Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Число этих частиц, лежащих в тонком слое Ье д ~ ер, оценить довольно просто; 2 з/г 3 Ье . т''~ 1гд. — е ' гх. г'~.,4'. — —. 3 2 ар Полагая прн самой грубой оценке ширину размытия сферы Ферми Ье д, среднюю энергию возбужденной частицы порядка Зд/2, получим, что зависимость от температуры удельной внутренней энергии такой системы и удельной теплоемкости будет иметь следующий характер: 3 д 3 де 9 д е(д)ме(О)+- — -д, с и= — В— 2 ар 2 ' дд 2 ер В этом результате должно удивлять не совпадение коэффициента (9/2 вместо яг/2 в точной формуле — это результат откровенной подгонки), а именно появление линейной зависимости сгм д, являющейся следствием структуры основного состояния (со ступенькой), обеспечивающей возможность образования возбужденных состояний в виде свободных частиц и свободных дырок (т.е. идеальных газов частиц и дырок).
3. О применении модели идеального ферми-газа к электронному газу в металлах. Мы обсудим здесь только этот частный вопрос, так как сопоставление идеального ферми-газа с электронным газом используется наиболее часто. При, этом, естественно, мы выявим и некоторые общие особенности подобных сопоставлений. С качественной точки зрения полученный выше результат для сгн, если не считать небольшого несовпадения коэффициента, соответствует экспериментальным данным: выделение из обшей теплоемкости металла части, связанной с электронным газом, дает с ° д.
Зто, несомненно, успех теории. Однако, рассматривая более внимательно электронный газ в металлах, мы обнаруживаем ряд обстоятельств, не отраженных в модели идеального ферми-газа. Рассмотрим на чисто качественном уровне основные из них. 1. Электроны проводимости в металлах не свободны, они двигаются (в лучшем случае) в периодическом поле ионной решетки. Из квантовой механики известно, что движение частицы в периодическом поле описывается не плоской волной е'р'/", а блоховской функцией хр(г) (Г, В1осп, 1928), обладающей специфическим свойством периодичности, таким что зависимость энергии частицы от импульса Ер — это не простая формула рг/(2пз), а довольно сложная неизотропиая зависимость Е(р), которая только в простейШих случаях и В ограниченном диапазоне значений р может быть записана как р /(2гн') с некоторой эффективной массой пг* (лля случая зллипсоилальных изоэнергетических поверхностей нужны уже три эффективные массы).
Однако такие небольшие изменения формы изоэнергетических поверхностей н, в частности, поверхности Ферми на практике представляют довольно редкие случаи, Чтобы не рисовать сложных трехмерных изображений, рассмотрим какую-либо одну ось, например ось х. Пусть а— период ионной решетки вдоль х (т.е. частица двигается в периодическом поле У(х+а) = У(х)). Эта периодичность в координатном пространстве х в пространстве волнового числа й, = р,/Ь проявится как периодичность с шагом, равным 2я/а,— это прямое следствие фурье-преобразования от х-представления к 1,-представлению. Таким образом, любая картинка, нарисованная в импульсном пространстве в интервале -я/а < й,х < к/а (в нашем упрощенном лля наглядности одномерном варианте — это полоса (рис.
47)), будет периодически повторяться влево бн н Глава 2. Идеальные сиопены в оппгпиопичткпай механике Рнс. 47. Пример обрвэоввния сложной поверхности Ферми е случае, когдв тряпичный импульс Ферми достнгеет рвэмере первой юиы Бриллюенв н варана до бесконечности. Этот интервал значений и, (или р,=йй,) назыаается первой зоной Бриллюена (!. Впйошп, !928) (и трехмерном случае зто уже не полоса, а, и зависимости от типа кристаллической решетки, более или менее сложный многогранник). Если граничный импульс Ферми Рп меньше 2пй/о, то ася поверхность Ферми расположится внутри первой зоны Бриллюена, и наличие периодического поля скажется на деформации ее первоначально сферической формы.
Но иа практике такая ситуация — редкий случай. Плотность электронного газа ттт/У обычно столь высока, 'что импульс Ферми достигает размеров первой зоны Бриллюена, тогда между поверхностями Ферми из разных зон образуются перемычки (см. Рис.
47, на котором изображен лишь простейший случай такого слипания, когда образуется поверхность типа гофрированной трубки) и образуются сложные многосвязные и открытые на границах зоны Бриллюена (не'только в направлении'оси х, как это показано на рис. 47, но и по другим направлениям) поверхности Ферми. В качестве простого и наиболее изученнога примера на рис.48 изображена первая зона Бриллюена лля гранецентриропанной кубической решетки меди со вписанной а нее поверхностью Ферми ю(р) = еп, имеющей восемь горловин, соединяюших ее с периолическим продолжением этой поверхности в соседние зоны 'Бриллюена.
Определение геометриче/ ской формы поверхностей Ферми лля разных металлов, а также графита производится из обших соображений (учет структуры кристаллической Рет шетки и ее «отрэжения» и импульсное пространспю, число свободных электронов и т.л.) плюс косвенные экспериментальные данные и их расшнРнс.еа. Зона Бриллюенв для грв- Фропка. В частности, при включении магнитнога нецентрироввниоа кубической Ре- поля, оРиентировку каторога можно произвольно юетки меди (многогранник, иэобвв- менять, перпендикулярные палю круговые орбиты жениыа пунктиром) и не помеюв- конца вектора р на поверхности !р! = Рп в изотропюивяся в ней поверхность Ферми ном случае В(р) = рэ/(2»п) будут не только иными, Е(р) = ег, обрвэуююал восеиь от- но и могут сушестаенно изменяться при поворотах кРытмх горловин, соединяююих ее паля например, оставаясь замкнутыми, заходить с продолжениями этой поверхности и другие зоны Бриллюена и лаже оставаться аообше незамкнутыми, что существенно сказывается на магнитных свойствах системы.
Таким образом, мы видим, что учет реально сушествуюшего периодического поля кристаллической решетки существенно изменяет псю «геометрию» рассмотрен- в 2. Однаааюкныв кванюовые газы 161 ной нами идеальной ферми-системы. Однако основные идеи, касающиеся структуры основного состояния системы и ее возбуждений, — все это остается, поэтому в реальных случаях, когда д <К ер, системы ферми-частиц, помещенные в периодическое поле идеальной кристаллической решетки, сохраняют характерные для ферми-газа особенности своих термодинамических свойств, в частности, температурную зависимость с„д и т.д. 2.
Электроны взаимодействуют друг с другом по закону Кулона. Использование для их описания модели идеального газа вполне допустимо, если средняя энергия их взаимодействия ез/з2 значительно меньше средней кинетической энергии (физический критерий илеальности), т. е. еккк ег/В ез 2ш 1 5 — «е.' 1 екнн — ер з г Ь зк (мы учли, что Я = «/Р/К). Обратим внимание, что зта формула по-своему необыкновенна: так как е„гн/е„„„(У/Аг) ~' = и '1з (еше одно проявление действия принципа Паули), то получается, что чем плотнее ферми-газ, тем он идеальнее— эффект, который с позиций классической теории совершенно необъясним. Используя данные из таблиц физических величин, легко показать, что плотность реального электронного газа недостаточна для его идеальности: для большинства металлов зто отношение имеет величину порядка 1,2 (т.е.
даже больше единицы), и даже в лучших случаях (Ве — 0,41; А1 — 0,45; Ое — 0,46; М8 — 0,58) приведенному выше интегральному критерию идеальности можно удовлетворить с откровенной натяжкой. Если еше учесть, что помимо прямого взаимодействия друг с другом электроны рассеиваются на дефектах кристаллической решетки (на строго периодическом поле они не рассеиваются), взаимодействуют с ее колебаниями и т. д,, то престиж идеальной системы падает катастрофически, и у нас возникает естественная потребность выяснить, почему же, несмотря на неидеальность (в приведенном выше интегральном понимании) реального электронного газа, его термодинамические особенности так хорошо укладываются в рамки идеальной модели.
3. Специфика вырожденной идеальной ферми-системы связана с характерным строением элементарных возбуждений типа рождения частицы'и дырки. Если в системе имеется взаимодействие, то оно будет мешать длительному существованию таких возбуждений (это в лучшем случае; вообще же оно может сделать их просто невозможными), т.е. онн будут затухать. Оценим этот эффект, используя качественные соображения, заимствуя их из квантовой механики.
Если в системе нет затухания, то волновая функция свободной частицы стационарна: «к«) = с. р( — „н«), нн«)= /«н«)!'= н;<о)- е Иными словами, в идеальном газе частица вне сферы Ферми (р > рр) живет бесконечно долго. То же самое относится и к дырке (р < рр), но в нашем качественном рассмотрении мы сэкономим на формулах, рассматривая только частицу с р > рр. Если имеется затухание, т. е. отличная от нуля вероятность перехода частицы с импульсом р за секунду в какое-либо другое состояние вследствие взаимодейстаия ее с другими частицами кар Ф О, то вероятность обнаружить частицу в згом состоянии игр(1) удовлетворяет, грубо говоря (как в полуфеноменологической теории а-распада, Г.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
