Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(ямов, 1928), уравнению дяl„ — = — ц«йг дз 162 Глава 2. Идеальные актлемы в ояоюнсглочеснай иехонохе откуда %гг(1) = )тг(0)е ~'~, 1ар(1) = $р(0) ехр ~ — -Ерг. — — 1у = Фр(0) ехр 1 — -(ń— 1Гр)1 (мы ввели квазистационарный уровень Ер — 1Г„с затуханием Гр = Ьшр/2), и мы говорим, что возбуждение р„сушествует ках квазистациоиарное квантовомеханическое состояние в том случае, если его затухание мало (или соответствуюшее время жизни аелико по сравнению с характерным квантовомеханическим периодом й/Ег = 1/ыр — — Х'р/(2я)): й й Г,<Е, т,= — » Г Ег Оценим теперь величину мр.
Пусть р > рг, но близко рг. Пусть р = О, и мы можем пользоваться стандартной теорией квантовых переходов. Взаимодействие частицы с импульсом р с частицей с импульсом к (при этом й = 1Ц < рр, так как иных частиц в системе нет) может привести только к такому изменению их состояний, когда в резУльтате их взаимодействиЯ, описываемого потенциалом Ф(~㻠— гз1), пеРваЯ частица вытолкнет вторую из заполненной сферы Ферми (другие возможности запрешены принципом Паули). Суммируя известную формулу борновского приближения лля вероятности перехода (р, к) — (р — й, й+ й) с учетом ~р — я~ > рг и 1а+й~ > рр по всем начальным, состояниям к (р задано) и конечным (р — й, к+ я) (т.е.
по %), получим для вероятности перейти рассматриваемой частице с импульсом р за секунду в любое другое состояние формулу 2я 3 мр — — ~, — ~(р ЦФ!Р— 43, 1с+ЯН 6(Ег+Еь — Ев-я А+я) хпь(1 — пь+ч)(1 — пг-ч) Ь где пь, пь+ч и 脄— ферми-ступеньки, ограничивающие в соответствии с принципом Паули области, возможных значений импульсов к и й. Матричный элемент пеРехода, свазанный с взаимодействием частиц Ф(~г, — гз1), РассчитываетсЯ по ноР- мированным в объеме г плоским волнам еччь/~/г: ! ь,юь-е,~.и-/а,~.—, (-м,.~м)чл-.о. х ехр г(-(рг~ — йг~ + йгз+ ягой)) = '(й 1.
/ 1 1 — ( Иг~ багз Ф(!г~ — гз1) ехр ~ — — я(г — гз) =уз/ ( ь Вводя переменные интегрирования г~ — гз = В и г~ вместо г~ и гз (якобиан такого преобразования равен единице) и интегрируя по г, (этот интеграл дает г'), получаем, что написанный матричный элемент равен фурье-образу потенциала взаимодействия 1 Г 1 1 1 (р, ЦФ1р — й, а+я) = — / вжФ(Гг)ехр ~ — -йй) = — и(д). р/ ( й ) к Исли заменить эту величину на некоторое эффективное значение Р/г, не зависяшее от в, то суммы по импульсам (которые, естественно, записываются как интегралы по й и в), определяюшие величину вероятности ю „рассчитываются точно.
Оставляя эту чисто математическую задачу ддя любителей (см. залачу 9), произведем 5 2. Одноопаиные квантовые резь?: несложную оценку этих сумм, заведомо завышая их значение. Заметим (рис. 49), чта вследствие принципа Паули электрон р не может по энергии опуститься ниже уровня кр, т.е. он всегда остается в шаровом слое, прилегающем к поверхности Ферми и имеюшем объем в импульсном пространстве, равный 4хррг(Р— Рр). Поэтому максимальное число возможных конечных состояний.для него при переходе р — р — й (т.
е. максимальное число слагаемых в сумме по й) имеет порядок (Р Рр) +е Рнс. 49. схема квантового перехода (Р, й) ~ (р — е, й + й) с указэннен энергетических состояний честна, таких, что Е, + .Еь = Е +Е„,, и яанус?ннов ко энергнн обнес?к начальных значений Е„ н конечных эначеннй Еь „ !г ° 4хррг (Р— рр) (2яй)? Так как изменение энергии этого электрона не может превышать энергии его возбуждения над заполненной сферой Ферми Р Рр Рр' г ° = — — — = — (Р- Рр). 2т 2т т то он может возбудить только такой электрон из-под сферы Ферми, который находится вблизи ее поверхности в слое толшин не более (Р— рр). Число таких возможностей (т.
е. оценка максимально возможного числа слагаемых в сумме по !г) по порялку тоже равно У 4яррг(р — рр) Ы (2яь)з Это максимальные оценки. На самом деле, ферми-факторы пе(1 — пр,ь)(! — ие+.) в сочетании с б(Е,ь ), где Е?н — — Ер + Еь — Е„„— Ее+, вырезают в пространствах 1с и р — в не тонкие шаровые слои, а тонкие сферические луночки, целиком умещаюшиеся внутри указанных выше слоев.
Учтем, наконец, что б-функция имеет размерность: так как б(ах) = б(х)/а, то б(Еэ?ч) г Таким образом, производя явно завышенную оценку, получаем лля величины в?р -? ? з — г т" Рр г т" г в?р -— С зг (Р Рр) =С ?гер (у нас получилось С = 1, точный расчет, произведенный в задаче 9, дает С =!/8), т. е. затухание возбуждения Гр = Вц?р/2 пропорционально (Р— рр)г и при приближении к границе Ферми р — рр исчезает вообше (это опять следствие принципа Паули, который, пересиливая динамическое взаимодействие, превращает систему вблизи р = рр в идеальную). Исследуем теперь вопрос о том, сохранится ли частично-дырочный характер элементарных возбуждений неилеальной ферми.сгестемы в Области всего:теьайратурного размытия сферы Ферми. Если ла, то.использование модели идеалцеого. газа будет оправдано полностью (несмотря на то, что е, /ккн„! ), так как ее оЫравлание.
в этой области оправдывает ее и целиком: как мы видели, термодинамика ферми ? 164 Глава 2. Идеальные сооиемы в статостической меканоке системы определяется ее микроскопической структурой только вблизи поверхности Ферми и совершенно не зависит от того, что делается за пределами В-размытия. Итак, положим энергию ер равной максимальной величине ,а а — — в, 2па 2«п лля эффективной величины р напишем аа Ф(Н) а1ж — Фг, тле Ф вЂ” средняя эффективная энергия взаимодействия частиц, г — эффективный радиус взаимодействия. Тогда Как мы указывали в п. 2), дкя реальных систем Ф/ел 1; множитель 1/2 оставляем без внимания; подставляя во вторую скобку значения т 1О "г, Ь ° 10 "эрг с, жл-1О и эрг -!О'К и Р - 10 зем (единственный параметр, который мы берем взаймы до его оправдания в гл. 3, 5 1, од)-1), убеждаемся, что то, что надо возвести в куб, есть величина, близкая к единице.
Таким ображам, для реального электронного газа в металлах — — 10 -!О <1, Гк В -э -4 ср еа» а это очень большой запас «малости», позволяющий нам смело использовать модель илеального ферми-газа, учитывая при необходимости лишь более сложную геометрию ферми-поверхности или просто определяя эффективную массу гп' в «сферическом» варианте Ер —— ра/(2па') по экспериментально измеренному коэффициенту при температуре В в выражении лля теплоемкости сгн. а 2 « (сгн)»к«» = о 2 Ьа (т ар//Р)а/а Приведенная таблица этих значений показывает, что для большинства металлов (в таблицу включен также и Не', являющийся в жидком состоянии вырожденной ферми- системой) эффективная масса гп* порядка электронной (крайние случаи приведены для демонстрации максимально возможных отклонений).
Рассмотренная нами ситуация — это так называемый случай нормальных ферми-систем, когда при 9 = О взаимодействие частиц не разрушает сферы Ферми как 165 б 2. Одноашонные квангловые гвэы характерной особенности основного состояния системы, т.е. функция п(е) может быть при е < ев несколько поннжена по сравнению с единицей, а при г > ев — повышена над осью е = О, но сама ступенька при е = ег сохраняется, а следовательно, сохраняется и тнп возбужденных состояний (пары частица — дырка). Однако это не всегда так. Многие металлы при понижении температуры становятся сверхпроводниками.
Это состояние возникает вследствие сильных корреляций электронных пар с противоположно направленными спинами и импульсами, которые перестраивают и основное состояние системы (пропадает скачок функции п(е) при е = ев), и возбужденные ее состояния (зто уже возбуждения квазисвязанных пар электронов), энергия которых отделвна от энергии основного состояния энергетической щелью х) . Объяснение этой микроскопической перестройки системы — это одна из красивейших задач квантовой статистики, решенной в !957-!958 гг. у нас акалемиком Н. Н.
Боголюбовым и Бардиным, Ку- с г) Идеальный нерелятивистсиий бозе-газ Рассмотрим сначала чисто формально модель нерелятивистского бозе-газа из ча- стиц с нулевым спииом, откладывая вопрос о физической интерпретации такой модели до пункта обсуждений. 1. Случай д = О.
Исследуем структуру основного состояния и элементарных возбуждений системы. Так как принципа запрета нет, то при д = 0 все частицы находятся на низшем ллв каждой из них энергетическом уровне, образовав так называемый конденсат — точку р = 0 в импульсном. пространстве: ГЛг, р=О, пэ=~ ' ' 4>=~ Еп =О. '1 О, рэгО; э Простейшее возбуждение системы это выхрд одной частицы из конденсата, энергия такого возбужденного состояния равна ,г Е = —. 2пэ пером и Шриффером (э. Вагдееп, 1..
Соорег, 1. 5с)эг)ейег) за рубежом. Она выходит за рамки возможностей нашего курса. Для нас же должно быть ясно, что при такой перестройке пропадает линейная зависимость с д (для систем, у которых энергия возбужденных состояний отделена от основного щелью гь, статистическая сумма имеет вид Я = !+лче л)э, где Л' — сумма только по возбужденным состояниям с отсчетом энергии от уровня хь, а поэтому при О чК хь теплоемкость с е а~~, т.е. стремится к нулю при д — 0 значительно быстрее, чем с О'); (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
