Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В системе многих тел, взаимодействующих друг с другом, со стенками термостата и т.д., частицы получают случайные б 6. Переход к сп)оп)исп)ической иехонике классических скопом ть е) Распределение Максвелла-Больцмана (1866) для идеального классического газа Пусть' система представляет собой идеальный газ, т.е. Ф(гигу) = О. Тогда гамильтониан системы представится динамической величиной алдитивного типа; а 6)ч'-мерное гиббсовское распределение по импульсам и координатам всех частиц распааается на К независимых распределений: и чх т-г ш(р„...,рл, гп...,гл) = Се ' = ) ) ш(р„г<), г=! где распределение по импульсу и координате для каждой из частиц имеет вид 1 1' ен е ьч (2еглд)зд ( ехр (-11(г)/В» Иг По импульсу р — это распределение Максвелла (как и для любой классической системы), а по координате г — распределение Больцмана, обобщаюшее барометрическое на случай произвольного потенциала 1Г(г): 1 ( (г) 1 ш(г) = ш(р, г) Вр = )' ехр ( — сг(г)/В) Вг ~ д ехр 1 — — ~.
которое также для нас не ново: мы получали ею в томе 1, 5 6 как формулу Лапласа (1821 г.) на основе использования термодинамического условия равновесия системы во внешнем поле р(р(г), В) + 1Г(г) = сопзц В связи с написанным выше распределением Больцмана заметим, что учет потенциала стенок О, г внутри области У, 1 +со, г вне области У, У , „(г)1 1 1, г внутри области У, В 2 10, г вне области У при использовании распределений Гиббса для классических систем (не обязательно идеальных) эквивалентен ограничению области интегрирования по координатной части фазового пространства )Ч-кратно повторенной областью У, полагая хгчолн(Р~ Ч) = гх (Р~ Ч) + с)стчн(Ч) > имеем ехр — — ВЧ = ...
ехр — — Иг~ ... Игл, 0') (и) поэтому в последующем изложении мы не будем включать потенциал стенок в га- . мильтоннан системы Н(р, Ч), сразу ограничивая область допустимых значений г; внутренностью сосуда.заданного объема У. 74 13)ава 1. Основные положения стотостичесяой меяанояо равновесных снстем ж) Статистический интеграл для идеального классического газа. Общая структура 2 для неидеальных систем В случае Ф(го гг) = О статистический интеграл распадается на произвеление одинаковых интегралов по переменным г(, р; для каждой частицы: и 2 ()") — — — ехр — — В~ (и) ЧтобыЪыделить в этом результате главную статистическую асимптотику, воспользуемся формулой Стирлинга (см.
задачу 4), полагая 1)Г! = ()чге)н. Тогда В пространственно однородном случае, который мы в основном' и будем рассматривать, У(г) = О, будем иметь г(2 ивВ)зд 1н ' Г(2 шВ)зм г,=~ (2ял)з ~ ' ' ' ~ (2яа)з ве~, Уо = — В!и Яо = -1ч В!и ~ откуда несложно рассчитать термодинамические характеристики системы я 1 дягв (2вгиВ)здвезд 3 в(В,в) = — = — — — = 1и = — 1и В+!ив+ во, ОВ (2 „Л)з д.':гя В Р(В, в) = — — — = — или Ро = В; 1)! Ои в 1 зд1п мо 3 е(В,в) = — = — В' дс(В, о) 3 сг (В,в) = ОВ 2' Полученные нами соотношения Ро = В и с) и = 3/2 нам хорошо известны по термодинамической части курса (см.
том 1). Их называют уравнениями состояния идеального газа, а полное теоретическое их объяснение произошло сразу после установления распределения Максвелла (см. задачу 31), хотя существовало и до этого (см. п, д) настоящего параграфа). Полученное нами выражение для в(В, о) нязь(- вают формулой Сакура — Тетраде (О. Басит, Н. Те(годе, 19!1-1913), оно полностью определяет энтропию газа, включая и энтропийную константу вю знание которой необходимо ири рассмотрении задач химической термодинамики. Эта формула подтвердилась экспериментально, но ее теоретическое обоснование в доквантовую эпоху вызывалО значительные трудности. Проведенный выше расчет статистического интеграла Ло показал,.что это не только идеальный газ, в котором частицы не взаимодействуют друг с другом, Ф(гн г;) = О, но что это еше и классический идеальный газ, так что полученные выше результаты (в частности, уравнения состояния) имеют теоретическое обоснование эб.
Переход и опатиопочесхой механике классических сиален 75 только в области температур, превышаюших температуру вырожления по отношению к трансляционному движению: р»р, Для неидеальных классических газов, когла Ф(гпгз) зьб и Н(р,д) =Но(р)+Н~(Ч) проведя интегрирование по рн..., рн, получим где величина 1 Г Я = — ~ Иг, ... Игн ехр ~- — ~) Ф()г; — г ~) в, (к) )<3 называется конфигурационным интегралам.
Так как величину Яо мы уже рассчитали, то основная проблема теории неидеальных классических систем состоит в расчете конфигурационного интеграла Ч, который удается провести с привлечением приближенных методов лишь в немногих частных случаях (см. гл. 3 данного тома). з) Несколько слов в заключение Классическая статистическая механика является не самостоятельной наукой, а приближением, справедливым только при условии статистической невырожденности системы. Привлекательность этого приближения несомненна: нам не надо решать проблему собственных значений лля определения Е„, микроскопические значения энергии известны сразу — это классический гамильтониан Н(р, д), поэтому и распределение по.микроскопическим состояниям го(р,д) тоже известно сразу (если не считать его нормировки).
Таким образом, все проблемы теории сводятся с математической точки зрения к квалратурам — расчету конфигурационного ЗК-кратного интеграла ьг. Несмотря на то что эта проблема в сравнении с проблемой определения собственных функций и собственных значений по утвердившемуся обшему мнению в смысле сложности стоит рангом ниже, она за все время сушествования статистической механики была решена только для нескольких теоретических модельных систем.
С физической точки зрения область применимости классического приближения огромна. В следуюшей главе мы покажем, что все газы и жидкости из молекул, исключая один жидкий гелий, являются классическими системами, таким образом, такие явления, как фазовые переходы, как критические явления, в принципе может объяснить на микроскопическом уровне классическая теория.
За прошедшие сто лет проблемой неидеального газа и теорией жидкого состояния занимались крупнейшие Физики века. Созданы приближенные методы и высказаны основополагаюшие идеи, но микроскопической теории фазовых переходов до сих пор построить не удалось. Появлялось даже мнение бросить теоретические разрабстки — машина за нас все сосчитает. Однако оказалось, что в машину тоже надо вкладывать идеи, что ЭВМ это все же не извозчик, и рай для митрофанушек в век всеобшей компьютеризации тдк и не наступил.
В гл. 3 данного тома мы вернемся к проблеме неидеальных классических скстеи, затронув, естественно, лишь немногие ее вопросы, достаточно доступные по уров))ю для включения их в учебное пособие. 76 Глава 1. Основные положения статистичвсхой механихи равновесных систем 5 У.
ОбСУжДЕНМЕ В этой главе мы достаточно подробно рассмотрели тот круг вопросов, который связан с общими проблемами построения равновесной статистической теории, ее аксиоматикой, ее соотношением с механическим подходом к исследованию тех же систем и т.д. Все это помогло нам представить как возможности теории, так и общие гранИцы области ее применимости. Не следует забывать, что ограничиваясь в этой части курса рассмотрением только равновесных систем, мы имеем делос описанием их предельных состояний, практически никогда не реализуемых (см, обсуждение критерия квазистатичносги в томе 1, гл. 1, э 3), поэтому более полное понимание специфики этих состояний, а также особенностей н возможностей их теоретического описания возможно только с при влечен нем к общему обсужден и ю также и рея аксаи ионных процессов, являющихся неотьемлемой особенностью статистических систем (этому разделу статистической теории посвящена следующая часть курса, см.
том 3). При этом, конечно, существует мощная обратная связь: без понимания особенностей состояния статистического равновесия невозможно подойти к последовательному описанию кинетических процессов, происходящих в системах рассматриваемого типа. С рецептурной точки зрения все выглядит достаточно просто: структура смешанного состояния равновесной системы определяется простой экспонентой «и„= ехр(-Е„/В)/Я, а связь с макроскопической термодинамикой — просто формулой В«т = -В!и Я, так что читатель с прагматическим строем мышления, которого интересуют не исходные моменты теории, а лишь практические результаты, получаемь!е с ее помощью, может из всей этой главы усвоить лишь две формулы. Однако не Простота этих формул должна поражать всякого, кто задумывается над смыслом статистической теории (в физике достаточно много формул, связывающих какие- либо три величины), а то, что, во-первых, структура такого смешанного состояния устанавливается в системе самопроизвольно и, во-вторых, в процессе достижения этого состояния число параметров, характеризующих микроскопическое состояние, сокращается от величины порядка числа степеней свободы системы К тел до одного — температуры В (параметры 1г, а, Ф в счет не идут, они общие и в равновесном, и в неравновесном случаях, и при механическом, и при статистическом описании равновесного состояния системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
