Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Этот впечатляющий по своим'масштабам спонтанный процесс потери статистической системой информации о деталях своего микроскопического состояния (фиксированного, например, как начальное с точностью, удовлетворяющей требованиям механики) в рамках равновесной теории объяснен быть не может (мы уже и так отклонились от своего жанра, этим вопросам посвящен третий том пособия), и когда мы говорим, что «смешанное состояние ш«(В, У, К) приготовляется термостатом«, то принимаем готовый результат уже как заданный. Обсуждение введенных в этой главе равновесных распределений мы провели в соответствующих параграфах. Остановимся кратко на обзоре тематики дополнительных вопросов к этой главе, В математическое дополнение (61) мы включили вопросы, используемые как в этой главе, так и в последующих. Такое их вьщеление может быть несколько смягчит уровень математической скороговорки (а иногда и нббрежности), неизбежно возникающей при изложении какого-либо физического курса.
Материал б 2-6 посвящен выявлению разных сторон и свойств канонических распределений, разным спосорам нх получения и общим следствиям их них. Новых формул по сравнению с приведенными в основном тексте главы эти параграфы почти не содержат и поэтому смело могут быть отнесены к дополнительному материалу. Использованию классического распределения Максвелла (э7) посвящен ряд традиционных задач учебного плана (число их можно было бы и увеличить).
в 7. Обсуждение 77 из которых упомянем лишь проведенную а задаче 37 оценку средней длины и среднего времени свободного пробега — масштабных единиц длины и времени в молекулярной теории„важных для понимания обсуждаемых в данной главе проблем. В связи с выделением (произошедшим практически самопроизвольно) в статистическом интеграле части Яа, соответствующей идеальному оаноатомному классическому газу, этой системе посвяшен й 3 раздела задач. В данном случае это прелставляется рациональным, и в гл.
2 ланного тома, посвяшенной целиком идеальным системам, эти вопросы традиционной классической теории мы уже затрагивать не будем. И наконец, два последних раздела задач посвящены известным теоремам классической статистической механики — теореме о равнораспределении средней энергии по степеням свободы, теореме о вириале и микроскопической формулировке закона соответственных состояний. Задачи и дополнительные вопросы 5 1. Математическое дополнение Задача 1. Вычислить интегралы 1ь(а) = х е г(х, Хь(а) = х е * Нх оо е в случаях )г = 2п и Й «о 2п+ 1, и = О, 1, 2,..., если а > О. Решение.
Исходными для получения общих формул являются интеграл Х,(а), который берется сразу: Х| =Хг хе ггх«« — Хг е ор= —, -««1 -о 2а Х 2а' о о и интеграл Пуассона 1«(а) — нормировочный интеграл для гауссова распределения ы(х) ехр (-ах») = ехр ( — -' тат), где дисперсия (л«х)» = х» = (2а) '. Не стоит пытаться брать его по частям. Он берется с помощью искусственного приема, связанного с тем, что квадрат его 1о»(а) вычисляется элементарно прн переходе от декартовых к полярным координатам: х»« |" ««+% / / -«(«+г» 1 1 / / -«~ а о о откуда «х 1» /» 1« ««Хг е»тх«««у»-. 'т' а Заметим, что ! 1,„,(а) = О, Х»„(а) = -1»,(а), 2 а и»пегралы 1,„(а) н Х»«ы(а) равны п-кратныы производным от 1о(а) и Х,(а) по (-а): 1 ° 3 5 °...
(2п - 1) «»г» и| 1ъ = 2" о"«ц» — Хь+| =— 2а«ы ' заметим, что так как интеграл х«(а) с помощью подстановки ах» = г превращается в известное интегральное представление Г-функцин х Х(а)««Ге'11 Ц »11= Г( — ~, 2а<»«цг» Х 2а|"ы|г» 1, 2 / ' о то мы получаем непосредственную возможность, положив я = О, определить величину Г(-') = «/», а следовательно, н любые лругне значения Г-функции полуцелого аргумента. г> у 1. Математическое дополнение Задача 2.
Вычислить интегралы «ошибокв 4 2 Та(а,с) = е х г(х о для четных и нечетных значений целого числа й. Решение. Кяк и в предыдущей задаче, основными интегралами являются То и 1,. Последний интеграл берется точно: г «г~ ! г Т(а,() = е "* хох= — е ог!у= — ~1 — е г ). Для численных значений интеграла Хо(а,() и производных ст него в математической справочной литературе имеются подробные таблицы. Для аналитического его исследования рассмотрим крайние случаи малых и большик в масштабе ширины гауссова распределения ~/хт = (2а) из величин параметра 1. В случае з/йааб < 1 имеем, разлагая в ряд экспоненту г ««о То(а,~) = / е * йх=~ (-!)" —,а" / х Нх=~~~ о «о о ««о Первые члены этого разложения имеют вид 1о(а,б) = 1 (! — -ас + — (аб') —...), ьГ2ааб а 1.
Во втором случае з/2а( > ! ма«ой величиной валяется отклонение То(а,1) от половины величины интеграоа Пуассона То(а, оо) = 1о(а)/2 :« «« То(а,б) = / е ' йх = / е '* бх — / е '* йх. Делая во втором интеграле стандартную замену ах = у и сдвигая область интегрирования 2 так, чтобы она начиналась с нуля, у = аб + а, з > О, получаем г То(а,4) = -тт! — — — е 1 е откуда, разлагая в рял (1+а/аб') по степеням величины а/ас, являющейся малой в области интегрирования, фактически ограничиваемой экспонентой е ', имеем х 2 То(а,с) = — / — — — е 'г / е '(1 — — —,х+ — ( — ) г' —...) йа. о Используя полученные в предыдущей задаче значения Хо(а), получим дая искомого инте~рвов при сааб > 1 То(а,б) = -~/ — (! — — е 'г (! — — — ', + — ( —,) —...) ~.
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2 Функции /а(а, Ц н Т1(а, () прелстаалены на рис. 1б. Для значений числа й = 2п и й = 2п+1, и = 1, 2, 3,... имеем простые дифференциальные соотношение /ы(а,с) = ~- — ) 2»(а,с); да) ~ а) а) Задача 3. Вывести основную формулу метода перевала для главной асимптотики по тзг при З!г — оо интеграла вида О ~Гад Рис.
Зб. Графики ннгеграаоа омибок Хд —— 2)/Я 2»(а,() н Х = 2аХ~(а,() как функций»/аб /()т) = е (*)У(Я) Ил, с где контур С проведен на коиплексной л-плоскости из точки з! а точку зт, функции ш(з) и /(л) — аналитические функции, регулярные а области, через которую проходит путь интегрирования, а сам интеграл конечен при любом фиксированном значении Лг. где С» м (з») и! ы(з) = ~~~ С„(з — аа)", »=3 Выделив первый член этого разложения, пропорциональный (а — з»), мы а дальнейшем 2 ограничимся случаем (это лажное ограничение),,когда коэффициент Сз —— ю»(ге)/2 Ф. О. Пусть  — радиус схолимости написанного ряда.
Так как функция ш(з) регулярна, то значения ее модуля на окружности Сл, образоаанной точками е» + Ве'г, ограничены 1м (а» + Ке'») ! < М. Так как по теореме Коши 1 / ю(() д( м( )= —, 2я1,/ ь' — ее то 1 /' м(ь) »К ) 1 1 М !С„!= — / ~( — М вЂ” 2яВ=— )2л1./ (~ — ео)"+'~ 2я В»м В" с» Поэтому, полагая е-з» = !е'г и суммируя убывающую геометрическую прогрессию (!/В < 1), имеем !'з — зе!» М!з (-()~-.
Е В» =В!(В !) Решение. В идейном отношении метод оценок интегралов приведенного а условии вила сформироаался главным образом благодаря рабатам Лапласа (Р 1.ар!асс, 1820) и Дебая (Р !Зебуе, 1909). Мы ограничимся здесь несколько упрощенным, но достаточно наглялным вариантом изложения этого метода, по аозможности не опуская деталей аыаола и оговаривая асе ограничения, так как это важно лля понимания математического смысла предельной статистической процедуры йт - со, е = сонм. Рассмотрим область комплексной плоскости а аблизи точки а = аю а которой производная е/(з») = О. Ввиду регулярности функции ю(з) имеем а этой области м(е) = м(ае) +'Сз(з — е»)' ч ы(а), 81 В 1. Мошемашичеслое дополнение Ограничим область. изменения молуля )з — зв( е-ок- у рестностыо 0 < г < е й Я (рнс.
17), тогда Ме Ме 1ы(в)~ < Яг(Л вЂ” е) 22г Воспользуемся теперь произволом в выборе величины е (елинственное ограничение на нее — это е к Л): установим зависимость е ат числа 1тг таким образом: ' 1 О<б<— б' е(гт) = евггГ чтобы при 1т' оа х 1)т/ы(з)! гтг' ц~~~ = 1тг и " -~ О, Рис.17. Выделение е-окрестносгн около точки зв, через которую проведен в то время как квадратичный член навий контур интегрирования ~РГС,(з — з,)гг - Мгг оставалсн бы главной поправкой (звеневшей ат переменной интегрирования з) к константе )ув(зо). Тогла в установленной е-окрестности лля экспоненты, ставшей под знаком интеграла, получаем г г вычг лс 1 — М е""П = е" '"'е" "' '"' 1+ ггтсг( —,)'+)тс( —,)" + — '( — о)'+...). 2 Перейдем теперь к вопросу, как деформировать и(х у) " *о уо нсхолный контур С так, чтобы путь интегрирования проходил бы через точку зо, в окрестности которой для функции ел"1*1 мы установили достаточно элементарное представление.
Так как функции м = и+в«являегсн па условию аналитической, то вблизи точки зв поверхности и(х, у) и «(х, у) имеют вил, представленный на рис. 18, а точка зв является для них седловой. Действительно, согласно условиям Коши — Римана В б«гУи гУ« Вх бу' Ву Вх' и поэтому всюду, включая точку зо, Вги дги Вг« дг« гухг луг гухг луг Пусть Сг = -мх(зв) =!Сг~е" = аег .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
