Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 30
Текст из файла (страница 30)
кажвдя вылетающая частица в среднем уносит энергию — а Е* ы — = 2В 1 и превышающую на в/2 среднюю энергию е = Зв/2, приходящуюся на каждую частицу системы. Если размер отверстия велик настолько, что газ вытекает как сплошная среда, каждый элемент .которой представляет термсяинамическую систему с локальными характеристиками, то этот «парадокс» исчезает.
Ь Задача 37. Представляя гвз в виде упругих шариков диаметром д, оценить среднюю длину Л и среднее время т свободного пробега вго частиц, считая температуру н плотность его заданными. Решенае. Ограничиваясь учетом только парных соударений частиц, рассмотрим две из них в системе отсчета, в которой одна покоится, а другая падает на нее с относительной скоро стью в = тз-т~ (рис.
33). тогда за время !ьт все частицы-шарики', имеющие скорость тз, центры которых попадут в цилиндр еыеоты и«31, имеющий в основаниях полусферы радиусом «Г, столкнутся с частицей 1. Среднее число частиц 2, имеющих относительные скорости в интервале значений (н, я+ он), равно яйги/зтпм(и) Ни, где яа~ = а — сечение изображенного на рнс. 33 цилиндра.
Интегрируя по всем значениям О ( н ( оо и устремляя Ы - О, получим для среднего числа парных соударений одной частицы системы за секунду игьт 1 Г а» = йш — ) пи пи/ьгпш(и) = пай. "" ы »Д$) е Таким образом мы приходим к необходимости определить рас- пределение м(н) по относительной скорости двух частиц.
Для этого рассмотрим двухчастичное реСпределение Макевелла Рнс. 33. К расчету числа пар- ных соударений упругих шари- «оа ДианетРом а' = 2гв 'ЗВ еРе- мя г31 в(т„тг) «Гт~ «Г»г —— ~ — ) ехР ~ — — ~ — + — /! ~ гГт~ «Гтз 1,2ка) ( В~ 2' 2 ) ; Учетывая, что м(т) = м(е,)в(ер)ш(е,), определим поток энергии, выносимый этими части- '; нами, 120 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1 и перейдем в нем к переменным У = (т, + т»)/2 — скорость центра инерции двух частиц, и в = т» — т, — относительная скорость, т.е.
положим 1 1 т, = У вЂ” -в, т» — -У+ -в. 2 ' 2 Якобиан преобразования (т„т») - (Ч, в) равен елинице: — =1, гле 1= 0 ! 0 ' поэтому преобразование 6-мерного обьема скоростей проходит безболезненно, вт от» = ЕУ»гв. Далее, введя общую массу двух частиц М = 2ш и приведенную массу и = ш/2 (заметим. что шгп = М!»), получим п»е» ше» МУ» ри — + — = — + —, ' 2 2 2 2 т.е. исходное двухчастичное распределение Максвелла по скоростям т, и т» распадается на произведение стандартных максвелловских распределений по скорости центра инерции У и относительной скорости в: в(т„т») от» от» = в(т,) дг»в(т») Ит» = в(У) дУв(в) Ев.
В частности, необходимое нам распределение по относительной скорости имеет вид »»» „» в(в)д»= ( — ) ехр(- — ~»!в. Используя результаты задачи 31, имеем поэтому для средней величины модуля относительной скорости /ВО / ВЕ й = ~( — = »/2)/' — = т/2е, яш н мы получаем окончательные формулы для оценки среднего числа парных соударений частицы системы за секунду и „„среднего времени свободного пробега г и средней длины свободного пробега Л в виде ! 1 е 1 = ч»2пей, г = — = — Л = со»х »- " и ч2иеб ивгх ч2па (последняя формула была получена Максвеллом в 1В60 г..
несколько ранее ее получил Клаузнус, но без фактора 1/~/2). Так как размеры молекул газа, составляющих окружающий нас воздух, имеют порядок нескольких ангстрем (Е 3 !О " см), то лля нормальных условий (р = 1 ат, ! = 0' С, Уэ — — 22,4 л) получаем длв срелней длины свободного пробега Л 1О ~-10 ~ см (при этом путь, проходимый отдельной частицей за секунду, в среднем равен Е 1 500 м = 5 10 см) и лля времени свободного пробега т РО 'е с.
Для оценки этих величин а других условиях достаточно прнбегнуп к простым формулам пересчета: Вр, /Вр, Л=˄— =Ле — —., гвт и Ее Р 1» Ее !» Рассчитанные в этой залаче величины являются у:ке не термодинамическими, а кинетическими характеристиками системы, они входят в коэффициенты переноса и т.д. (см, более подробно, а также и другие задачи подобного типа а томе 3, гл. 5).
Для нас же знание этих характерных масштабов важно в свете оценки условности тех приемов рассмотрения, которые мы использовали во всем этом параграфе: свободное движение частиц газа реализуется лишь не расстояниях порядка 10 ~ см (порядка ста диаметров молекул) в течение времени г 10 'е с (всего лишь в сто раз превышающего время взаимодействия частиц 10 1» с). На расстояниях, больших Л от стенки, система ее фактически уже не ощущает.
Поэтому и к использованию такнх масштабов. как квадратный сантиметр и секунда в молекулярных задачах, надо относиться со снисходительностью, как того требует всякая условность. 1> 121 8 8. Г(лоссичеслнд одноотонныо гоз а 8. Классический одноатойдиый газ Задача 36. Используя общую зависйность энергии частицы от ее импульса Ер —— /рзсз+ гптс4, определить термодинамические характеристики идеального газа в не- релятивистском (В 4С гпсз) и ультрврелятивистскон (В > тс') случаях. Решение. Представляя согласно З б, п,ж) основного текста статистический интеграо в виде 8= [з(В,о))л, имеем х ррр ° '" 2, ,вв,,в- 4 à — р р. во в / 1 в о Этот интеграл целиком выражается через функции Бесселя 2-го рода от мнимого аргумента, но от этого мало радости — нам нужны конкретные формулы и опенки.
Введем безразмерные величины РС 2ПС' Пзе' тогда з(В, о) = 4™ (тс) / е Г~* те дс. (2йя)з о Рассмотрим сначала случай В к тсз (В 22 1). Используя зщсю, давшую в заааче 3 поправочйые члены к основной формуле метода перевала, положим '=( Гу * детб Гу ду Тогда в показателе экспонентм выделится слагаемое, пропорционаоьное у н не содержащее 2 параметра В: 2 2 1 4 ~~2 1 2 4 4(Г'4 2 8 В так что при В - со мы получаем, используя табличные интегралы пуасоновского типа (см'.
за- дачу 1), 4гее 21 -г Р-2222Г' ! 14 1з з(В,о) = — (тс) — е ~ 4( е " ~1+ — -у +...~у ду = ()' ( l ~ (8 о 42гее, 1 го22я яГ' 15 1 = — (гпс) — е — ~1 + — — +...) . (2дя) бзГ2 2 ~ 8 б В случае В лр тс' (г < 1), чтобы убрать малый параметр из экспоненты, сделаем замену 2 У С, 1 Удр „Г.,з+ —, (2 ' /У2 (2 Г Тогда 2(В,о) = — (тс) — 2( е 2(у — ( )у ду. 42гее, 1 Р 2 2 2 (2„д)з (з / 2 Интересуясь только первыми членами разложения интеграла по степеням б, представим 2 подынтегральное выражение в виде 2 2у22 1 2 141 У(У -б) =У --б --б — 4-..., 2 8 уз (г2 Задачи и дополнительные вопросы и главе 2 учтем, что н 00 е "У з!У=(б +2(+2)е Гйе2 — — +..., е зз!У=с 1=1 — б+..з.
3 г е Тогда, приведя подобные члены, получим 4яее »1 / 1» х(В, е) = — (гпс) — . 2 (1 — -б +...) . (2ей)з ьгз Итак, в крайних случаях В < тс» и В Ъ гпс» мы получили (пальнейшие членм разложения читатель может рассчитать самостоятельно) (2ктд)ьпее ( тс» ) г' 15 В В ехр ! — — )1 (1+ — — +... ) в случае — ч, 1, (2»гй)' ( В ) 1, 8 тс»,Г тс» х(В,е) = ('".')"'('-~(=)'") получас» ~ ! Отсюда уже следует формула дяя удельной внутренней энергии 3 г' 5 В тс»+ -В(1+ — — +...) в случае д ч,. те~, 2 ~ 4 тс»,l з»~» ЗВ(1+ — ( — ) +...1 вслучае В2»пзс», бхд) сгн теплоемкости (калорического уравнения состояния', график см.
рис. 34) де(д,е) сгх =— 2 дВ » д 1п г (В, е) ВВ Зг" 5  — (1+ — — +... ) в случае Вй:тс», 2 2изс 1У»~» 3(1 — -( — ) +... в случае В2»тс». бз В) ") В Рнс.34. Зависимость удельной тепло. енпостп одиоатоииого классического газа се генперазурн 1 2 ( 5е — тс » е 3 б зпс' 2 е — тс' й — — вслучае В< те, 3 п в случае В2» тс» (зависимость лля ультрарелятивистского случая нам знакома: дпя газа фотонов р = н/3), Ввиду того, что в исходном выражении дпя х(д,е) 2 величина удельного обьема е оказалась вне интег»уз ла, включаюшего учет конкретной зависимости энер; гин .йр частицы от импульса, для уравнения состояний идеального классического газа получается знакомад формула вне зависимости от того, релятивистский газ или' максвелловский: ВУ(В ) д В р = — =  — !п х(В, е) = — или ре = В. де де и Однако если исклпзчить В, выразив температуру через внутреннюю энергию В = В(е), то мы получим характерные дпя нерелятивистского и ультрарелятнвистского случаев (в нулевом приближении) зависимости давления от плотности энергии: )гэ 3 8.
Клоссочесяий одноппониый гоэ Эайдча 39. Найти нормированное распределение ш„(Е) г(Е по полной энергии Е системы К невзаииодействующих друг с другом частиц и с его помощью определить наивероятнейюее значение энергии, ее среднее значение, дисперсию и относительную флукгуацию. л Решение. Обозначая Е = 2 нзаз/2, запишем исходное распределение по скоростям асех ип лГ частиц ш(гн..., гл) Ат! ... огл = П ш(гч) 1Ь~ — е Ач! ... огл. Чтобы получить из этого ЗФ-мерного распре- лелеиия по скоростям распределение по одной величине Е, зафиксируем сумму каадратов всех скоростей и пРоннтегРИРуем в пРостРаисгае (т„...',тл) по всем оставшимся ЗЛГ-1 переменнмм.
С геометрической точки зрения мы фиксируем в ЗлГ-мерном пространстве длину лектора В и интегрируем по всем углам, так что конец вектора описыаает сферу в этом пространстве, Это интегрирование можно аыполнить непосредственно, однако мы воспользуемся более простым приемом. Запишем результат этого интегрирования в виде О 1 д 3 е=Е/йт — д -В 2 2 Рис.
33. Распределение по энергии в классической иерепятивистской равновесной систеие из лГ не вааииодейгтвующцх Арус с друпзи частиц злю дт, ...Атл — — АВ АВ= — ~ — ) Е г ггЕ, зл-~ А/2~ зл, ~ 2 хт,~ (у н лг) где А — пока неизвестная величина, такая, что АВ'» ' определяет величину поаеркно- сти ЗДГ-мерной сферы радиусом В. Таким образом, зависимость искомого распрсаеде- ния ш(Е) ст Е уже выявлена: А 2 з Д злд ш„!Я) АЗ = — ( — ) ( — ) ВзлГ 'е АР. Чтобы преаставнть себе это распределение зрительно (рис. 35), заметим, что ш,(е) еп е ™, шз(Е), е е"~г и т,и Величина изс' — это большая величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
