Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 27
Текст из файла (страница 27)
задачу 13), то для опенки факториелбв %„! можно использовать формулу Стирлинге (см. зздачу 3), в связи с чем удобнее рассметривать не саму функпию м!и.1, е ее логарифм. Учитывая только основную есимптотику 1п%„! Й%„1п% и опуская константы, имеем, вволя множители Эйлера г! и (б — 1), Ф(%;г!,6) = — ~ %„1п%„— (6 — 1)(~~» % -%) - »г(~~ Е %, — %К) = шах.
» »» »» Варьируя по независимым величинам %„, 6 и % получаем — 1и %„— ! — С + 1 - г!Е, = О» — » %„= е -Е-те ~» Е -тя В= ~~» Е„е у,е тл" » % Ч е-тлз! т.е. мм видим, что в качестве величин г! и б,выступают (см. задачу 11) координаты точек перевала»! = гй —— »3 = 1/В н С = бе, и поэтому ()= --= %„'» е вл — ") =,„=м„(В.х.Е). %) »» Задача 23. Определить, какое при% - со распределение относительных чисел систем %ля/%, находящихся в микроскопическом состоянии (!!», гг), по состояниям (!»», и) соответствует наибольшему из значений ю(эгл,» (см.
задачу 36) (т. е. тому из наборов чисел (%„), который являетСя наивероятнвйщим). Решение. Задача енелогичне предыдущей, только теперь в ней рессматривается изолирован- ный ансамбль открытых систем (ем. рнс. 26, в). Определяя экстремум функпионяле Ф(Л,.; Ч,Л,г)=-~ ,'%н„! %„.-(6-1)(~% .-%)— н н» -п(~ Е„(!У)%,.-%В) -Л(~!У%н„-%.Л ) = н и еняяогично задаче 20,получим, что искомая величина равна (.)— %н»» — ) =ми„(е,х,р), »»в ГДЕ Мн„— 6ОЛЬШОЕ КаНОНИЧЕСКОЕ РаСПРЕДЕЛЕНИЕ Уиббеа. СОВПЗДЕНИЕ Эхе~ГО !ЭЕЗУЛЬтета СО СРЕЛ- ним, относительнмм числом, неходяшимся в состоянии (К, и) систем %н /%, обусловлено исчезающе малой шириной распределения по %л„/% (см, маячу 16), имевшей порядок 9Гсп г» Нетрудно видеть, что вторвя вврнепия функмионеле Ф по %„отрипятельне, т.е.
в точке экстремума — максимум функпии респределения. Совпяхение асимптотических вырюкеннй двя полученного в задаче 13 среднего относительного числа систем, находящихся в состоянии и %,/31, и полученного выше наивероятней щего их числа (%„/%) „, с формулой для канонического распределения Ъббса всвете результата, полученного в задаче 14, не представляетса удивительным: ширина распределения по величине %„/% имеет порядок % ч' — О. й 5.
Теорема о молсцмольяом слагаемом слшеипшгчеслоо суммы 2ОТ 9 5. Теорема о максимальном слагаемом статистической суммы Задача 24. Доказать, что в статистическом предельном случае главная асииптотика по гт статистической суммы Я, записанной как сумма по раэяичным уровияи энергии Е„." Я = ~ ы(Е„)е ~'~~=(л)м, совпадает с главной асинптотикои ее максимального слагаемого. Решение. а) Докажем теорему сначала в самом простом случае, когда число слагаемых в Я с ростом Ж растет не быстрее, чем №, где величина о не подвержена предельной процедуре (зта ситуация имеет место, например, для статистических сумм дискретных систем). Тогда, вынося максимальное слагаемое за скобки, получим Я= ) )ы(Е„)е ~ = (ы(Е„)е ] (!+...). л Так как число слагаемых ео втором сомножителе (в круглмх скобках), каждое из которых не превмшает единицы, не больше №, то его асимптотнка явно слабее необходимой Й и его можно вообше опустить вместе с другими негарантированнммн членами, и тогда Я = (л) = (ю(Е„)е ~ ) 6) Рассмотрим теперь случай, когда число слагаемых в статистической сумме не может быть ограничено условием, принятым в п.
а). В 44 основного текста мы покюали, что величина ю(Е„)е ~М = Яме, пропорциональна функции распределения по энергии и является остро сосредоточенной функцией Е„(см. рис.9) с шириной максимума при Ф со порядка ба = 12хДЬЕ)~ = ГТкЩсгл'ГМ.
Плоцвшь, ограниченная графиком ненормированного распределения Ямя„, как раз'и равна статистической сумме, т.е. ВЕ Я и (ю(Е„)е л'М) но число слагаемых в сумме Я, сушестеенно отличакгшихся ет нуля: бй Втг стл мь / №)2 дг «л гзЕ„Ф ко не составляет конкуренции главной есимптотике ля, поэтому Я = (ы(Е,)е г М), в) Наконец, рассмотрим случай, когда мы уже перешли к непрерывному спектру по Е, т.
е. Я()У) = / е Я З(Е) ИЕ = / Ям(Е) «Е. ль гч Согласно теореме обращения (см. 64, п, г)) для статистической суммы можно написать (е = Е/2гг) l /2е ~~Р г 2еезМсгл )08 Эадочц и дополнигпельные вопросы н главе г Используя для оценки этого интеграла метод. перевала (см. задачу 3), имеем дяя определения точки перевала еь уравнение де(ео) Ш -Р=О, део откуда следует, что определяющая точку перевала величина гь совпадает с удельной внутрен- ней энергией системы 'еь = с = ~г/!Гг; вторая производная в этой точке равна др 1 1 в" = — = — — — < О, де д2 сгн и поэтому согласно основной формуле метода перевала 28М >~ где лг = д -дд — свободная энергия системы. Полученный результат — это це только трюк: мы выяснили, что подынтегральная функция Г(Е)е ле имеет острый максимум при дг оэ, причем в главной асимптотике (З(Е)е "л) = (Г(Е)е Л ) , = ехр (- — ~ = Я, что н требовалось нам доказать.
Отметим дополнительно, что наивероятнейшее значений энергии Е„, = Е,в(Р), лля которого (Г(Е)е Лл) = Г(Е„,)е эш' =" Я и которое определяется из уравнения — Г(Е)е л =О, д дЕ эквивалентного в силу соотношения 1п Г(Е) = Я(Е) уравнению дд(Е) — -д=О, дЕ совпадает в асимптотическом смысле с внутренней энергией системы: д1пг д Е = Л = — — = — ( Г(Ею(Я) Е РГЬ™) = Ею(д), дд ддх что совершенно естественно в связи с выявленным нами в $4, и. г) остро сосредоточенного характера распределением по энергии ы(Е), е логарифм Г(Е„„(р)) — с термодинамической энтропией 1п Г(Е„,) = !и (ев~'Я) = Р(Ф вЂ” Я ) = Я(р). Доказанная теорема на первый взгляд представляется весьма эффектной: достаточно найти одно лишь максимальное слагаемое статистической суммы, записанной в виде однократной суммы по уровням энергии, как асимптотическое выражение ее при )!à — оо, только нам н необходимое, уже готово.
Однако проблема написания обшего члена из суммы Я по Е„, т.с. явного выражения ш(Е„)е Рд" (продифференцировать которое и затем приравнять нулю особого труда не составляет), не менее сложна, чем проблема отыскания самой Я: в $4, п.г) основного текста мы показали, что расчет величины и(Е„)ерл" или ЯЕ)ерл согласно теореме обрашения эквивалентен расчету всей статистической суммы 2. Доказанная выше теорема интересна скорее в идейном отношении,'так как в ряде случаев помогает понять некоторые особенности статистического аппарата. Так, например, с точки зрения статистической суммы не вполне ясно, каким $5.
Теорема а максимальном слагаемом опатисшичеснай суммы образом могут возникнуть (и вообще возникают ли) нарушения гладкости функции Я = Я(В) (разрывы или особенности производных Я по В необходимы для объяснения, например, фазовых переходов первого и второго родов, критических явлений и т. и.), так как каждое слагаемое в ней — гладкая функция температуры е л"Т . Ели нственное, что остается прелположить, состоит в том, что такие нарушения мокнут возникнуть только после совершения предельной статистической процедуры (совершенно так же, как,'напрнмер, разрывная периодическая функция определяется только всей совокупностью членов разложения в ряд Фурье, каждый иэ которых непрерывен).
Если же подходить к определению Я с точки зрения доказанной выше теоремы„ то проблема возникновения возможных нарушений гладкости функции не возникает вообще: эти нарушения могут существовать уже в допредельном по лг выражении ( (Е) ) = й/(Енв(В))е н обнаруживаться прн исследовании трансцедентного уравнения — (ьг(Е)е ~~ ) = О, ВЕ которое совершенно не обязательно должно приводить к решению Е„, = Е„,(В), обладающему непрерывностью всех производных по параметру В. Более того, в принципе не исключено наличие нескольких решений Е; = Ег(В), э = 1, 2,..., Соответствующих максимумам и минимумам исследуемой функции (т.
е. минимум и максимум свободной энергии Вг; = — !и Я;). Первые могут быть сопоставлены со стабильными и метастабильнымн состояниями системы (миннмумы эи ), а вторые— неустойчивым состояниям, которые должны быть отброшены как нефизическне решения. Задача 25. Показать, что в сумме основной вклад, выделяющий величину ~ в предельном статистическом случае, за- ключен в одном лишь максимальном ее слагаемом. Решение. Теорема энаэогична рассмотренной нами в эаааче 24 н очевидна уже в силу установленной нами в $5 основного текста острой сосредоточенности распределения по числу частии шн 'около своего максимума ЛГ = дг„„а статистическом пределе совпалаюшего со средним значением дг =.л . Однако еэ легко доказать н самостоятельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
