Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот вариант теории имеет главным образом общетеоретический интерес, так как на его основе наиболее четко просматриваются те постулаты и ограничения, которые вкладывается в статистическую механику (см. б 3). ,9) Система в термостате. Фиксированы параметры (д, г,а,11г). Для ге„ каноническое распределение Гиббса 1 Г Е„(к,дг)! зл„(д,х,1т) = — ехр ~— статистическая сумма 2ф, °,Ю)=~ р(- Связь с термодинамикой — через свободную энергию, являющуюся термодинамическим потенциалом в переменных (д, х, 11Г): дг(д, к, 1т).
= -д 1п г. Этот вариант теории очень удобен, широко используется всюду, но главным образом в статистической механике классических систем (см. в 6). у) Система выделена из термостате воображаемыми станами. Фиксированы параметры (д, К в, р). Число частиц 1ч становится микроскопическим параметром. Для вн„— большое каноническое распределение Гиббса 1 Г Ен(К,М)-РРГ1 мл„(д, х, р) = — ехр ~— 64 Глава 1. Основные положения олотисаичесной нехонини равновесных спален большая статистическая сумма ь;и, ») — »» ) и» Связь с термодинамикой — через потенциал Гиббса «омега*, являющийся термодинамическим потенциалом в переменных (В, х, р): О = (В, х, и) = -В 1п ~.
Этот вариант теории широко используется всюду, но главным образом в квантовой статистической механике. Относительное неудобство формализма состоит а необходимости пересчета результатов к более удобным переменным (В, х, дг). б) Система вод полвшкяым вервием. Фиксированы параметры (В, р, а, 1» ). Обьем У вЂ” микроскопический параметр. Распределение тик„имеет вид 1 ( Е„(У а„йГ)+рУ1 гик„(в, р, а, 1т) = — ехр с(— до «гиббсовская» статистическая сумма Ео(в р,а йг) =~~ ехр~.— ( Е„Я,а,М)+рУ'1 и» Связь с термодинамикой — через потенциал Гиббса 6', являющийся термодинамическим потенциалом в переменных (В, р, а, йг): б(в,р,а,Ж) = — В1пос.
Этот подход (см. задачу 11) оказывается удобным при рассмотрении некоторых частных задач. Как мы уже отмечали в томе 1, кроме указанных вариантов (а,)у, у, б) выделения системы можно предложить какие-либо еше и другие, однако а главной статистической асимптотике характерные особенности равновесной системы будут одними и теми же. Все то же относится и к вариантам статистических формализмов. Выбор того или иного из них для работы — это уже дело практики, целесообразности и, наконец, личной привязанности.
Ясно заранее, что если, например, какая-либо задача точно решается в одном из формализмов, то она решится и тоже точно в любом другом, разница будет состоять в усилиях, которые необходимо затратить для получения решения. То же самое относится и к приближенным методам (точно решаемые задачи — это лишь редкие исключения в любой теории), в которых результат определяется той идеей, которая вложена в приближение, а не техникой ее обработки, которая в принципе может быть любой, но от рационального выбора которой зависит товарный вид данного приближения и ясность вложенных в него основных положений, так как совершенно несомненно, что перегруженность выкладок пухлыми интегралами невольно переключает сознание исследователя на их математическую обработку, отодвигая в тень более важные идейные стороны вопроса.
5 б. Переход к статистической механике классических систем Если подойти к рассматриваемому нами разделу теоретической физики с исторической точки зрения, то придется отметить, что аппарат статистической механики з б, Переход к опеглосаоческод неханоке клоссоческох соален б5 первоначально разрабатывался применительно к системам, микроскопическое описание которых основывалось на классической механике. Это состояние теории сохранялось более полувека (т. е.
целая эпоха), причем влияние механики как абсолютно точной науки (альтернативы просто не было) было настолько мощным и всеобъемлющим, что механический дстетрминизм стал перерастать уже в какую-то всеобщую идеологию. Конечно, целый ряд основополагающих молекулярно-кинетических представлений был высказан еще до работ Гиббса 1901 г., но именно онн завершили построение статистической теории классических равновесных систем как замкнутого раздела теоретической Физики. Примечательно, что идеи Гиббса оказались ннварнантными по отношению к типу механики, описывающей микроскопические состояния системы, поэтому переформулировка теории, связанная с открытием и утверждением квантовых представлений, произошла через 25 лет после работ Гиббса достаточно безболезненно.
Но мы здесь не придерживаемся исторического аспекта и не соблюдаем хро'нологии. Излагая в предыдуших параграфах основы равновесной статистической механики сразу на квантовом уровне, мы нсходилн из того, что, во-первых, это рационально и, во-вторых, выдержано по идее. Микроскопическое состояние не может быть в принципе полностью классическим, и его описание средствами классической механики — это всегда приближение (поэтому и обратное построение 1- от классической теории к квантовой — выглядит в наше времй просто алогичным). В этом параграфе мы рассмотрим основные моменты этого приближения, а также остановимся на некоторых общих особенностях классической теории.
а) Критерий применимости илассичесиего приближйния Универсального критерия классичности системы не существует, его надо формулировать по отношению к каждому отдельному виду микроскопического движения. В этом параграфе мы рассмотрим наиболее характерный для многотельных систем вид этого движения — трансляционное движение )гг одинаковых частиц. Чтобы отвлечься от иных типов движения, положим, что система состоит из Ф материальных точек (тем самым мы автоматически исключим внутренние движения, которые в действительности происходят в молекулах, атомах и т.д.; мы рассмотрим их отдельно в следующей главе). Если состояние системы задано с помощью волновой функции т()(гн...,гк,1), то распределение плотности в координатном а) Рис. 14. Переход от непрермвного распределения плотности вещества (вмрожденнмй случай — а) х нартине пространственно лохализированнмх иатериальнмх точек (невмромденнмй случай — в) пространстве 1т)г(гн..., гл,1))', соответствующее )Ы-частичному квантовомеханическому состоянию, оказывается в общем случае непрерывным (рнс.
14,а), в то время как в классической механике оно дискретно (набор лг материальных точек 66 Глава 1. Основные положения сяиапистичасяоО яшонояя равновесных шотеи в обьеме У„рис.!4.4). Переход к классическому описанию соответствует случаю (рис. 14, б), когда размазанное распределение 11л1з распалается на «частицы* (или «пакеты», «сгустки» и т.
и.). Условие такого распадения — зго не Ь вЂ” О, так как Ь Ш 1 х 1О з~ эрг ° с — это константа, постоянная Планка, а требование Л/1 - О, где Л вЂ” длина волны де Бройля (бе Вго811е 1., 1924), для трансляционного движения определяемая как 1 Ь Л Л= — =-= —, Й р айви а 1 — характерные для рассматриваемого случая длины. У нас таких длин по крайней мере две: а) ' размер системы Ь; условие Л < Ь вЂ” это естественное т1ебование классичности лвижения отдельной частицы в потенциальном ящике, образованном Стенками сосуда, которое автоматически вьйолняется в предельном статистическом случае Х = з/У -«оо; б) расстояние между частицами 22,з1 условие Л «С.
Лц — это условие распадения на пакеты, размеры которых меньше расстояния между ними. Однако это условие не может выполняться всегда вследствие постоянного движения частиц, поэтому потребуем, чтобы оно выполнялось бы в среднем, т.е. Конечно, это условие не ликвидирует квантовых корреляционных эффектов, существенных при сближении пакетов до расстояний 21п Л, просто рассматривается предельный случай, когда такие сближения относительно редки, так что.
в среднем учет квантовых интерференционных эффектов дает малые поправки. Чтобы оценить среднюю длину водим де Бройля Л, воспользуемся чисто классическим распределением Максвелла по модулю скорости э = 1т! (мы его еше не успели получить, это произойдет на ближайших страницах, так что можно считать, что мы взяли его на короткое время взаймы). Тогда имеем А= — (-) = — / — ( — ) *р(- — )4 Если сделать замену те'/2д = х, то интеграл берется сразу: Заменяя;/2/я 0,8 на единицу, получаем условие й за Лй — «Ка= ь/— «/рт у Лг или, представляя это неравенство как условие, налагаемое на температуру системы, д>— Этот критерий классичности системы 24' материальных точек называют условием статистической невырожденноети системы О1 тел по отношению к трансляционному 67 в 6. йеренод и стотиопичеснай механике классических систем движению, а температуру дз = (Ьз/т)(ЬГ/г")из — температурой статистического выракдения по отношению к этому виду микроскопического движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
