Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2 Тогда, учитывая, что з — зв = 1егт, имеем вдаль нового пути интегрирования, прохолншего через зв, в е-окрестности этой точки (сы. Рис.!9) м(з) — и (зо) сй Сг(з — зю)' = огге'1"+ "1. Рис. 18. Внд поверхностей и(х, у) н «(х, у) вблизи седловой точки и ороекцнв на ннх нового контуре интегрирования, проходящего через точку зв Выберем теперь наклон этого пути так, чтобы уг = -(л + а)/2. Тогда в(з) — м(зо) = -аб . Этот путь соответствует двигкению влоль одной из прямых «(х, у) = «(хв, у,) (при выборе тг = (л — а)/2 мы имели бы м(з) — в(зв) = +от'), а так как линии уровней «(х, у) = соотг артоганальны к линиям уровней и(х, у) = соотг, то вдоль выбранного пути функция и(х, у) изменнетсл наиболее быстро. Такое направление 1л называется критическим направлением в точке зв или направлением наибыстрейшего спуска (второе критическое направление соответствует случаю наибыстрейшего подъема м(з) — м(зв) = +ат').
82 Зодочн н дополнолтельные вопросы к глоде 2 Используем теперь произвол в выборе всего пути интегрирования и установим его так, чтобы асимпто; тическне оценки интеграла по отлельным его участкам пути можно было бы произвести наиболее простым образом.
Путь от точки г, (см. рис, 17) до э', = зе-е,ег" и величину е, < е выберем так, чтобы функция н(я, р~ вдоль него все время не убывалв; в интервале от э, Ло зт = хо+ стет" бУдем двигатьса вдоль линии УРовня е(л, у) = в(ло уо) и через «перевал» (в точке зе функция и(л, у) достигает максимума) по долине поверхности и(в, р); путь от точки эт ло э, и величину ет < е выберем так, чтобы функция и(я, р) вдоль него не возрастала. Зафиксировав путь интегрирования, мы можем в принципе испольэовать параметрическое его задание л = в(1), р = у(1) и выбрать этот параметр 1 так, чтобы в точке перевала он обрашался в нуль, а в ее е-окрестности по абсолютной величине совпалал с установленной ранее величиной 1. Тогда характер изменения функций и(э) и е(э) ддоль этого пути будет иметь вид; схематична показанный на рис.!9.
Оценим теперь интеграл Рис. 19. Схематический аид функции и(1) и и(1) при параметрическом задании пути интегрирования -Фмч) / лнкн-мчв7( сначала по участкам пути от гч до з', и от эт до зт.' -и -и )1 ) ! 7 нико-м(щл7(1) з аг~ < / лма1-мел~7(1) / й1 < -Фм)К сз Аналогично ИК = ~~м ~' з'"'""ти-'* м' *-" фх,. дс хт где К, и Кт — конецные величины, не зависящие от )У (напомним, что интеграл 1, а следовательно, и интегралы,7 сходятся по условию). Выберем теперь е~ — — ее)г7 нтьт, Тогда, во-первых, полагая б ) О, мы вправе пренебречь вкяадом ог первого участка пути интегрирования, а во-вторых, выбирая О < б < 1/б, можем отождествить е~ —— е.
Аналогично мы можем поступить и с ет, положив ет — — е. Чтобы представить оставшийся интеграл ,7т = / е "" ~1+ 7УСэс~епи+ 7УСхтеми+ -77Сэ1"сии+ ... ) 7(хе+ 1еги)емтй 2 тег в виде гтуассоновского, добавим к нему интегралы по областям -со < 1 < е и е < 1 < +со. Оценки таких добавок (см. задачу 2) однотипны. Для второй из них, например, имеем ! Г-" Гл / е « ~ (1+ ° )У(хо+се и)еим1! <х' ~ е-лм'м1 е / е-лхд д(АГа1~) < — е л 217т7а 2етт'а с с Нельзя не заметить, что как только что оцененная величина, так и оценки частей,7, и 7з содержат фактор -ласт -астли е =е Ф 84' Задачи и дополнительные вопросы «главе 2 написанный выше интеграл к виду Аг! 1У«хГ / Мах 1) о непосредственно позволяющему использовать для его оценки метод перевала.
Имеем ы(х) = !па — хю ха — — 1, ) = 1, вл = — 1, км = 2, и'" = -б. Подставляя эти значения в асимптотнческую формулу, полученную в предыдушей задаче, будем иметь при 1У » ! Ф! = Г(Ф Ч- 1) = ( — ) ъГ2«1У ~ 1 Е -à — +...) 1е) ~, 12!У (слелуюший поправочный член, равный 1/288!У~. выписанным нами ранее разложением не охвачен). Можно предложить также и упрошенный способ получения формулы Стирлннга, не связанный с использованием основной формулы метода перевала. Рассмотрим логарифм факто- риала л !и 1У! = !и (! 2 3 ...
Аг) = ~ ~!п *. Аппроксимируя сумму по х интегралом (шаг гзх = 1), имеем .« л х=л ~йг\ 1п 1у! И / 1п х дх = (х !п х — х)~ = 1у !п 1у — !у+ ! га !и ~ — ) х=! е Слелуюшие асимптотические вг!ены можно в принципе получить с помошью формулы Эйлера — Маклорена (см, задачу 7): от верхних подстановок сразу возникает -' !п!у и даже поправочный член —,, однако, чтобЫ получить константу - !п 2« из подстановок значений ! ! произволных подыийтеграяьной функции в точке х = 1, йредставляюших собой простые дроби, необходимо отсуммировать бесконечную нх послеаовательность, что уже не просто. . Заметим, наконец, что в наших исслелованнях, подчиненных предельной статистической процедуре 1У -~ со, в = сонм, важными оказываются лишь выписанные выше асимптотнческие члены 1У 1п 1У вЂ” 1У, т.
е. нам достаточно ограничиться простой формулой "=(-".) в то время как все другие уходят вместе с негарантированными статистическим рассмотрением множителями в статистических суммах Г(Х, $г, 1У), 8(В, !г, 1У) н др. Задача В. Пусть функция у(т) такова, что !у(!) = О при 1 < О, а при т -, +со она растет не быстрее зкспоненты )З'(с)) < Ае, А > О, и ей сопоставлена функция х'(р), называемая ее преобразованием Лапласа (Р. кар(асе, 2886): )!(1) — х'(р) = е г'~(!) ю(1 = е г!у(1) Ф.
СЮ а Построить обратное преобразование х'(р) — У(т). Решение. Оценивая модуль функции р(р) /Е(р)! ( А / '1е и!ем Я = о 5 1. ббагпениаическое дополнение мы вилим, что она является регулярной в полуплоскости Кер > А (область. в которой функция Р(р) может иметь особенности, на рис. 20 заштрихована) и убывающей при р — са, Чтобы построить обратное преобразование, представим функцию Я(1) в лиле интеграла по переменной 1' ат произведения конечной при всех 1' функции «(Г')е и, где (о > А, и б-функции б(1 — 1'), лля которой затем воспользуемся известным кнтегральным прелставлением С х 1(1) его / бт е-го" 1(1 )б(1 1) о ,о «! б, $ / бтето1 ) ем гг!О 2а' У о -х Вводя переменную р = бе+10, получим, двигаясь на комплексной плоскости р по контуру С вЂ” вертикальной линии, проходящей снизу вверх правее точки Л (рис. 20), Рис.
20. Путь интегрирования иа комплексной плоскости р = б Е 10 при обратном преобразовании Лапласа, В замтрмховаииой яалуплоскости Ке р < «функция Р(р) может иметь особенности жоао м — 1 бр / б!' '1' Г1 у(1'), 1 2х1,г' Ео-~ О откуда и слелует формула обратного преобразования Лапласа 1+ох У(1) = — / еНР(р) Ир, ! 21 2 го-ох которое называют преобразованием Меллина (Н. Ме111п, 1696). Задача б.
Сформулировать метод неопределенных множителей Лагранжа (3. Еадгапде, 1762) для отыскания максимума величины функционала Ф(~ы ..., «ь) при наличии дополнительных условий уг (2„ ..., Я = О, 2 = 1,..., а < й. дФ бФ = ~ — бУ, = 0 ., 0Л и учесть, что вариации бу„..., буо не независимы, а подчинены условиям б1оу м ~ — 'буг = О, У = 1,..., о. дД, Будем считать, чта задача имеет решение, т.е. из последних уравнений можно выразить вариации бУп ...,б~„ т.е.
детерминант (р р) П(-Л,.", Л) и тогда, исключив их из бФ, можно приравнять нулю коэффициенты при уже независимых ВарИацИяк буоы,..., б«О, Чта ВМЕСТЕ С ураВНЕНИяМИ р,ф„..., у,) = 0 даСт й урааисинй Лпя определения значений Уп..., «о в точке экстремума функционала Ф. Его значение в этой точке будет максимальным, если вторая его вариация в ней отрицательна, бтФ < О.
Однако прямой путь отыскания экстремума не всегда технически удобен. Чаше используют для этого метод неопределенных множителей Лагранжа, а кагором все вариации . решение. Прямой путь отыскания экстремума функционала Фф,..., «о) ясен: нужно просто приравнять нулю его вариацию 86 Задачи и дополнительные вопросы к аллее 1 оказываются иезависимыми. Умиожим условия бр = О иа произвольные величины Л; (часто называемые множителями Эйлера) и сложим эти йули друг с другом и с вариацией бФ = О.
Тогда ~ ( — "+~-Лз'— ')бУ,=О. Выберем теперь Л„..., Л, так, чтобы козффициситы при буо..., бу, были нулями: дФ доз — +~ЛУ вЂ” '=О, » = 1, ..., в. Это уравиеиия для ивхождеиия Л„..., Л,. Так как оставшиеся вариации бг» „..., бу» являются узке независимыми, то коэффициенты при иих должны быть нулями, т. е. написанное выше уравнение справедливо также и для» = в + П..., й. Получившихся у иас Ь уравнений, конечно, недостаточно для опрсдслеиия Ь+ в величин Л„..., Л„Ум ..., 7», ио у иас еше есть ровно в уравнений ру(Уп..., 7») = О. Таким образом, задача решается при совместном рассмотрении й ь в уравнений, определявших искомые ~„..., 7» (определяюшие экстремум функционала Ф) и вспомогательные параметры Ли..., Л,; Зго 'гз(Л .
" 7») = О> У = з " ~ в. Таким образом, мы приходим к формулировке слсдуюшей простой процедуры отыскания экстремума функционала Ф: чтобы сразу получить необходимые для этого уравнения (оии на- писаны выше), ивм слелуст ввести новый функционал Ф =Ф(Ум...,У,)+~ ЛУРУ(Уо...,у,) = Ф(Уп...,Ую Ло...,Л,) и, считая все величины ~о..., 7», Л„..., Л, независимыми, приравнять первую его вариацию по этим Ь + в величинам нулю, бФ = О (как в задаче иа безусловный экстремум). Задача 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
