Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для иных типов движения (колебания, происходящие в системе в целом, виутреииие движения в молекулах, их врашеиия, колебаиия, электронные переходы в иих и т, д.) условия их «классичности» по форме несколько иные — оии ие связаны с ЬГ-тельиостью системы. Физическое их содержание то же, что и в рассмотренном случае, ио конкретный их вид можно получить, располагая решением соответствующей кваитовомехаиической задачи нескольких тел. Мы вериемся еше к этому вопросу, когда будем учитывать указанные виды микроскопического движения. 6) Квазиклассический предел для числа квантовых состояний в элементе фазового пространства др дд Переходя к классическому описанию системы, мы характеризуем ее микроскопическое состояние уже ие»/г-фуикцией, а, как отмечалось в з 2, и.
а), точкой (Р з) = (р~ " рн, ги.",ги) в фазовом пространстве, значения динамических переменных «сиова» становятся классическими: ио, чтобы перейти от суммы по микроскопическим состояниям и к интегралу по фазовому пространству, необходимо знать еше число квантовых состояний, приходящихся на элемент йр 4д этого пространства (в одномерном варианте формулы Эйлера — Маклорена (см. задачу 7) зто отношеиие 4х/гЬ). Согласно квазиклассическому приближению квантовой механики (или квантовой механике Бора) зто число равно '(21ГЬ)з' где 'Ь вЂ” число внугреииих ие подверженных классическому переходу степеней сво- . боды «-й частицы. Для качестаеииого пояснения этой формулы воспользуемся вновь решением задачи о движении частиц в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см.
3 2 и. в)). Для одномерного движения одной частицы в этом ящике мы имели рпх Ь» »йп(х) =сопзс Яп — > рп = — и, и=1, 2,.... Так как каждое состояние и — это стоячая волна, т.е. плоские волны с противоположиыми импУльсами Р„'и -Рп, то само квантовое число и совпадает'с числом квантовых состояний, приходящихся иа область фазового пространства (О < х < Ь, Рп <Р«<рп): Г <0 <я <Ь ( 0<х<Ь 1 и грп =и или Г Рп < Р* < Рп / 1,0<Р«<Рп/ 2 2»Ь Разделив теперь систему иа части, такие, что гьх ч. Б и б р, «С рп (ио сьр, Л» Ьр„), получаем в одномерном случае Г =ЬГ~ = Твк как движения вдоль осей х, р, я совершенно равмоправиы (в случае, коиечио, свободного движения), то в трехмерном случае число трансляциоииых степеней б8.
У)зава 1. Основныв лоложвннв опотоопичвс»ой мв»они»и равновесны» словам свободы в элементе лр пг равно Ьр«»г йГз = (2яй)з Если частица имеет спин, то каждое ее состояние характеризуется еще и его ориентацией, например, по отношению к импульсу р, Число таких ориентаций равно у= ~ 1=2в+1, »»» где в максимально возможная величина проекции собственного момента частицы на какую-либо ось. Например, для электрона т = 2 (в, = ~'/з), для частиц со спином единица т = 3 и т.д. Исключение составляет случай фотонов: ввиду поперечности электромагнитных колебаний возможны только две независимые друг от друга их поляризации (например, правая и левая), поэтому у = 2 (хотя спин фотона равен единице). Умножая аГз на т и обобщая на 1т -частичный случай, мы получим формулу для аГ, приведенную в начале этого пункта..
Заметим, что не все квантовомеханические величины имеют классический предел или классический аналог (например, спин электрона не имеет такового, и вообще момент количества движения может стать «классическим» только при больших значениях в). Таким образом, те микроскопические особенности системы, учет которых в принципе не допускает классического варианта описания, в общем «классическом» пределе должны быть сохранены на квантовом уровне (при этом, естественно,' не все суммы перейдут в интегралы). Заметим, наконец, что заблаговременное'суммирование по в, (или по какому-либо другому внутреннему параметру частицы), опрелеляющее фактор у, можно провести только в том случае, когда выражения, стоящие под знаком статистической суммы, не зависят от в (в частности, если гамильтониан Н(р, в) не включает учета взаимодействия магнитных моментов частиц друг с другом и внешним полем, как это, например, имеет место для моделей систем с центральным взаимодействием частиц при отсутствии внешнего магнитного поля).
Обычно для простоты в классических задачах мы будем полагать в = 0 (т.е. у = 1). в) Принцип тождественности частиц в квантовой теории и классической механике При рассмотрении трансляционного движения в квазиклассическом приближении принцип тождественности частиц имеет довольно важное значение. Напомним применительно к нашим проблемам, в чем состоит этот принцип.
Пусть выполнено условие статистической невырожленности й » ф) ф и плотность |»й(гн..., гн, г)1з имеет хаРактеР 1»" отдельных волновых пакетов, которым мы сопоставляем классические частицы. Все равно это предельное состояние системы в принципе отличаются от чисто классического: — в классической физике тождественные частицы в принципе можно перенумеровать как любые классические объекты и тем самым сделать их различными (по принципу театральной вешалки: Х одинаковых жетонов снабжают номерами от 1 до б 1Он) — в квантовой механике, когда мы пишем 4(гн..., гл, г) — это Ф-частичное состояние системы, определяемое набором 1»' аргументов у волновой функции, но сами «частицы» как таковые не индивидуализированы; поэтому мы никогла и ни в каком пределе не можем сказать, где и какая «частица» находится, какой б9 э" б. Переход х опапнопичесхой механике нлоссоческвх систем >» Рь г) Канонические распределения и статистические интегралы по состояниям классической системы В свете всего сказанного выше статистическую сумму Я по микроскопическим состояниям и в квазиклассическом предельном случае можно записать в виде интеграла по фазовому пространству (р, о) слелующим образом: где Н(р, о) — гамильтониан системы, а величина >1Г определена нами в и.
б): , Ф дГ =, ар, ... >(р дг ... >(Рм. (2яй) гм у нее номер и т.д. (на языке гардеробной аналогии — это 1ч жетонов, совершенно тождественных и без всяких номеров). Если мы теперь возьмем классическое состо- и> яние (р, д) =- (р>, .,р», г>,...,гм) и поменяем .б... ° ° -а .ч - ' —.. "',ф няя все значения р и г теми же самыми, то мы получим другое классическое состояние и соответственно другую точку в фазовом пространстве, 1 'ф На рис.
15 в силу ограниченности наших изобразительных возможностей эта операция замены,' ° ( > Рг индексов 1 2 представлена для одномерной системы двух частиц (и то только для их импульсов). Вместе с тем с точки зрения квантового подхо- 0 Р> да — это одно и то же состояние. Чтобы избежать этих повторений при переходе от общего кван Рис. ЗЭ. Расположение точек в иитовомеханического описания системы к класси пуяьсноа части фазового прострв ст в взового пространства ческомУ, мы должны либо огРаничить область си ю их взпичные с г ки з ен фазового прес>Рансгва мноюмерным клином так ю>вес ческои ие в ики свого чтобы любая перестановка инлексов частиц выво- 'стицы перенумерованы), являющиеся лила бы фазовую точку (р, о) за пределы области повторением одного и того же двукчврассмотрения и не учитывалась бы (на рис.
15 — сгичного квантового сотояния (чвстиэто заштрихованная область), или, используя все цы в принципе не могут быть перенунефазовое пространство, учесть, что каждое тожде рованы) в кввзикявссическон пределе огненное с точки зрения квантовой теории состояние в предельном классическом случае будет повторено гч"1 раз (чнсло перестановок друг с другом гч индексов частиц 1, 2, 3,..., 1» ).
Поэтому в появляющихся в результате квазиклассического перехода интегралах по фазовому пространству (р, о), под знаком которых стоят функции от динамических величин лля системы Ф одинаковых частиц (функция Гамильтона Н(р, о) и т.д.), которые в силу тождественности частиц не изменяются при перестановках их индексов, необходимо либо ограничить указанным выше способом область интегрирования в пространстве (р, д), либо интегрировать по всему фазовому пространству, повторяя при этом каждое доклассическое состояние системы Ф1 раз, и затем, чтобы не получить величину, в К1 раз большую допредельной, разделить весь интеграл на Ф!. э 6.
Переход х оватистичесхой механике хлассичесхих систем 7! будет равен объему слоя 6Ж-мерного фазового пространства (р, а), заключенного между энергетическими поверхностями Н(р, а) =  — бб' и Н(р, д) = В, деленному на Н! и (2яа)зл. Несмотря на эквивалентность всех формализмов равновесной статистической механики, в классической теории в подавляюшем числе случаев используется каноническое распределение Гиббса в„,(В, я, Н) и статистический интеграл о(В, я, 2тт) как наиболее удобные в рассмотрейии.
д) Распределение Мансаелла (Л.С. МахатеИ, 1860) Так как лля классических систем Н частиц, характеризуемых гамильтонианом (см. 51) л т к Н = ~~! — !+ ~~1 У(гт)+ ~~т Ф(гнг ) = Т(р)+ У(а), 1=! т=! ! <!<тлю зависимость Т(р) от импульсов универсальна (мы рассматриваем теорию в нерелятивистском варианте), то и распределение по импульсам также будет универсальным вне зависимости от вида потенциалов взаимодействий ст(г1) и Ф(гн г.) (лишь бы они не зависели от скоростей, что в нерелятивистской ситуации достаточно достоверно). Используя распределение Гиббса, получаем, интегрируя по координатам всех частиц, .!...1-- / 1 — 1 " 1-Š— 1=П-!.! Г (т(д) 1 ( р,'- В ! '( 2-т 2 В! ! 1= ! т.е. распределение по импульсам в равновесной классической системе в(р„..., ртт) мультипликативно, оно распадается на произведение одинаковых распределений по импульсам каждой частицы: тт \ в(р) = Сехр à — — ~ 1 -2птВ ) далее, каждое трехмерное распределение в(р) в силу рт = рт+рхт+рт в свою очередь распадается на совершенно идентичные одномерные распределейия по компонентам импульса: в(р) = (р*)в(рт)в(р*), где в(р,) = ехр (мы воспользовались интегралом Пуассона (см.
задачу 1) и сразу записали рас.пределение с множителем, обеспечивающим его нормировку при со < р, < +ос), и мы получаем для распределения по импульсам р и скоростям т = р/тп лля классической равновесной системы (идеальность ее не предполагается, в обшем' случае Ф(гп г.) ~ 0) рабочие формулы ти(р) = — ехр — —; в(т) = — ехр По своей математической структуре экспонента ехр (-рт /2птВ) — это гауссово распределение около среднего значения р, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
