Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Совершенно новый по своей идее магнитный метод охлюкдения оказался нестолько эф4юктнвным, что барьер в 0,7 К был через несколько лет с успехом преодолен. Теперь — это фактически единственный надежный и не слишком дорогой метод, работающий в диапазоне 2 1О"! К<7<1 К. На' пракгике дело обстоит несколько сложнее, чем это определено условивми только что решенной задачи.
На рис. 82 представлены два характерных графика зависимости удельной энтропии Я(9, Н) парамягиетика от температуры в случаях Н = 0 и Н ~ О. Эту зависимость й 5. Термодиномическое зодоние сисшеды и расчв)В ве кораятерисщик 173 можне оправдвтЬ з'еоретияески, а можно; квк зто и делается на практике, получить ее на основе использования измеренной заранее удельной теплоемкости Ся(В, Н) и формулы (см.
в 4, Н! начало, а также 05, п. г)) Я(В,Н)= /' "( ' )ВВ'. о В области низких температур согласно РН началу термодинамики энтропия магнетика, как его теплоемкость, пропорциональны Вз. С повышением температуры в системе магнитных моментов (имеющих спин з) наступает состояние разупорядоченности по направлениям этих моментов, которое уже практически не изменяется прн дальнейшем повышении температурм, и энтропия стремится к своему предельному значению Я = !п (2е+ 1). Сам процесс магнитного метода охлаждения можно представить следующим образом.
Начиная с состояния, изображенного точкой А(В = В„Н 0) включают магнитное поле (т. е. ток через соответствующие обмотки магнита), поддерживая В = В, = сопят, переходят в точку В(В = В„н ~ 0). Затем по возможности быстро, чтобы избежать теплообмейа с окружающими телами, снимают магнитное поле (выключают ток).
В результате система по адиабате Я(в~ Н) = Я(вн 0) = сонат переходит в точку С(В = Вн Н = О). Замыкает цикл .(еслн его нужно замкнуть для повторения процесса) линия Н = 0 вдоль графика Я = Я(В,О). Понижение температуры СйбтЕМЫ ОГ — В, — Вт ХитРЕДЕЛЯЕтСЯ ДЛИНОЙ ОтРЕЗКа НС, тЕПЛОВОй ЭффЕКт ИЗОтЕРМИЧЕСКОГО иаыатничьния (пронеси Ае) рами пяощади прямоугольника АВ23е, 1Ь!2„я = В<(Я(Вт, Н) — Я(В„О)) ( О, а охлаждающий тепловой эффект за цикл равен плошади фигуры АС/2Е, ограниченной справа линией Я(в, О). Услцдиям задачи 26 соответствует начальная точка А', расположенная в области, где еще сохраняется кубическая зависимость Я от температуры, поэтому и результат лля «зв = В', — Вз оказывается значительно более скромным.
Как было указано выше, метод ограничен снизу температурой Кюри Ве используемой в качестве'охлвяителя парамагнитной соли. Эта температура (см: том 2„гл. 3, Ь 2) пропорциональна величине обменного взаимодействия соседних молекул, и поэтому надо подобрать такой парах~эгнатия, у которого перекрытие электронных волновьгх функций тех тфбит, которые ответственны за~возникновение магнитных ыоментоа молекул 6их тенденцией Ы упорядочений 'будет найменьшим, Одним из рекордсменов в этом отношении явяяется соль 2Се~()ЧОз)з ЗМВ(НОз)з.
24НрО, для которой 2в+1 = 3 и Те В«/О = 0,002 К. Ниже Т 1О з К этот метод уже не работает. Но и туг не возникает тупика, твк как в «запасе» есть еше ядерный магнетизм. Взаимодействие магнитных моментов ядер значительно меньше упомянутого выше обменного межмолекулярного взаимодействия, оно пропорционально Я~/гз, где 13„— ядерный магнетон (почти в 2000 раз меньший ывгнетона Бора для электрона /3 = ед/2«пс), г — расстояние между ядрами, а температура Кюри оказывается порядка 1О ~ К. Именно с помощью метода ааиабатнческого размагничивания ядерного «парамагнетика» (линия ВС) и были получены предельные к настоящему времени температуры, измеряемые миллионными долями градуса (10» К). Расчет этого эффекта производится по схеме, аналогичной изображенной на рис, 02, только беэ процесса АВ. Задача 21.
В низкотемпературной области калорическое уравнение состояния подавляющего числд твердых твл ведет себя как С,=Ь В'+..., гдв Ь вЂ” константа, теоретическое значение которой (см. том 2, гл. 2) Ь = 2кз/5сздз (с — эффективная скорость распространения акустических колебаний в твердом теле) для нас сейчас не существенно. Показать, что разность тепловмкостей с„- си, где с„— ' экспериивнтвльно измеряемая тепловикость твердого тела, имеет ие гарантированный этой аппроксимаЦией порядок по температуре.
Задачи и дополнишельные вопросы Решение. Всоответствиисвльтернвтивным ввривнтомпоствновкитермодинвмическойзядвчи термодинамики (см. й 5, п. г)) имеем двя внутренней энергии и энтропии г(В и) = / сг(!У и) б!У + вв(и) = -ЬиВ +... -!-вв(и), 4 4 в в(е,и) = в!~ ВВ'= -Ьие +..., Г ск(бэи) к ! в Ф 3 в откуда двя удельной свободно энергии следует 2 В(ф) В( ввв ) Ьг В' 'в ( ~) ввг!вут) — 9 жф! т.
е. разность св — сг В! выходит зв рамки исходного кубического приближения для с„, и полученная ее величина в этом смысле представляет пример превышения точности рвссмотрения (отброшенные в св члены выше Вз, естественно, сильнее, чем В~), в гврвнтироввннвя в этом приближении теплоемкость с оквэыввстся одинвковой с»теоретической» теплоемкостью сг, с (В, и) = Ьие' -!- .. в б. Условия устойчивости равновесного состояния термодинамической системы Задача 28.
Полагая систему типа газа или магнетике изолироввнной, исследоввть условия териодинвмической устойчивости ее равновесных состояний. Решение. Согласно изложенному в й 6 в здивбвтически изолироввнной системе (термолинв- мическое состояние фиксируется параметрами Ф, Р, а, ЛГ) устойчивое равновесное состояние соответствует максимальному значению энтропии, Я „= Я(8, тг, а, РГ). Этот результат, являвшийся следствием нулевого и второй чести !! нвчвле термодинамики, приводит к постановке вариационной эвдвчи бЯ) „=О; б Я! т,я <О, определяющей само равновесное состояние системы и критерии его устойчивости. Рассмотрим сначала систему типв гвэв.
Полагая, что внутри звфиксироввнной здивбвти- ческими стенквми системы удельный обьем (или обрвтнвя ему величине — плотность числа честно) и темпервтурв могут принимвтьлоквльные значения и(Р! и В(Р!, имеем ! Г 1 Ф= / в(В(г),и(г)) — ВР, ДГ= / — й, и(вт! ',/ и(в'! (г! (т! ! Я = ~ в(В(вг,и(!!) — вГг = твх, и(Р) и'! где е(В,и) и в(В,и) — локальные удельные значения внутренней энергии и энтропии, в ВР/и(Р) — число частиц в объеме вГ = ИлбувГв. Эгв задача нв условный экстремум Г(В, и) = в(В, и) — Вв(В, и) = — — Ьие + . + в,(и).
4 С помощью известной формулм для разности теплоемкостей (см. Ь4, п. 2) и учитывая, что р(В, и) = -~в! "1, получвем )76 Задачи и дополншпельные вопросы Равновесное значение удельного объема определяются нз условия ЯЯ/ЯЛ) О, что сразу дает» = 1)/)У, а равновесное значение удельной внутренней энергии —, нэ условия дв/дл) = О, что при условии независимости величин д и» от )) даст е = б/Ф. Переходя к вопросу об условиях устойчивости магнитика, заметим, что мы могли бы формально произвести замену» -+ а = -В/4я, р - А = Н и просто 'переписать в других буквенных обозначениях полученные выше условия устойчивости системы типа газа или жидкости.
Однако эта задача имеет определенную специфику, в связи с чем мы остановимся нв ней как нв отдельной проблеме. Во-первых, как это было указано в задачах 10-12, термодинамика магнетике (и диэлектрика тоже) строится по отношению к единице его объема (т. е. ! см ). В связи с этим фи)урнрующие в рассмотрении величины — это не удельные в расчете на одну частицу. а плотности (т.е. в расчете на 1 см)) энергии, энтропии и т.д., которые мы во всех предыдущих задачах обозначали большими буквами 8, Я и т.
д. Понятно поэтому, что плотность числа частиц и = 1/» а вариационной задаче для магнетика уже не фигурирует (для твердого магнетика она вообще может считаться фиксированной). Во-вторых, в соответствии с предложенными в задаче 10 вариантами (и их физическим смыслом) выражений для бИ), б) и т.д. и указаниями, сделанными в 56, при исследовании условий устойчижкти термодинамической системы мы должны рассматривать ее целиком, не исключая из нее каких-либо энергетических частей.
Это оп редел я »геди нствен но разумный вариант выбора а = В/4я, А = — Н, б)рв, Фв н т д. (индекс В вдвльиейшем писать небудем, а множитель 1/4я в выражении для а временно опустим, чтобы не мешал, обещая сделать в окончательных 'формулах обратную замену В -' В/Фп). В-третьих, в качестве вари))пи»нных параметров, которые могут принимать неравновесные значения, целесообразно использовать как и в газовой шдаче температуру д(Р) и локальное значение ннаукции В()"), определяемой локальным значением мап)итной проницаемости ))()т) = В(Е)/Н.
Таким образом, мы приходим в итоге к вариационной задаче с двумя условиями, 1 Г Я= / Я(б(Р),в()т))бг'=шах, 8= / б(д()т),В()))б)т,  — / В(Е)бг оз гг) )г) Варьируя расширенный функционал Г! Г Я = э( Я(В, В) бг" + Л) Ц б(В, В) бг — Ф + Л) — В И)т- В = шах )г) 0 по величинам Е()») и В()т), имеем / ар) ( де + Л' др) Ьб+ (ОВ + Л' ЕВ + «)) 6В~ ' ОО Условие рван»весил системы бЯ = О определяет смысл множителей Эйлера: приравнивая нулю коэффициенты при бд, получаем ОЯ(Е, В) 1 дб)(Е, В) 1 = -Сл ж — Л), т.е.
Л~ ьт — — ю сопл! дб б до ' Е приравнивая нулю коэффициент при 6В и учитмвая то, что получаем, что Н Л) =-Л,Н = — — =соим. е Вторая вариация функционала Я, взятая при условии 6Я = О, будет иметь вид ь'я~, =~аГЦ вЂ”,+л,—,) ье'+( —,+л,— Л)бв'+2( — +л,— л ьвбв~. и') 8 7. Циклы Лшпловых установок 177 ,Используя'приведенные выше вырвяшния для производных В и 4' по л и О, убежллемся, 'что 'коэффицйсит при' бабВ в случае бУ = О (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
