других систем (иесколько другой подход — см. задачу 13). Для этого прежде всего выпишем микрокаиоиическое распределеиие. определяюшее вероятность обнаружить ансамбль в состоянии (и) = (и), п),..., пм), где и; — микроскопическое состояние р-й системы, 97 5 3. Предсгпавлвное о спютосшнческпх ансамблях мы вилим, что соответствующие им величины «с冻 /Г н ба при % -» сю, е' = Сола! совпааают с определенными нами при подсчете величины Г значениями «» и бе.
Поэтому (% !)!с(% П гм-и!ш п(т -лл /(% !)) ~у-Фл %!С(%)ем<ш»" (~ е лв*/%) Так как величина С(%) включает асимптотику не сильнее конечной степени % (точнее, %«з и слабее),то при % — со отношение С(%-1)/С(%) 1. Производя сокращение одинаковых множителей и обрашая внимание на то, что при % - со (%- !)!ем-'%м ! ( %!еи(% — !)и ' е (! - — ' получаем окончательно е -Ф8 ~,'е лд я где, как и раньше, !т = 1/О. рассмотренный выше метод оценок исходил из «жесткого» задания микроканонического распределения с кронекеровской Ь-функцией (при этом каноническое распределение стало выглядеть как бы менее точным, чем микроканоническое).
Совершенно ясно, что выбор, более сложной структуры дпя Ь-функции приведет к тем же результатам, но значительно усложнит изложение, и без того перегруженное прохоляшими громоздкими формулами. При этом метод сразу утратил бы свою математическую элегантность. Исключение составляет случай, когда в качестве Ь-функпии берется конструкпия, установленная нами в $4, и когда все необхолимые выклаакн становятся просто тривиальными. с» Задача 13. Найти асимптотическое выражение для среднего числа систем изолированного равновесного ансамбля (все системы — в тепловом контакте друг с другом), находящихся в микроскопическон состоянии т, при неограниченном увеличении числа систем в ансвнбле.
Решение. Просуммируем мнкроканоническое распределение ! м1„! —— - Ь (6 — ~ ~%„Е„), Г не нарушая заранее выбранного набора чисел (%„), по макроскопически различимым состояниям (т. е. учтем перестановки местами систем, находящихся Л одинаковых состояниях) и введем непосредственно в само распределение лля снятия условия ~ %„= %, которое нам будет мешать в дальнейшем, кронекеровскую функцию !з(% — ~ %„).
Тогда получим » функцию распределения по различным наборам чисел (%„) в виде — %,сг( -~%„Е„) (%-,",'%.). В п С ее помощью, почти повторяя выкладку, проведенную в прелылушей заааче при подсчете статистического веса Г, получаем, что Задачи и дополнительные вопросы я гдове 1 %„=,). 9!мм,м., = <и ! Я ~ е1-тд -Е)ит тм 2м и 6$ив ., м.=е "" 2м зм ! ! Г Г' "ел -! -ев -! = — Я(, ! ип ( о(ехр!ЯгтяЕ+б+ — у е ~!1е -г ( )~ / 1~ Я~- а о Оценивая этот инте!рал по методу перевала (те же, что и прн оценке Г значения яь = )у и йе), мы замечаем, что его основная аскмптотнка сокращается со стоящим в знаменателе статистическим весом Г, и мы получаем — Яе лл" е лл.
Полученный результат совершенно есшственен: так как все Я систем ансамбля совершенно олинаковы, то вероятность ю,„обнаружить какую-либо из них в состоянии гя равна отношению среднего числа систем ансамбля, находящихся в этом состоянии, к общему их числу, т. е. и = Я /Я (причем тем точнее, чем больше Я). Именно твк и вводят распределение и„, в методе Дарвина — Фаулера. Задача 14.
С помощью распределения ш(щ„! оценить относительную флукгуацию числа систем ансамбля, рассмотренного в задачах 11 и 12, находящихся в микроскопическом состоянии тп. Решение. Следуя процедуре, использованной в задаче !3 при вычислении величины %, имеем м~ ыг Я = — Я! —, / ог! / ггбехр (Я(дл'+б+ — ~ е 'в' !) ~ х е е ( т(-ел -0 ! -тл -!) -ьл -Ь( -т -и „!) (я ) „я откуда получаем лля дисперсии числа Я (ьЯ„» = Я„- (%.)' =%„ н для относительной флуктуации этого числа ыз бм„= =)/(ь'Я»=(Я ) Г = ! — елл" ~ е лд') -Я Ы Оэ % т.е. чем больше число Я систем в ансамбле, тем точнее в нем реализуется каноническое распределение. Задача 15. Полагая, что большая изолированная равновесная система разделена воображаемыми стенками на Я одинаковых частей (си.
рис. 2б,в), образующих ансамбль систем, каждая из которых является копией той, которую мы собираемся исследовать, получить для нее большое каноническое распределение Гиббса. Решение. Так как полная энергия Ф и полное число частиц ДГ „являются термодинамически адаптивными величинами, то дарвин-фаулсровский предельный переход будет сопровождаться двумя условиями: с.
' 6 дг,„ Я- сю; г = — согщ;,г = —. сопи. Я ' Я Задачи и дополни/лельпые вопросы к главе 2 Твк как по построению Г есть внутренняя энергия системы, а Я вЂ” ее энтропия. то, обозначая ~~/ е Л/е"! 1 Ян/ = Щх,р) = ехр ~- — ~. Г й1 имеем «'" — Р. Ф' - Й Ф вЂ” й З = ил (ев/ , е е т.е. величина Й = Й(е, х, Р) по термодинамнческому определению является потенпиалом Гиббса «омега», и мы приходим к стандартной (см. б 5) формулировке расчета термодннамическнх свойств системы через большую статистическую сумму Г и потенпиал Й = -6 1п Г.
Чтобы получить само большое каноническое распределение, просуммируем микроканоническое распределение по состояниям всего ансамбля систем, зафиксировав микроскопическое состояние !Уп какой-либо одной из них. Тогда, повторяя с учетом дополнительного интегрирования выкладку задачи 12, получим 2М 2«/. Ви о о ь х ехр ((Я вЂ” 1)(2/И+/Ь~Г'+2+ — 2 е " "1 1 2) ~еа/~ Я вЂ” ! Н'а' а после перехода Я оо (я — 1)1с(я — 1)е/~ ~/Ы~~~«ач/(я — !) 1~ ~/ь~ / -лв ~нь»н гиня я/С(я) и!Ф/ 22. //я %<м нли после всех сокрашений — стандартную форму е-вв./н/-зн ехР (-~~~ ~ Юпа(Р, Х, /2)— 2 ехр ~- На Задача 1б.
Рассматривая ансамбль систем, разделенных воображаемыми стенками (см. рис. 2б,в), определить среднее число систем, находящихся в микроскопическом состоянии (/2Г, и), а также оценить величину относительных флуктуаций чисел систем около этого среднего значения. Решение. Проблема совершенно аналогична рассмотренной нами в задачах 12 и 13. Если микроканоническое распределение для всего изолированного ансамбля I ! М!Н«1 = ГЗ ЯЛ К~~ Япяаа(/У)) Г просуммировать по всем состояниям с одним и тем же фиксированным набором чисел (Ян„) (т. е. учесть перестановки местами одинаковых макроснстем) и дая автоматического обеспечения выполнимости условий Я='.).Я" Я' =У.."Я" Н На ввести в распределение соответствуюшне /з-функнни, то распределение по различным наборам (Ян ] будет иметь вил м/тп.Ь= Я, йод — ~',Б.()Е)ян ~ ГЬ(я.Л'-),/уян ) ~(я — ~~' яп 2 Н 54.
Энглролця и канонические распределения Повторяя почти полностью выкладку задачи 14, получим с помощью этого распределения лля искомого среднего 21 зм зм я . = 1 1,, ( ь| / ял ~ яб » а а ( ( .. ч -»л„глмхя-1Х\ -твин!-хл-г а после нспопьзования метода перевала для оценки этого интеграла б)я»»)ви ~ где вл„— стандартная форма большого канонического распрелеления Гиббса. Аналогично задаче 13 получим 2 2 (бтя,)з= (б) „) +б) „, откуда для дисперсии (сь'У(я ) =Ж» ) (з)л ) =э)л э) и для относительной флуктуации т)('з(н ) ьч 1 (Е„(Л) — РМ) 54. Энтропия и канонические распределения. Экстремальные свойства распределений Задача 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
