Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика (1185127), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Одноолтонные нвонпювые газы поэтому согласно 81, п.е) 3 3 ! /1вт'/ 1 с=-в~-в.— ~-~ — в +..., 2 2 232) а или окончательно лля удельной внутренней энергии 3/2/13 е= — В 1ж +,, 2 т, 2то(тпВ)3/2 для теплоемкости (калорического уравнения состояния) л. 3 ! 3/зй3 ору = — = — 1~— + = ВВ = 21 2 2то(гпВ)3/2 и для отклонения изотерм от изотерм идеального классического газа „3/зйз В 3 В 2то(нзВ)3/2 Графики двух последних величин приведены на рис Интересно отметить, что поправочный член 3 имеет структуру (Л/а) с коэффициентом порядка единицы, где а = вг у — среднее расстояние меж- 3 3' ду частицами, а Л = 1 а1 й ".— — средняя длина ьр/ гжв дебройлевской валнй, и малость этих поправок полностью согласуется с использованной в гл. 1, бб идеологией, согласно которой при Х « а происходит распадение квантовомеханического волнового лала на пространственно локализованные . волновые пакеты, интерпретируемые уже как отдельные частицы рассматриваемой системы.
В области значений В и о, в которой идеальный газ является вырожденным, совместное рассмотрение бозе- и ферми-случаев нецелесообразно, так как каждый из газов отличается своей спецификой (это'хорошо заметно на рис. 38). Мы начнем с ферми-пзза не только потому, что с формальной точки зрения этот. случай оказывается более простым, но и вследствие того, что этот пример имеет довольно широкую область практического использования.
ввыр Рис.эа. Графики теплоеикости .срл и величины рв/В дпл бозе- и фериигазов. Пунктирои обозначены графики тек же величин длл классического идеального газа 1) электроны проводимости в металлах (пример вырожденной системы; вопрос об ее идеальности требует специального рассмотрения); е) Вырожденный нереяятивистский ферми-газ Прежле всего, чтобы оправдать только что сделанную заявку, укажем, какие традиционные физические системы могут претендовать на описание их (конечно, приближенное) с помощью модели нерелятивистского идеального ферми-газа: 152 Глава 2. Идеальные сиспэемтн в спюпэистичеснай мелпниле 2) электронный газ в полупроводниках (слабо вырожденный или невырожденный газ); 3) нуклоны в ядре, ядерная материя, Не и т.д. — системы из фермионов с достаточно сильным взаимодействием, так что сопоставление их с идеальной системой можно считать условным (дпя проведения оценок и т.
п.). В основйом мы будем ориентироваться на электронный газ в металлах как на наиболее специфический и часто используемый пример вырожденной ферми- системы. 1. Случай д = О. Это случай полностью вырожденной системы. Нам предстоит, по сушеству, рассмотреть квантовомеханическую задачу о системе К ферми-частиц, находяшнхся в объеме 1г, т.
е. выяснить структуру и энергетические характеристики основного состояйня системы, а также простейшего типа возбужленных ее сссюяний. (Заметим, что прн В = 0 в смешанном состоянии иэ„для любой статистической системы остается только одно основное состояние, и все статистические срелние по ш„преврашаются в средние по этому основному состоянию.) Воспользуемся готовым ферми-распределением пр (см. э" 1, п,д)), в котором в нашем случае Е~ = рэ/(2пэ), и сделаем в нем переход В -+ О, обозначая буквой /эо химический потейциал газа при В = 0: 1, если !р!.< ~/2тпгэо = рр, О, если !р! > т/2тп/эо —— Рр, в о пл т.
е. распределение Ферми прн В - 0 вырожлается в характерную единичную ступеньку (рис. 39). Мы будем называть ее граничный импульс рр импульсом Ферми, граничную энергию ср — — ррэ/(2гл) = это (она же химический потенциал при В = 0)— энергией Ферми. Основное состояние системы, таким обра- О Рл Р зом, пРеДставлаетсп в импУльсном пРостРанстве Р = (Р* Ро, Р.) как заполненнаЯ сфеРа ФеРми: все немил длл ндеальной фе мм-сметены ~осгопнип с !Р! < Рл занЯты (пл — — ), все сопрн равной нулю температуре стояния с !р! > Рр свободны (и„= 0).
Подобная структура основного состояния валяется прямым следствием принципа Паули. Так, с минимально возможной энергией Рэ/(2гл) = 0 в системе мотут находиться максимум две частицы с противоположными спинами. Забавляя последовательно в систему все новые частицы, мы увидим, что, занимая наинизшие по уровню энергии оставшиеся вакантными состояния, они будут группироваться вокруг уже занятых, образуя в силу симметрии функции рэ/(2тп) все разрастаюшуюся сферу, пока не израсходуются все Ж частиц. Последний из заполненных энергетических уровней есть уровень Ферми ер = ррэ/(2пэ), а далее уже следуют незаполненные состояния.
Выразим теперь величину рр (а также это = ер) через макроскопическую величину Ю/1г. Для электронного газа (л = '/э) фактор у = 2л+! = 2, и мы имеем при В=О 2ь' т э 21' э T 11Г = ~~ нл = — Э пр4лр ВР = — ( 4пр т1р= — рл, (2яй)э / р (2яп)э З( З,эйэ л о о 153 в 2. Одноаглолные наонлюаые газы откуда вг,, 1/3 Ь2 / /1/ т 2/3 рл=ййг =Ь Зя — ), ег = — ~Згг — ) г / Р) — ~ Р) Сразу обратим внимание, что граничная энергия Ферми (система при о = 0) оказалась по порялку величины равной температуре вырождения квантового газа вз л г/з о,мп»л — (-), Энергия основного состояния системы (т. е. внутренняя энергия газа при д = 0) рассчитывается столь же элементарно (мы представим ее в масштабе характерной энергетической единицы ел): 23г 4л 7, 8л$' рл~ 3 р' 3 и"'= Ехп, = — — Р 11Р = — — — — = Ьг — ел.
(2аЬ)з 2т,/ (2лЬ)з 3 5 2пз 5 о Приведем рапи ориентации в порядках полученных величин численные значения ер, рг и т,д. для электронного газа в металлах. Полагая т об 0,9 10 гг г, ь Й! 10 "эрг/с, — !О"-102' см ', /г = 1,38.10 1ь эрг/град, получим лая энергии Ферми (она же, как мы видели, температура вырождения) е» !Оз К ( 5 эВ), для. скорости частицы, находящейся на уровне Ферми ол = ~~- 10' км/с, лля давления электронного газа р = — -„, 1О ат и т. д. Таким образом, несмотря на то, что д = 0 2 «' и система находится в основном состоянии, никакого «покоя» (с обывательской точки зрения) в системе нет, Граничные электроны двигаются с такими скоростями, что их энергия имеет порядок 102 К, а это значит, что при комнатных температурах (7" 300 К) и даже еше более высоких электронный газ существенно вырожден, и мы имеем дело с квантовой системой, причем результат„полученный для случая д = О, является основным, в то время как температурные эффекты уже относятся.
к поправкам, пропорциональным степеням малого параметра д/ел. Рассмотрим теперь низко лежащие возбужленные состояния системы. Возбуждение ос- р+ц— новного состояния в простейшем случае связано с «выходом» одной частицы из сферы Ферми наружу, причем все это — в импульсном пространстве (рис.40) (более сложные возбуждения связаны с комбинациями таких переходов, мы их не будем рассматривать). При этом, как Р зто'хороцзо видно на рис. 40, возникает пара: частица вне заполненной сферы Ферми и вакантное место внутри нее, которая на фоне отрицательно заряженных электронов, заполняющих сферу ферми, ведет себя как ноложительная частица с противоположно напРавленным рис, 40.
Схема образованию возбужспином (по отношению к вылетевшей частице) денного состояния наеапьного фермин которая называется дыркой (не будем прида- газа прн выходе часгнцы с импульсом р вать этому установившемуся термину обидного нз заполненной сферы Ферми наружу значения). В отличие от релятивистской тео- с образованием пары нз частицы с нмрии Дирака (Р. Р!гас„1928-1930), откуда мы за пульсом р+ ц н дырки с импульсом р имствовали терминологию, между частичными н спинам, противоположным спину вышеяивй частицы и дырочными состояниями (в теории Дирака— межлу электронами и позитронами) нет энергетического барьера 2тсг, и дырочные состояния не простираются до минус бесконечности по энергиям, но вблизи поверхности Ферми, ситуация с образованием 154 Глава 2.
Идеольньге сцопемы а спювшсаочесяоВ мехонояе возбужлений в виде пар частиц похожа на дираковскую концепцию до ролствеииости (иапомним, что мы рассматриваем случай, когда таких пар из частиц и дырок мало или даже только одна). Выясним теперь, чему равна энергия электрон-дырочиого возбуждения, когда в процессе возбуждения системе сообщается импульс ф Имеем сразу (+ )(з,з з е,„= —,— — = — + —, где '1Р+4 >Р» Р= !Р! < РР.
2т 2тл пт 2гл ' Мы видим, что однозначной зависимости этой энергии от импульса г1 иет (за исключением тривиального случая, тогда р» - О, т.е. в системе имеется только частица с р = О, и Ет — — Оз/(2т)), так как разные частицы с разными импульсами р могут в результате такого возбуждения покидать заполненную сферу Ферми. Поэтому определим область возможных значений Ея,, для чего зафиксируем о и определим максимальное и минимальное значения Е по отношению к р. Эта процелура элементарна: сначала максимум или минимум по соя В = ря/(рг)) (т.е. совр = +1, созд = — !), потом максимум по модулю р (т.е.
р = рг). Имеем т яг 2яг, ж Е Е Ргч зяг яг 'Ря 2р Я Рис. 42. Область допустимых значений энергии возбуждения типа электрон— дырка для идеальной ферми-системы с рз я т Ч Ч + — ) = р» — + —, лля любых г1, т 2птг) „,„т 2т' — р» — + —, лля о> 2р», г1 гу т 2га' О, для 0<о<2р» (последиее условие возникает из требования Е, > 0). Палучаюшаяся область непрерывного спектра возбуждений типа частица — дырка лля идеального ферми- газа изображена иа рис. 4!. Так как импульс Ферми — это большая величина; то практически почти всегда достаточно ограничиться областью о/р» а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
