Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Получить формулу Эйлера-Макло- г( ) рена (Е. Ец(ег, 1738, С. Мас-Еаип(п, 1742) для интегральной оценки суммы ь ~»,7(х») = — / 7(х)»зх+..., а э»-!э» *о Решение. Рассмотрим плошадь отдельной»Л-полоски, составляющей иаписаииый к условии интеграл (рис. 21) »»»л» где хо = О, х„..., х„= Ь пробегают зквидистаитио расположенный ряд значений, х,+»в х, = »Лх = (Ь вЂ” а)(п, а функция т(х) является непрерывной и сколь угодно раз диффереицируемой ма отрезке а < х < 6, Рис. 21. К выводу формулы Эйлеров Маклорена связывающей сумму дисярегмых змачемлй 7(л,) (обознвчемы точками) с площадью, ограммчеммой сверху Функцией 7(э) фигуры 6! . Иоглемошичесяое дополнение 87 и представим эту величину в виде полусуммы аь ач ач ! Г 1.
= / 1(хо+6)66 = / 1(хо+да — Ць(6 = — / (1(х, +дх — б)+ 1(хо+6)) а(. 21 о о Разлагая в ряд Тейлора по степеням б подынтегральную сумму, получим после взятия интегралов от степеней б 2 дх 1(*ь ьд*)+1(*;) У'(,+д*)-1'(гп) (дх)' У"(*,+ *)+Уч(*г) ( х)' 2 6 уа( +д ) удач( ) (д )ь уьч( + ь ) „Уьч( ) (д )5 2 24 2 120 Из этого разложения можно исключать члены с полусуммами четных производных.
Действи- тельно, так как 1'(х, + дх) — 1'(хь) 1'(хг + дх — дх) — 1'(ю + дх) 1'(х; + дх) — 1'(х;)— 2 2 1о(х + дх) + Уч(хь) 1'"(х + дх) — уо'(хь) (дх)' 2 д) У~ч( )(д)з + 2 б + ° ° ° , 1"(*ь + дх) - 1'а(*ь) = " = Ую(х + дх) + 1'ч(х.) 2 дх+..., то ' Ую(хо+да)+уш(хь) 1"'( ь+д ) — ум(хь) 2 Уо( ь+дх)чуо(х,) У'(х,+дх)-У'(х;) 2 Умх,+д )-Уи( ь) д 2 2 дх 2 б где многоточия в последних двух формулах означают члены с пятыми производными 1 ч н выше. Собирая теперь первые .членм разложения по степеням Дх для величины 1г, получаем 1(хь+дх)+У(хь) 1 (х +да) У (хь) (дх) У' (х +дх) 1 (х) (дх) 2 2 6 2 360 Рассмотрим теперь весь интеграл ь и-! 1= / 1(х)Ых= ~~~ 1. ч ь=о Учтем, что у(хо+де)+1(ьо) 1(а~+да)+1(х~) " 1(а) — 1(ь) + 2 +" 2 1(') =о и что в суммах по ь от полуразностей производных останутся только первое и последнее слагаемые.
Тогда получим, переставив местами сумму и интеграл, окончательную формулу ~ 1(хг) = / 1(х) — + + — (1'(Ь) — 1'(а))— Их 1(а) + 1(Ь) дх а=а а (Ум(6) — Ум(а)) + (1" (Ь) — 1"(а)) +.... Ва Задачи и дополнишельные вопросы к главе 1 В соответствии со смыслом провеленного построения стояшие справа безмнтегральнме члены являются попрявочными к главному (интегральному) в случае, когда функция т(я) иа длине Ья является плавной функцией, т.е.
у(е- ) — у(*.) Л*.) Переход ат суммирования к интегрированию широко используется в аппарате статистической механики не только в случаях, когда спекгр величины я, становится почти непрерывным (квязнлнскретным), т, е, когда 2гх — О, но и при проведении оценок соответствующих гнббсовскнх сумм в случаях (напрнмер, в выеокотемпервтурном приближении), когда прн конечном Ья (напрнмер, Ьх = 1) разности у(хьн) — 7(е,) становятся достаточна малыми. > 5 2.
Использование понятия о термостате при выводе канонических распределений Мы отмечали в основном тексте, что распределение ш„(8, я, К) (или шн„(8, я, р)) не должны зависеть от той термодинамической системы, которая, находясь в тепловом (а при воображаегных стенках также и материальном) контакте с исследуемой, измеряет ее температуру О. Произволом в выборе этой вспомогательной системы можно воспользоваться, положив, что эта система является по отношению к рассматриваемой термостатом.
Это — идеализированная система, которая: а) находясь в равновесном состоянии с исследуемой (контакт осуществляется через теплопроволяшие стенки 9) или воображаемые стенки ®), имеет постоянную температуру вне зависимости от того, в каком из допустимых микроскопических состояний она нахолится; б) вместе с исследуемой системой образует общую равновесную систему с известным распрелелением по микросостоянням (например, алиабатически изолированную с помощью стенок (чх)- систему), Следует отметить, что обе рассматриваемые системы являются термодинамическими, т.е.
системами многих тел, поэтому помимо традиционных адаптивных соотношений для макроскопических величин, таких, как внутренняя энергии, свободная энергия, среднее число частиц и т.л.: 6=Фт+ г, 7=Ж+у, я=,гт+, у, мы будем писать такого же типа соотношения и для микроскопических значений энергии, числа частиц н т.д.: Е = Ет+Ею %= 1'т"т+йг, где Ет и ń— значения энергии микроскопического состояния термостата, обозначаемого буквой Т. и микроскопического состояния системы, обозначаемого буквой и, Мт и 1т — точные числа частиц в этих системах. Свойство а) обеспечивается тем точнее, чем больше термастат, т.е.
его модель реализуется лиШь как предельная в случае . Ут(, и — со (при этом,У ° 1Озз Ъ 1). Этот дополнительный предельный переход вызван к жизни вследствие нашего желания использовать удобную модель термостата, а по своему существу является дарвинфаулеровским (см. задачи 5 3), Необходимо только четко соблюлать очередность предельных процелур: сначала,Лт(,А — оо при большом, но фиксированном .У, а уже затем предельный статистический переход .
~у — оо, в = сопзГ. Задача 8. Вывести каноническое распределение по микроскопическим состояниям ш„(й, $~,а, Ф), полагая, что рассматриваемая система вместе с нвходявГимся с ней в равновесии термостатом образует замкнугую систему (рнс.22), распределение по микросастояниям для которой является микроканоиическим. 90 Зодочо и дополнительные вопросы н иове 1 Ог=.лт+ Ь ' 3(Ог) =Ж( "т)+эк(. Г ) ОГ = Ет+ К Ея(91) = Ет(Я -'ЛГ)+ Е„(Х), 1 вляется стандартной статистической суммой, а поэтому эт(Я') есть сгободная энергия этой системы, если число частиц в ней равно Я'. Выделим теперь в каноническом распределении по и лля всей системы ту часть, которая не зависит от свойств термосгата: в„=ехр(-(о(%)-Е„(%))~=ехр( ~ехр( — ~ехр( и просуммируем По всем состояниям термостата (у) при фиксированных К, и (т.
е. % — ЛГ = соим). Тогда искомое распределение будет иметь вид (1 ( У'(.Л') — Е„(Ю) ) юян =' ~~' ыя = ехр ~ -(~х(Лт) Ж-Лт+ ~' яГ)) ~ ехр( (В ' В гтьм-и- Переходя, как и в предыдущей заяаче, к пределу,Л').Лт — О, учитывая термодинамичес- кое соотношение В:-Ц(..Лт)(В.Лт = Рт и условие термодинамического равновесия системы с термостатом рт = р, получаем Хт( Лт+Л вЂ” ДГ) —;Фт( Ут) = (.Л' — Ф)+... =гз(.Л вЂ” Дг)+..., ВЖ( Лт) В.лгт откуда окончательно имеем лля большого канонического распределения ( П вЂ” Е„(ДГ) + РДГ ) 1 ( Е„(УУ) — РК ) ' аян(В,в,р) =ехр( г = — ехр(- в . ) Г ( в где й(В, е, и ) = Зт'(Л' ) — П.
Л' = -В )П Г вЂ” термодинамический потенциал Гиббса яомегая, а большая статистическая сумма Ь(е,э,р)=~ ехр( — ~=~ ехр( — К~~ ехр( — — ~= Ня Н=е я (ехр ( — ~Ц л(В, в, Ф). Ь НМ1 Задача 10. Вывести большов каноническое распределение по иикроскопичвскии со- стояниям (Ф,н) системы, выделенной воображаемыми стенками внутри большой изолированной системы (рис. 24), общее распределение дяя которой по состояниям является иикроканоничвскии.
Рис. 23. Исследуемая систеиа выделена еоображаеимии стенками и является частью системы с заданной температурой и общим числом частиц Решение. Напишем два очевидных термолннамических аедитивных соотношения для чисяа частиц и свободной энергии: и два микроскопических соотношения для точного распреде- ления по системам числа частиц и дяя энергии: где и — индекс микроскопического состояния всей системы в целом. Обратим внимание, что согласно $4 основного тек- ста сумма по всем микроскопическим состояниям (Т) и прн фиксированном числе частиц в термостате ехр (--Ет(Я)) = ехр (-- 1зт(%)~ (тх %' =1оЯЯ р 2, Использование понлшнл о гпермосшоше 91 Решение.
Учитывая два термодинамических соотношения к=гт+", 91= ттт и т и два микроскопических соотношения б = Ет+ Е,(ДГ), % = 1тт+ !У, получим для интересуюшего нас распределения юаи(р~вюр) ) юаи,т 1т! ~1(б Ел(ДГ) Ет(Л ДГ)) 1 ьФ,Я), = ехр(от(6 — Е (Щ % — э!) — бм (б 91)г Учитывая, что ба Мт+" ° !'г+'!') = Ет(дт, -«т)+8(4~-4''), Рмс. 24. Исследуеиая система выделена воображаемыми стенками и является частью равновесной изолированной системы с заданной общей энергией и заданным общим числом частиц абт(б) /,Луг) ! з р а.э; Р В Рбт(бт, Гт) 1 1 М, рг В' и что при т'/лт- О Еи()У) И("4 лг) Бт(бт+Р— Е„(!У), .Утт Ь -Ф' — ДГ) — Бт(/т,"тт) = " — +..., получаем искомый результат В ( -ВЯ- ™) ( Е(Ф)-РУ1 (П-Е.(У)+ИФ1 > Задача 11.
Найти распределение по иикроскопнческим состояниям равновесной си- стемы, находящейся «под порщнемэ (т. е. с заданными значениями термодннамических параиетров р, р, )т (см. том 1, гл. 1, б 2, вариант (б)). Решение. В варианте выделения системы (б) объем системы У точно не фиксирован, и микроскопическое состояние системы определяется совокупноспю значений (Кп(У)), где п(Ф') — квантовые числа сабствен- мт дачи Й(У)гР„(У) = Е„(7)гР„(7) (число частиц ДГ всюду фиксировано, и мы его не пишем, как раньше не писа- Я.~ ли в аналогичной ситуации аргумента У). Поставленная запача по форме совпадает с тематикой задач 9 и !О. Оставляя вариант с изолированной а целом системой лля самостолтельной пРоРаботки, РассмотРим нашУ системУ рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
