Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 52
Текст из файла (страница 52)
р Вз с Подставив в поправочиый член р М р (1- Ч/В ь...) Я р,, получим искомую формулу Рснкина Ч Чрхох 1и р = 1и р, — — — — -1-.... В 2Вз гз Задача 47. гголагвя В чК В, е„< е„гм В/р, оценить характер зависимости теипера- туры кипения воды В от высоты над уровнем моря. Решение. Если вода находится в открытом сосуде, то сс кипение начинается при температуре, Лля которой величина давления насыщенного пара воды совпадает с атмосферным, р = р„„. Воспользовавшись результатом прсдыдушсй задачи для р(В) Р Ч 1и — Вл --, р, в1 барометрической формулой (см.
гл 1 5 б, п. 6)) лля давления тВЛ ) р=рзсхр ~ —— Ввж и считая температуру кипения водм на уровне Л = 0 равной Вз (100'С), получим, исключая р н учитывая, что 1прз/р = -Ч/Вз, для температуры кипения , (1 ~айвз) или, о!раиичиваясь низшей поправкой, Вз — В пгВЛВз / пгвлвз '! пгвлвз Вз ЧВ и ~ Чва,„враги 9 ! !. Уроененое Клопедроно — Клоузоуго о фозоеые переходы 7-го родо 199 Задача 49, Полагая воздух идеальныи газом и пренебрегая теплообменои между отдельными его слоями, определить в гидростатическом приближении зависимость температуры, давления и пяотности ог высоты иад уравнен Земли. Рассмотреть случаи: а) сухого воздуха; 6) смеси воздуха с насыщенныи водяным паром.
Решенно Предложенная в условии модель нуждается в ряде пояснений. Мы полагаем, что атмосферу можно представить в виде вертикальных столбиков (из которых на рис, 108 представлен только один с сечением 1 см ), в каждом из которых возможно медленное квазистатическое движение газа (вверх или вниз — это все равно). Считаем, что зти столбики находятся в равновесии друг с другом, что все характеристики атмосферы на какой-либо высоте г (давление р(г), температура В(г), плотность числа частиц п(г) = 1/ю(г) и т.д.) являются для всех них одинаковыми (т.е. никаких горизонтальных перемещений и «ветров», приводящих к искажению первоначальных столбиков, в данной модельной атмосфере нег). Условие «медленности» процессов вертикального движения это условие применимости гидростатического приближения (пренебрежение потоками в уравнениях гидродинамики), когда О р(г + г1г) — р(г) ш Ир = -пгпд Ыг ! СМ вЂ” изменение г!р определяется просто весом газа в закрашенном на рис.
108 слое толщиной Иг, где пг — масса молекулы Рис. 108. Фрагмент газа, газа, и = п(г) — платность числа частиц на высоте г. рассматриваемый в гидро- С другой стороны, приближение, связанное с полным статическом приблв!кении пренебрежением теплообменом между горизонтальными слоями газа, имеющими разную температуру — условие адиабатичности процессов поднимания и опускания, может быть оправдано только в случае, когда зти процессы совершаются достаточно быстро (по сравнению с временем установления одинаковой температуры между слоями, см. задачу 6).
Для такой предельной модели «без теплопроводности» параметры какой-либо порции газа, двигающейся в вертикальном направлении, должны удовлетворять уравнению адиабаты б«г = ЕИЯ= О. Рассмотрим сначала вариант а) — сухой воздух. Считая его идеальным газом, имеем рю =Е, с = юг-Ь1 =сапа!, г = сг !по+ !по-на«. Приравнивая дифференциал энтропии до дю ИЕ ю Иг = сю — + — = с — — — Нр е ю е В нулю (условие адиабатичности) и подставляя Ыр = -тхпдг (условие гидростатичности), получаем сразу выражение дгя аысатнога грааиента температуры !В ы Иг с Для численной оценки этой величины положим с = 7«г2 (модель идеального классического газа из дгухатомных молекул без учета их колебаний), гп ш 29/1««, где 1«« = 6 !Оз', Е = дТ, где л = 1,38 10 И эрггград. Тогда получим оценку д2' 29 2 — - гршг/см ш -!О грал/км, Иг 1,38 10 '«.6.10м 7 которая несколько превышает реальный градиент температуры на участке атмосферы без конденсации паров воды.
Если предположить далее, что данная модель реализуется лля всей атмосферы 0 < г < со, то полученное выражение для ИВ/Ыг можно проинтегрировать с начальным условием В(0) = В». Получим, что температура адиабатической атмосферы линейно падает с увеличением высоты, достишя нулевого значения на высоте ге. Зодочо и дополнцлопльлые вопросы х 'г 7 Во В=Во(1 — — ), хо= — —. о) ' 7 — 1гпВ Давление и плотность атмосферы определяются в соответствии с решением задачи !б как р = ро ( — ) = ро (! — — ), и = — = и (1 — — ) Графики этих величин представлены на рис.
109. Толщина пдиабатической атмосферы в соответствии со сделанной оценкой д2'/Их составляет 28-ЗО км. Ограниченность рассматриваемой модели достаточно очевидна, н ее частный характер мы у:ке отмечали. Можно отказаться ат модели идышьного газа и рассмотреть вместо ре = В что-нибудь похитрее, можно отказаться от гидростатического приближения и рассматривать методам н аэродинамики течение газовых струй, можно учесть процессы те илообме на (т.е. поднятьсяя до уравнений типа Нааье-Стокса) и т.д. При этом мы с колоссальным трудом приобретем поправки, а потеряем простоту (граничащую с элементарностью) и наглядность основного результата. хо 0 Рнс.
110. Локальные характеристики газа в изогермичеспой атмосфере Рнс.109. Зависимости теипературы В, плотности и и давления р ог высоты а аяиабатмческой модели атмосферы Заметим еще, что, желая рассмотреть какую-либо модель атмосферы из идеального газа р = Ви, для которого др/р = ЮВ/В+ ди/и, мы имеем в квазистатически-гидростатическом приближении для изменения плотности с высотой и и и(х + дв) — и(з) = Ии = — Ир — — ВВ, р В два слагаемых, в которых величины др = р(х+ дх) — р(е) и ВВ = В(х+ Из) — В(з) связаны соотношением, определяющим какую-либо модель процесса расширения.
Выше мы рассмотрели аливбатический вариант — прибдижение нулевой теплопроводности. Для сравнения рассмотрим изотермический вариант — приближение очень большой теплопроводности, лля которого В(х) = Во = сапог, ВВ = О. Тогда и 1 поли Ии = — Ир = — др = — — дх, р В В откуда, интегрируб, сразу получаем известное барометрическое распределение (рис.
110) и=мое ем, р=иоВе Рассмотрйм теперь ситуацию б) — смесь воздуха с насыщенным водяным'паром. Так как ярнтичеекая оемпературадля воды (Ф щ 374' с) достаточно высока, то в условиях задачи можно воспеаьзоваться для валяного пара приближением, рассмотренным в задачах 48 — 47, т. е., так же как и для идеального газа, написать (характеристики пара в отличие от характеристик воздуха будут обозначаться волной сверху) ! ! ду = -ео В — -е др.
В В 20! р ! 2. Фазовый переход в сцстеме Ван-дер-Ваольса Однако в отличие от рассмотренного в случае а) сухого воздуха в данной ситуации величина йр, связанная с йз формулой Клапейрона — Клаузиуса, не является независниой величиной: йр= — йв= ВВ= — йе, йР 9 9 ВВ В(в — с„) ВВ и мы получаем лля удельной энтропии йв= (~ — — ",) йВ, а также для плотности числа частиц пара и= !/е=р/В йй= — "~Р)Весе Р (1 — !)ВВ. Если в системе есть еще жидкая фаза (в виде тумана), то в приближении несжимаемой жидкости (см.
задачу 45) можно положить 1,0 0,5 0 -30-20-!О 0 !О 20 30 40 С, С Рис. 111. Температурная зависимость поправочного коэффициента /(В). а Формуле двя высотного градиента тем.- пературы в аднабатической атмосфере для случаев р,г = р+р = ! ат и ре =0,5 вт ! йв„= -с„йВ. В Рассмотрим теперь на высоте в слой газа обьема ! см . Его энтропия будет рвана Я = ~в+ йв+ и в . В соответствии с предположением об адиабатнчности процесса эта величина должна сохраняться для данной порции атмосферы при ее смещении на йв. Учитывая, что йп = О, йй = -йп, имеем 5 12. Фазовый переход в системе Вам-дер-Ваальса Задача ВО. Используя в качестве уравнения состояния, изотермы которого Ннжя критической температуры Вьв распадаются нв двв подсемейства (см. В б, и.
в)), уравнение Ван-дер-Ваальса, определить скрытую теплоту перехода д и давление нвсьиценного пара р(В) в случае В < В,р. Решенце. Согласно задаче !9 уравнения состояния В а р = — — —, ст — — сонм е — ь 62' йЯ = и йв + (в — в„) йй + и й в + п„дв„= О. Выражения для йй, йй и йвв, как показывают произведенные нами заготовки, пропорциональны йВ, а в выражении дяя йв двя воздуха входит также и член -ядр/В, в котором в соответствии с гидростатическим приближением следует подставить йр = — глпй Йв.
Приволя подобные члены и обозначая (ВВ/ов) „= -те/сг, получим т= — 1" — '((~) -7 -) ""'1 =(т) Величина /(В) вносит в высотный градиент температуры существенную поправку. Положив и„= 0 (участок атмосферы с насыщенным паром, но без тумана), с = 7/2 (двухатомный газ — !чт Оэ и т.д.), с = 4 (тпехатомный щз — паРы нтО), полУчим /(В) = ( ! + - Р— (! — 0 + ~ 9 ) ) ~, В случае учета превращения пара в лед для /(В) будет такое же выражение, только с другим 9 — теплотой возгонки, рваной сумме теплот плавления и парообразования. Графин зависимости величины / от температуры приведен на рис.
г!1 для двух значений общего давления в атмосфере (р,е —— ! ат и р,в = 0,5 ат; промежуточные значения достаточно просто интерполировать). гь гОЗ й 12, фазовый переход в системе Вон-дар-Ваальса отмечалось в б 4, п.г) при обсуждении следствий П1 начала термодинамики, не допускают предельного перехода  — О (см. $4, Н!). В этой области при  — О как энтропия жидкости, так и энтропия газа обязаны стремиться к нулю, в, -~ О, в„- О, и мы должны иметь Вр гьв Лв гзв (вв)* — (ев) — — О, д=огзв О, р=о — — — " ' =сопз1. гГВ гз« гз«Ь««, — «„ Задача 51. Исследовать барометрическое распределение давления и плотности числа частиц двухфазной системы, помещенной в однородное поле тяжести (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
