Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В аномальной области 0 < г < 4' С все наоборот: при ВК > О, ВВ = 0 имеем 6сг < 0 — система отдает тепло в термостат (и при этом еще совершает положительную работу 6В' = р Л'). с=4' С г=4 С а) Рис. 77. Схема распояожения иэогери и адиабат води: е) а области та»иератур 0 < т < 4' С; б) э области «> 4' С; В, и Вэ — темпеРатУРы нагРВЬагелей н холодильников (В, > Вэ) Расположение алиабат по отношению к иэотермам опредеяяется на р — е-диаграмме ве- личиной отношения с /с„= "7 (в соответствии с предыдущей задачей (Вр/дс), = 7(др/Ве)«). с — сг=В( — ) ( — ) =В(- — ) ( — ), В то при приближении к изотерме Г = 4'С с обеих стор (Ве/ВВ), О и с, с, (ИЛИ' 7' — ф г.' Е.
'чщй)«баты б)' ' ' " д«7> ' '"'' ." ' "'р ы'р(6) прМ'рэсширенйй'с»- 4 3 ' ' стены 'стремятся к «предельной», совпавающей с иэотермой т = 4'С (ситуация со стороны с~4' С т > 4' С формально аналогична 2 1 той, которую мы рассматривали а) в $4;в облдсти вбсолютнето нуля В = О, )согда нулевая иэотерма сознавала с нулевой паиабатой). Эта ситуация схематично 3 4 Я изображена на рис. 77 отдельно Рис.78. Циклы Карно для воды: Лпя С < 4'С и $ > 4' С. Ци- е) э обласш г < 4. С'. С) < О С) > 0 дС)'< О,ду < О.
клы Карно, обозначенные точкак это видно из рис. 77 и 78 (те же процессы, но на  — Я-диаграмме), по-разному: если цикл (6) работает как тепловой двигатель (ЬЯ > О, Ь'гр > 0), то цикл (о) — как тепловой насос (Ь«Р < О, Ы) < 0), хотя в обоих из них процессы иэотермического расширения совершаются при температурах нагревателей В„а сжатие — при температурах холодильников Вэ < В,. Из рис. 78 также видно, что построение цикла Карно с использованием изотерм из разных областей (однэ— из области (л), другая — из (б)) невозможно (нет соединяющих нх адиабат), так же как и с использованием алиэбат из разных областей (Пег соединяющих их изотерм).
$ 5. Термодонамоческоа заданое оцтпемы о расчел1 ее каранглеросток )б5 Задача 18. Определить теплоемкости Сн н См единицы обаема магнетика, считая его магнитную восприцмчивость М/Н = Х(д) заданнод. Показать, что для парамагнетиков Кюри (Р. Сцг(е, 1899) Х(д) = Ь/д, Кюри-Вейсса (Р. Фейз„1902) Х(д) = Ь/(д — дс) и антиферромагнетика Несла (Е.йае$, 1932) Х(д) Ь/(в+де) теплоемкость Сзг совпадает с теплоемкостью кристаллической решетки. Решение. Исходя из следствия И начала («") и полагая в соотвсгствии с задачек 12 а = Н, А = М = Х(В)Н, получаем дСл д Х вЂ” = — Н, дН даг откуда Сл = С(В)+ — —, д'Х Н' даг 2' где С(В) — тсплосмкость единицы объема твердого тела при отсутствии магнитного поля. Сделав выбор а = М, А = -Н = -М/Х, имеем дз У1 ° Мг дг ~1 Нг с =с(в)-в — ~-~ — =с(в)-вх' — ~-~ —.
ддз ~Х/ 2 Х В псрсчнслсннмх в условии задачи случаях обратная восприимчивость является линспной функцией температуры. '1/Х = (В ~ В»)/Ь, поэтому сразу имеем с = с(в), с = с(в)+,и . (в ~в,)' Нельзя нс заметить аналогии этой задачи с рассмотренной ранее заалей 13. Дсйствитгяьно, если сопоставить.нсзависимыс «координаты» а ° э - М, то соотдетствуюшис им силы А - р -Н = -М/Х являются линейными функциями температуры, поэтому в обоих сдучаях С,(В, а) = С,(В).
Случай В» ,-с О соответствует газу Ван-дср-Ваальса, а случай В» = О— идеальному газу, в связи с чем парамагнстнк Кюри часто называют идеальным. ь $5. Термодинамическое задание системы и расчет ее характеристик Задача 19. Рассчитать энтропию, внутреннюю энергию, свободную энергию, химический потенциал и разность теплоемкосгей ср — сг для газа Ван-дер-Ваальса (в случае и = О, Ь = О идеального газа) с постоянной теплоемкостью срг Е (р+ — )(е — Ь) = В, сг = сопят. Решении Системы дифференциальных уравнений (см. 94, пп.а), б)) для энтропии и внутренней энергии (удсльных) в случае газа Ваи-дср-Ваальса В а др 1 др а Р»« в — -р=— э — Ь эг' да э — Ь' да эт !бб Эодочц и дополнив!впалые вопросы имеют внд допускающий нх элементарное интегрирование е(д «) =с«1пд+!и»+э«+!и ~1--) = э!1(У»)+!и ~1 — - 1, е(д,«) =сгд+ед — — — — е (В) — —, 1О) где э! 1(д, ») н е! 1(В) — энтропия н удельная внутренняя энергия идеальною газа р« = В.
Для разности удельных тсплоемкостей в соответствия с 54, п. г) имеем ср — с; = (с„- сг)! 1+ э 20(» — Ь) э (с — )11= 1. У»' — 2и(» — Ь)э ' Удельная свободная энергия 7(д,«) и химический потенциал рассчитываются на уровне арифметики )'(В, «) = е(д, «) — Ве(В, «) = 71 (В, «) — — — В! и ~! — - 71, е! » Ы а ВЬ р(д,») = !'(В,«)+р» =р1«1(В,«) — В!и ( ! — - )'-2-+ —, »7» « — Ь' Задача 20. Определить внутреннюю энергрю моля идеального газа, находящегося в установившемся состоянии во вращающемся с угловой скоростью ш цилиндре радиуса Я н высоты Л = ! см; если его температура равна В, а масса молекулы газа гп.
решение. Если перейти во врашаюшуюся систему каордннат, относительно которой система будет покоиться, то частицы газа окажутся в «поле» центробежной силы Е„е(г) = иэы~г, которой в области 0 < г < А можно сопоставить потенциал ГГм(г) = -пь»эгэ/2 (рнс. 79). В соот-. ветствии с условием равновесия $6, п. 6) имеем, заимствуя химический потенциал идеального газа р(р, В) = В 1и р+ р(В) нэ предыдущей эааачн, и»ы'г р(р(г ), В) + «7~(г) = В !и р(з ) + р(В) — — = сонэ!, 2 откуда ие »,»2»эр«Р(г') „2»ум пг=  — — е где в соответствии с условном нормировки л Рнс.
79. Распределение плотности числа частиц п(г) идеального газа ео вращающемся цилиндре н енд «центробежного» потенциала Гуы(г) п(г) 2яг Вг = йГ о где соответствующие значения для идеального газа ~! 1(В, ») = с~ В(1 — 1и В) — В! и» + ее — Вээ, р~ 1(В, »)»э с В(1 — 1и В) — В 1и»+ ее — Уеэ+ В = В 1и р+ с д(1 — !и В) + еэ Веэ. Формула для р1«1(д, «) была нспольэоване нами в 5 б, и, б) прн определении барометрического распределения плотности идеальною газа в поле 77 = пгдл.
ф 5. Термодиномичесхое задание системы и расчет ее королглерисглил 167 л з„з игр= / тп(г)2«гйг — = —, 2 2 ' О где момент инерции распределенного по закону п(т) газа л л 1 ( — 1)е' + ! 1 = / аМ(г)г = ! тп(т)2«т г!г т = 1»'т12 а(еа 1) о о В случае и ~ 1 — зта момент инерции однородного диска 1 = 1утЯ2, при и Зь 1 — обруча массы М = лтт, 1 = 1т т22'. Если в цилиндре находится смесь двух газов с молекулами разной массы, то рассмотренное устройство мо.'кет служить для их разделения. Действительно, величина отношения концентраций твоа и(г) = п~(г)/пз(г) на аси вращения (г = О) и вблизи обола (г = В) оказывается различной: и(0) а лг!аггт!/29 и(22) и в зависимости от параметров зааачи может достигать значительной величины.
г> Задача 21. Идеальный гаэ (К частиц массы т) находится в горизонтальном цилиндре длиной Ь с сечением Я = ! см'. Температура газа и окружающей среды д. Определить работу по поднятию этого цилиндра (вес стенок не учитывать) до вертикального положения (рйс.80), а также происходящие при этом изменения энтропии и внутренней энергии. ЬРешеиие. Если бы стержень при изменении своего положения оставался однородным (как твердое тело), то Ь Ь 2гй' „= ДГтд-, Ы = ДГтд-, 2' 2 Ь а изменения его энтропии не происходило бы вообше: Р2ь8 = 2ьг2 = 2Ьр — ЧЬИ" „= О.
Дело существенно меняется, если этот »стержень* газовый, так как рассматриваемый процесс сопровожлается изменением состояния пюа — он становится простран- 0 х отвеина неоднородным (см. 5 б, и. 6)): Ь Ь 2 и=псе мГ, пс — — — ~ — ~), а= —. 1,1г 1! е »1 Потенциальная энергия газа меняется на величину а тлзп(к) Нк = лГР(! — — ) = 2ттйкм еа — 1,г с где к, — положение центра тяжести вертикального столба тза, а внутренняя энергия становится равной Рис. 60. Схема процесса рассчитываемого в задаче 21 4г = Усто+ 1Утлкз = 4 Е ДФ.
платность газа на оси вращения В «222 ~~» — ! 1 ' 29 Внутреннюю энергию шза относительно неподвижного наблюдателя можно записать как Р=КГВ!+2ЬЕГ где »Г~! = №«Р +а, — внугренняя энергия идеал ьнога газа без учета его вращения, а средняя энергия вращения равна 1б8 Задочп и дололни~пельные волросы Так как удельная (в расчете на частицу газа) энтропия на высоте з равна в соответствии с результатом, полученнмм в задаче ! 9; лг'т а щйз л(В, и(л)) = сг 1и  — 1и и(з) + ве —— з ~ В, — ) — 1и + —, ! — е « то общее изменение энтропии при «изотерическом* поднятии цилиндра до вертикального положения будет равно Дг ~ / 1-е-«щйз«т гьЯ = З~ в(В, и(з))п(з) оз — йт(сг 1п — 1и — + з«/1 = йт~ !п — + — ), й )= (, а В) о откуда 1 — е" а ГУд = В!УЯ = ЛГВ(1и — +1 — — ~. а е« вЂ” 1/ Нетрудно показать, что ЬЯ < О (т. е.
/ьг2 < О и при поднятии шилиндра газ отдает тепло окружающей среде), в частности г — в случае а < 1 т.е. Ь < В/тд, «ЬД Ш 24 1 — !па вслучае а2«1 т,е. Ь> В/щд. Работа по поднятию цилиндра: д)р~,„„= де — г!н2 = !т Вз + В!до! = !«В 1и — > гттяз~ е-« оказывается большей, чем работа по поднятию центра тяжести системы на высоту з«. Если бы цилиндр был изолирован, то при его поднятии в нем возросла бы температура. Уравнение для ее определения щйй аг =— 112 Я(еи О) = Я(Вт, ат), имеет трансцендентную структуру: ! е-«г ат с, 1и — =1и +1— Вт ат е«« В случае а ч.
1, полагая В, = В, Вт —— В+ гзВ, имеем о(ее ) = с де+ еде Ие = Ве оз. Отсюда сразу следует, что, во-первмх, Ве« =/(з) Задача 22. Считая, что удельная внутренняя энергия с связана с величиной рв, где в = К/)т, линейным соотношением рв = йс, найти уравнения адиабаты для такой системы в переменных р — в, р — В и  — в. Полагая, что теплоеикость системы ст пропорциональна В' (о > 0), определить с точностью до численных коэффициентов все термодинамические характеристики системы.
Решение. Условие зааачи ре = йе оправдывается для идеальных гаюв (см. том 2, гл. 2, й 2), обобщая такие системы, как квантовые ферми- и бозе-газы, равновесное излучение и т.д., отличающиеся друг от друга разными значениями параметров й и а, а также коэффициентом в соотношении сг В«. В рассматриваемом случае к дифференциальному выражению 1 и 11 начал термодинамики Не В оз = па + р де = пе + дев очень несложно подобрать интегрирующий множитель, не прибегая лля этого к обшей методике (см. задачу 3): р 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
