Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1, где (Еэт) . Й РРО/т, т. е. гРаница непРеРывного спектРа лииейна по о, 2. Случай В « еР. Как мы выяснили впре- В дыдушем пункте, для электронного газа в металлах это реальная ситуация, так как ея 10з К, а В -1О' К. В случае В уе 0 интегралы 1„уже ие берутся точно, и нужно развивать приближенные методы для их расчета. Обратим внимание, что при В « с» функция 1 п(с) = е!г-»!ГЯ+ ! Рис. 42. Характер температурного рэзмытия ферми-распределения при †„ « ! в изменяется по сравнению с единичной ступенькой, характерной для случая В = О, только в узкой области ширины В вблизи границы Ферми (рис.
42). Иными словами, лишь относительно небольшая часть электронов, располагаюшихся в узком слое около поверхности Ферми, участвует в тепловом движении системы. 155 э" 2. Одноалюмные кеанагоеые вазы Используем это характерное обстоятельство (узость области температурного размытия ферми-ступеньки) при оценке интегралов 1,. Если взять интеграл '1„ по частям е" +! " 1 Т / дп(е)ь 1„= .~ е п(в) де = п(е) — + — ) ~ — — ) е" де, + ке +/1, д ) о о то слагаемое с подстановками е = О и е = +ос обратится в нуль, а. под знаком интеграла по е появится допредельная В-функция от аргумента (е — р) (т.е.
острый пик, сужающийся при В - О, но постоянно ограничивающий единичную плошадь), умноженная на регулярную часп е"+' (рис. 43). Введем безразмерную переменную интегрирования х = (е — гв)/В, означаюшую не только сдвиг начала отсчета, но и значительную при В/гв « ! растяжку, Тогда О гв В .дп(е) дп д 1 — — де = — — дх = — — Нх = де дх дх, е*+1 е* дх = д(х) г!х, (е*+ 1)з Рис. 43. Зависимость от в функций, сто- лщих лца знакои интеграла в иодифици- рованном фермиевском интеграле 1„ где ~*/~ + е-*/~ 2 ~!т (х/2) — симметричная функция, ограничиваюшая единичную площадь, и запишем фер- миевский интеграл 1„в этих обозначениях 1„= — (гв + Вх)"+'д(х) дх. и+1 -л/в Разложим теперь бином (р+ Вх)"+' в ряд по степеням Вх/гв, учитывая, что функ- ция д(х) ограничивает область интегрирования по х как экспоцента е 1*!.
Тогда 1 В и(и+1) /В'! 1„= — в( гв"+' ~1+ (и+ 1)- х+ х +. д(х) дх. и+ 1,г' гв 2 тв -л/в Если мы хотим в низкотемпературной аппроксимации интеграла Х„удержать только степенное разложение по В/р, то мы вправе распространить интегрирование по х до — 'оо, так как вклады от этой дополнительной области интегрирования будут иметь экспоненциально малую величину, пропорциональную е лгв, которая никак не может составить конкуренции конечной степени параметра В/р ввиду е лгв « (В/р) . Действительно, так как в области — со < х < — р/В, мы имеем е* « 1, то -вгв -и/в (р+ Вх)"+' е' / (гв+ Вх)ит' дх = (е* — 2е + Зезк —...) Ох, и+! (е*+1)з,/ и+1 156 Глава 2.
Идеальные спсгпемы е оппптосглоческод меленпне -луе о (7» + дх) ит -ил7» д / и+! иг е г7х=е — ) х е г7х, гг+ 1 в+1) Таким образом, для вппроксимации интеграла 1„степенным рядом по д/7» нам остается только рассчитать числовые коэффициенты, представленные в виде определенных интегралов (уже в симметричных пределах): .7» = ) х д(х) г7х. Ввиду симметрии функции д(х) = д(-х) все нечетные степени д/7» в этой аппроксимации пропадуг, так как Л2 =О. Чтобы сразу определить все коэффициенты при четных степенях температуры в разложении 7„, рассмотрим производящий интеграл вида ьчэ +00 .7(а) = / е д(х) г7х = 7 (!+ах+ — а х +... д(х) дх =.7о+ — 72+... ок 7/ ! 22 а2 ' 2 ) 2 Он сходится при !а! < 1 и достаточно просто берется.
Действительно, вводя переменную инте- грирования и = е*, получаем / е'*е*дх / а 2!и ,l (е*+!)' / (и+1)' -ОО о Подынтегральная функция на комплексной плоскости и имеет точку ветвления в нуле и полюс второго порядка в точке и = — ! = е". Рассматривая представленный на рис. 44 замкнутый контур интегрирования с разрезом вдоль действительной оси и, мы замечаем, что интеграл по верхнему его берегу от центра к периферии дает искомый интеграл 7(а), по нижнему берегу разреза (от периферии к центру) — величину — е2™,7(а), интегралы по малой и большой окружностям при сжатии первой и удалении второй на бесконечв полюсе второго порядка (единственная особен- Рис.
44. Контув интегрирования на комплексной и-ллоскости, выбираемый лри расчете интеграла,7(а) ность стремятся к нулю, а вычет ность внутри контура) равен 2тгт — и = 2тт'аи ~ = -2»яае и а-г1 ° тта и=и' и =е" Таким образом, собирая все части интеграла по замкнутому контуру, получаем (1 — е " ).7(а) = — 2(е"~ тйп яа,7(а) = — 2»яае"~, и при замене переменной интегрирования х — х — 7»/д в каждом нз слагаемых упомянутая экспонента сразу появляется на свет (да еще в степени и = 1, 2, 3,... ): 157 э 2. Одноопюнные нвпнп?овые гозы или, вспоминая, что нам нужен не сам интеграл .7(а), а коэффициенты его разложения по степеням а (только четным), получаем яа .- ! 1 ? ? 7я~, 3!я~ о 127п~ д(а)— — 1+ — я~а + — а'+ — г? + — а +...
з1п о 1 — 1(яа)? +... 6 360 15 120 604 800 (члены, начиная с третьего, написаны, естественно, ради куража), откуда до = 1, Т? = —, и т.д. 3' Подставляя значения этих интегралов в разложение для 1„, получаем рабочую формулу (следуюшие поправки читатель может рассчитать самостоятельно) 00 „~М у / Х„= е'п(е) ае = — ~ 1+ (и+ 1)и — ~ — ) +... —.+1~ 6 ?,р) о Обратим внимание на довольно характерную ситуацию, встречаюшуюся довольно часто в статистической механике при проведении оценок типа разложения по малому параметру: полученный для интеграла 1„ряд по степеням (д/р) является ? исимпмомическим, т. е. конечное число его членов достаточно хорошо аппроксимирует температурную зависимость исследуемой величины 1„, а весь ряд (если бы мы его выписали в виде бесконечной суммы) к величине 1„не сходится, так как в зависимости величины Т„от температуры имеются части, не представимые в виде ряда по целым степеням д/1? (у нас, например, выявились члены, пропорциональные е "н~~, вдругих случаях это могут быть дробные степени малого параметра, комбинации с его логарифмом и т.
п.). Это обстоятельство особенно хорошо заметно для случаев н = 0 и и = 1, когла этого ряда вообше нет (одна константа) или в нем только два члена, а вся основная зависимость от д изображается функциями от е о~о (см. задачу 19). Продолжим теперь наше исследование вырожденного ферми-газа и подставим полученную аппроксимацию для 1„в формулы дпя числа частиц .Л' и внутренней энергии Ф. Получим з~? ! .Л =дрАд=д1'-н~ 11+-т 1 — ) +..., 3 ~ 8 ~р) ? 2 ~ 5 /д? й=д)?1?г? =дг — 1? ~ !1+ — я ! - ! +....
5 ~ 8 1р) Так как при В = 0 2 3/? рп Ь ?'Л ? ? у " ??3 .Л' = ду' ° — ро,,ио = еп = — = — 1 3х — ) 3 ' 2?н 2т 1, У) то первое соотношение можно записать, исключая ..Ф, как 1= —" 1+-'х' -' +... или 158 Вава 2. Идеальные спспгемы е пполгиопочеснод механике откуда, возводя в степень 2/3 обе части равенства и считая плотность газа,Л'/и' заданной (т. е. заданной величину сл — — ро), можно получить окончательное выра- жение для химического потенциала вырожденного газа и в переменных В, !г, . 'и': р(В, и", Ф) = ро 1 — — я~ — +...
= Ио 1 — — я~ — +... (мы учли, что в поправочный член, пропорциональный (В/и), можно подставить нулевое приближение ц = ио). Исключим теперь химический потенциал из выра- жения для удельной внутреннеЯ энергии с = В/, т''. Имеем 5 ро 1 — 24 я' — + 8 я' — + ...
= 5 Ро 1 + ,2 т — + ... . Отсюла сразу следует уравнение состояния ст 1,5 ро= — с=-ро 1+ — тг — +... (т.е. величина ро/В, равная единице для клас- сического илеального газа, ндчинает вести себя как ел/В; см. Рис. 38) и калорическое уравнение состояния 0,5 О. 0,5 1,0 В/ег сил = — = — — 1+О Рис. 4$. Температурнал зависимость удель- ной теплоемкости идеального ферми-газа Причину стремления давления к постоянному значению, не равному нулю, мы уже выяснили в п. в).
Обратим теперь внимание на полученную для теплоемкости сггг характерную п(в) линейную зависимость от В (рис.45). Это то- 1 ° (г) же квантовый эффект, являющийся следствием структуры основного состояния системы и ее возбуждениЯ (типа частица — дырка) и предсга- (3) вляющий собой макроскопическое проявление 1 действия принципа Паули. Рассмотрим, используя чисто качественные соображения, как появляется этот эффект с микроскопической точки зрения. Образование единичных'возбужденных состояний, связанных Рнс. 46. к интерпретации линейной зависимости теплоемкости идеального свыходомотдельныхчастициззаполненнойсфе- фе ии-аза о, темпе и. 1 — газ РЫ ФЕРМИ НаРУжУ (т.Е. РОЖДЕНИЕ ПаР ЧаСтИ- част„ц.
а газ д„рок1 Э „астма„ ' ца — дырка), температурного состояния системы фактически не принимающие'участил !т' тел не создает, для этого необходимо, чтобы в тепловом движении ндд поверхностью Ферми появился газ частиц, а под ией — газ дырок, только тогда появится и отличная от нуля температура, и температурное размытие сферы Ферми (рис.46), фиксирующее ту относительную 159 $ 2. Одноолюмные нванлюаые вазы часть всех частиц (малую, но конечную при 1т - со), которая участвует в тепловом движении системы и определяет данную температуру д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
