Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 49
Текст из файла (страница 49)
90)( Число М (О < М < со) используется чаше в случаях, когда тело двигветсв в атмосфере (всюду ), «() А «(«+97(~-Е— рассмотрении течений газа в трубках и т.д. Запишем, наконец, как меняются термодинамические параметры газа в зависимости от скорости его течения по каналу. Из основного уравнения дяя вдиабатического течения газа имеем, подставляя Л = с В, лля температуры Ва 7 ! ) В 7 ! — =!+ — М вЂ” =! — — Л, В 2 Ва 7+! 185 Б 8. Опоцпонпрное шеченое идеального гола ! 2 Рис.
91. Обтекание кроики двигающегося е воздухе предмета Рнс. 90. Связь коэффициента скорости Л с чнслон Маха М для случая 7 = 7/5 (деухатомный идеальный газ); пунктирон обозначена наксннальная величина л = >> + 2>т> - ~$ > >> Задача 34. Определить скорость самолета, если температура кромки его крыла в два раза выше температуры окружающего воздуха. Решение.
полагая ре/р = 2 и считая для двухатомного газа т = 7/5, получаем М2 2=1+ —, 5 ' откуда я> = — — (黄— Р) Сй †.7ИТ~ 4йеТш, 2У т7 — ! "" 29 где 2те — — й!2/е — универсальная газовая постоянная. Задача ЗБ. Определить изменение скорости аднабатического течения идеального газа по каналу переменного сечения. Исследовать возможность перехода етого течения из дозвукового в сверхзвуковое. Решение. Так квк для адиабатического изменения состояния перетекающего гвзв ( ).— >Гр 1 р пт р гпс' 7 = 7 >Ге/, е е2 >П 62 ' то изменение его знтвльпии в случае >Ге = 0 можно представить в виде де (>гИ)> = (р де + е др)> = (е > р)> = ->пс —.
е С другой стороны,' то же изменение знтельпни можно, прсднфференпироввв обобщенное уравнение Бернулли (см. зааачу 33) г И+ — = сопи, 2 связать с изменением скорости потока газа (дИ)> шю >Гю и мы получаем, сократив на массу пз, , де -с — + ю де> = О. Ю Условие постоянства потока числа частил вдоль канала Ям/е = сопя! позволяет исключить из полученного соотношения дифференциал удельного обьема де д>е >!Я вЂ” = — +— е ю Я' М = — = ч>5 ш 2>23б.
с Вариант той же задачи: определить скорость падения метеорита (ракеты), при которой он еще не плавится. Полагая 02 — — йш, получаем в соответствии с результвтамн предыдущей задачи 186 Задачи и дополнилгельдые вопросы О р 9(Л) 1 График эюй функции для случая у = 7/5 (двух- атомный идеальный пю) приведен на рис. 93. Если ввести секундный расход массы газа М = РшЯ = 9(Л)ЯР«рскр и выразить рк скр через параметры заторможенною газа рр и рр (йри малой начальной скорости— это по существу входные значения температуры и давления), то получим А9(Л)рр О 1 2 Л Рис.
93. Коэффициент расхода квк фуикцив скорости Л = ш/с„р для воздуха (у = 1,4) и тогда, разделив на элемент длины канала дх, получим, приведя подобные члены, для связи изменение скорости адиабатического течении газа Иш/Их с изменением плоящди сечения канала «ГЯ/«ух, по которому ОУ зто течение происходит, формулу х э 1дш с дЯ (ш — с ) в — = — —. Ђ ш « Я Их Зтв формула определяет, как меняется скорость двишкр - — — — - --.- — - — — — — — -," женил потока в зависимости от формы канала. Рассмотрим три типичных случая. а) Если течение происходит по суживающемуся каналу (твк называемое сопло, или конфузор), т. е.
если АЯгпх < О, и начальная скорость пша ш < с, 1 ю газ будет в таком сопле разгоняться, Иш/ех > О, вплоть до критической скорости шк, ш с. б) Если канва расширяется АЯ/кух > О (лиффу- эор), то дозвуковой лоток (ш < с) будет в нем за- И мелляться, дшупх < О, а сверхзвуковой (ш > с)— О разгоняться до еще больших скоростей, так как при х ш > с положительна также и произволная дшгдх > О. в) Если сужающееся сопло в том месте, в котоРис. 92. ГРафики скоРости течения га. Ром газ разгоняется ло критическод скорости ш = с эа ш(х) и Ето Даелвниа Р(х) при Его (сечение этого места Я = Я„р называют критическим), течении чеРез сопло ЛавалЯ (его про- переходит в расширяющеесв (рис,92), то течение газа, Филь — иа веРхнею Рисунке): 1 прошедшего горловинусоскоростью ш= с, вдиффу- дозвУковоЕ ТЕЧЕние: 11 — течение с не.
Ре виет сверхзвуковым и,юе б лес и б~,лее ускопрармвнми перехолои в свеРхзвУковое. Ряющнмся (срывы сверхзвукового течения, происхо- НачальнаЯ скоРость считаетсЯ лапой, ллшие по разным причинам, мы здесь не обсуждаем). Такое несложное устройство лля получения сверхзвуковых потоков было впервые предложено известным шведским инженером Карлом Патриком Лавалем (К. Р О.
Еата1, 1089) и называется соплом Лаваля (теоретическое объяснение процессов, происходящих в сопле Лаваля, дано С.А. Чаплыгиным в 1902 г. в его докторской диссертации «О пповых струях»). Для расчетов, связанных с соплом Лаваля, вводит безразмерную плотность юка газа по каналу Якр РШ Р 9(Л) = — = — = — Л. Я ркрекр ркр Зту величину называют коэффициентом расхода. Он целиком вырюкается через коэффициент скорости Л = ш/с„р и показатель алиабаты газа у = с /ср.
!87 9 8. Ггпацианарнае лгечение идеального газа где Задача Зб. Рассчитать скорость газа на выходе суживающегося адиабатического сопла, считая входные данные газа и его давление на выходе заданными. Рещение. Так как (оЬ)» = е гэр, то в соответствии с уравнением Бернулли (см. задачу 33) — — — = (Ь! — Ьэ) ° = — е ор, 2 2 г~ где интегрирование ведется вдоль адиабаты рет = согиг (рис. 94). Взяв несложный интеграл, получим О Р»я Рг Р Рнс. 94. К расчету скорости патона газа на выходе из сопла Рис. 99.
Зависимость секундного расхода газа от давления нв выходе иэ сопла В случае малых начальных скоростей вторым слагаемым в этой формуле можно пренебречь. 6ля секундного расхода М тогда получим ыгрэ мэВэ (Рэ) ьгй9 ( 27 Р~ ~(рэ) (рэ) ~) График этой функции приведен на рис. 95. Точка экстремума, в которой дМ/дрэ —— О, эпределяет величину давления овпадающую(см. задачу 33) с критическим значением давления: (рэ) = р„р. В критическом >ежиме, когда ы, = с„, для М получим, естественно, результат предыдущей задачи, в котором задо положить Яэ = Я„р.
с При критическом течении д(1) = 1 (когда в горловине сопла ге = с„р) критическое сечение сопла оказывается непосредственно связанным с расходом газа М = Я»р —. дре эгра Таким образом, задав на входе в сопла Ее, ре и расход М, а на выходе из него, например, рэ (этот »выход» из сопла может быть любым его промежуточным сечением), можно рассчитать по формулам (или с помощью графиков), которые были приведены в этой задаче и заааче 33, скорость течения вэ (или Лэ), сечение яр, температуру аэ и т.л. г» 188 Задачи и дополнишельные вопросы Задача 37. Для неадиабатического стационарного течения идеального газа (с подводои тепла и совершением технической работы) ло каналу переменного сечения получить формулу для йи/г(и — изменения его скорости вдоль канала, обобщающую результат задачи 35. Решение.
Обозначив с = е(в) количество тепла, подводнмое в расчете нв чвстипу газа к участку канала (О,*), И' = тр(л) — удельную величину совершенной газом на этом пути технической работы (поворот колеса турбины и т. и.), будем иметь для закона сохранения энергии шю глыз тг+ — +~ляз= ~Ь+ — + яз +Е-тк 2 ~ г дифференцируя (т.е. имея в виду сдвиг сечения нв ях), получаем 0 = йЬ+тыгзы+пгдгзз — гзя+гзтК Учтем, что для идеального газа гГЬ = с гГВ = — ор = вее+егзр = вдв+ое — рйе 7 г — ! и что при чисто феноменологическом учете трения газа 9 <ге = во + гзе„,, получим гтЬ = — Д — !!у +Гф)!З + !ВВ 4'рда*, 7 7 Так квк в силу сохранения потоке числа частиц ую/е = сопи ве гзв ггпу — = — +— с ы Ю' то, учитывая ре = 9 = гпс / у, получим, разрешив уравнение относительно гге, для изменения температуры вдоль канава 7 ! згиы гзр (7 !) яд+(7 !) ЗЕ з( + 7 подставляя в дифференциальный закон сохранения вшшчнну еь = — гге, получим после 7 7 приведения подобных членов ы — с ггв с'ггпу ! ддч у — 1 яе вг ! итр 7 Я и ггх я <Гв ш аи т гул ез пг гте По сравнению с результатом задачи 35 в правой части полученной формулы появились дополнительные члены, учет которых, естественно, усложняет обшее рассмотрение, но с качественной точки зрения основные результаты, связанные с переходом на сверхзвуковое течение, сохраняются.
Интересно отмстить, что в силу наличия члена с д, (который е прннпипе всегда имеется) даже при е = О, з = соим и тт = 0 (условия задачи 35) критическое сечение сопла Лаваля сдвигается в расширяюшуюся часть за его горловину, так как при ы = с ! ид„ 7 >О. г> гзл сз ш гги Задача 3$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
