Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 45
Текст из файла (страница 45)
зермодимамичесяое задание сисшемьз и росчеш ее хорелщерисшця 169 (иначе в левой части не будет полного дифференциала типа /(х) ах ы ар(х)), т. е. удельная энтропия в зависит от В и н не порознь, а от их комбинации," в=в(еи ), во-вторых, теплоемкость ст (калорическое уравнение состояния) тоже является функцией этой комбинации: ст = В( — ) = Вв'(Вн')е' = с,(Ви'), ~де/ю и, в-третьих, уравнение адиабатм з!в = 0 можно написать сразу, причем во многих вариантах: ризвз = сопзз, сн = соим Виз = сопи, — = соим, РВ !з+~з~ = соим. В Заметим еше, что в случае В = 0 из исходного дифференциального соотношения следует уравнение для удельной энергии основного состояния ве(н) = с(О, н): Нн 0 = з!св(и) + йсв(н) —, откуда следует, что ее(н) = сн ", где с — некоторая константа.
Обратимся теперь к условию с, В'. Согласно Ь 4 (следствие И! начала термодинамики), если сг = аЬ(нзе)', то в = Ь(нзе)4 (Ь вЂ” некоторая константа). Для удельной внутренней энергии теперь имеем (св = сн з) с(В н) ве(н) + / сз з!В~ св(н) + н В а «-1 в для свободной энергии— У(В, н) = е(В, и) — Вв = ве(н) — — 'н Ф", а+1 для химического потенциала— Ь(ай — 1), м р(е,н) = /+рзз = (й+ 1)вв(н)+ н* В а+1 для уравнения состояния— р(В, н) = — — ш сйн + — н' В'+, д/(В н),, Ьай дн а+! для теплоемкости с Ьайн'з 'Вз'+з с =си+ й сз — — аЬ(н В)* сй(й+ 1)н з з — -"ф-з~!н'з здз+з н т.д.
В частных случаях полученные решения реализуются (см. том 2, гл. 1, 92, 3) для нерслятивистского вырожденного ферми-газа, лдя которого й = 2/3, а = 1, а константы с и Ь определяются иэ соотношений згз -з 3 2гл ! У) ' б 12!сн) ' для вырожденного нерелятивистского бозе-газа й = 2/3, а = 3/2, с = О, а константа Ь определяется из сопоставления ЗЬ зз /ВЗззз 331 йз сг = — неп = 1,92... ~ — ), Ве —— и т. д, Для равновесного излучения й = 1/3, а = 3, с = 0 и аЬ/(а+ 1) = а — постоянная в законе Стефана — Больцмана (кроме того, лля излучения, когда число зг/ не является независимым параметром, необходимо вернуться к полным значениям е -з Ф, н -з !г, в — я и т.д.). рассмотренную схему можно применить с некоторыми оговорками даже для илеального одноатомного классического пюа, лля которого сн = 3/2.
Это предельный случай Задачи и дополнигпельные вопросы а -~ О, аЬ -~ 3/2, с = О, при этом не надо забывать, что формальный результат для энтропии з = Ь(сзВ)' здесь не имеет места, так как в случае а = О, учитывая, что энтропия з = «(доз) зависит ат комбинации дсз, где, как всегда в нерслятивистском случае й = 2/3, имеем з = / — Ю' = — 1п В+ 1п /(с) = 1» (В Г «) е зз / с~ 3 эгз в, — это результат, полученный нами ранее (см.
задачу 19). с Задача 23. Рассчитать связанные с наличием поля Е термодинамические характеристики изотропного диэлектрика, считая диэлектрическую проницаемость с = с(д) заданной. Реигение. В соответствии с процедурой, предложенной в 85 для расчета той части свободной энергии, которая связана с полем а, имеем !за = дг(В, а) — дг(В, 0) = — / А(В, а') Аа'. о Полагая (см.
задачу 10) а = Р/4х, А = -Е = -(4я/г)Р/4х, получим для свободной энергии единицы объема (см. задачу !!) диэлектрика Рз ЕР здкл = — =— 8лз 8л Для двух других вариантов имеем соответственно Ет Ез рз РЕ ГЬХ = ГЬУ вЂ” — =(з — 1) — = — =— 8х 8е 2а 2 ' РЕ оЕз Сггдл ж ЛУр — РЕ = — — = —. 2 2 Для внутренней энергии согласно формуле Гиббса-Гельмгольца получаем ддгй Р / В Вз'т А Вл = Ьэ'и -  — = — ~1+ - — ) дд 8яз ~ з Ид,г и т.д.
Энтропия не зависит от выбора вариантов параметра а, д!ЭНГи(В,Р) ВСзЖ(В, Р) ВО,ВГВ(В, Е) Р' АЗ РЗ ИО ЕЗ ГГЗ ЬЯ вЂ”вЂ” дд дВ дд 8язз гГВ 2аз ВВ 8л АВ Теплоемкости: ззСП = и т.д. Задача 24. Для идеальною парамагнетика, для которого полярнзационная внугренння энергия 4~ зависит только от температуры и не зависит от М (как для идеального газа: внутренняя энергия зависит только от В, но не зависит от У), показать, что уравнение состояния М = М(В, Н) и сдвиг энтропии /ьЮ(д, Н) = Ю(В, Н) — Яе(д), где Яе(д) — энтропия системы в случае М = О, Н = О, имеют вид М = М(Н/В), !38 = /ЗБ(Н/В). Реиение. Полагая а = М, А = -Н, имеем в соответствии со следствием П начала (з) (~ ) =-В(дд) +Н=О =О ~Е, = — ) или (гГ!и ) =0 8 5.
Термадцнамаческае задание системы и расче|п ее харалтериппцл ! 7 ! откуда следует, что дяя данной системы Н/В = Ф(М), где Ф вЂ” произвольная функция М, Разрешая эту функцию относительно намагиичения М, получаем М = Зг(Н/9). Так как лля парамагнетика при слабых полях М = ХН, Х > О, то, разявшя функцию Зг в ряд по ее аргументу, мы должны потребовать, чтобы Р(0) = О, и Зг'(0) > О, откуда у/(о) ь Х= В В Твкоетемпературноеповедение магнитной восприимчивости называют законом Кюри (см, задачу 18). Дифференциальное уравнение для энтропии при том же выборе а = М с учетом полученного выше выражения для (дн/дВ)м приобретает вид (.— '-') =-('— :.) =--.=- . Учитывая, что при М = 0 энтропия 3 = Зэ(9), получаем после интегрирования по М, что величина гХЗ /зз= з(в,м)- з,(в) =- ~ Ф(м') дм' = Ф(м) о является функцией только М, а следовательно, только отношения Н/В /зз = гзз(н/9). В случай слабых полей, когда М = ХН и Н/В = М/Ь, функция Ф(М) = — М/Ь, поэтому ЬЗ = -М'/2Ь, что полностью согласуется с решением, полученным в задаче 25.
гь Задача 26. Рассчитать термодинамические характеристики параиагнетика Кюри— Вейсса (си. задачу 18), помещенного в магнитное поле Н. аешенца, Звлача в формальном отношении полностью аналогична звлаче 23, поэтому мы че будем использовать здесь асс варианты, выбора поля е. Уравнения состояния в рассматриваемом случае имеют вид Ь: м= — и, с =с(в), в — в поэтому Ь Н' /ззг(в,н)=-~ м(в,н')вн'=- — —, В-В, 2' з откупа энтропия И Вгд(В, И) Ь Н ВВ ( — 9е)з 2 2Ь Сдвиги.теплоемкостей (см.
лля сравнения задачу 18) /ВЬЗ'г 9Ь г /ВЬЗ'т 2ьСа = 9( — х) — Н, 2ьС =В~ — х) = О = ~ 99 ~л (В-В» = ~ ВВ )„= и т.л. Задача 26. Полагая теплоемкость кристаллической решетки равной С(В) = авз— низкие температуры — закон Дебая (Р. Реьуе, 1912), или С(В) = сонат — высокие температуры — закон Дюлонга и Пти (Р. Оц!оп9, А. Рот!т, 1819), получить уравнение адиабаты для парамагнетика Кюри-Вейсса. Показать, что адиабатическое выключение магнитного поля приводит к понижению температуры парамагнетика.
172 Задачи и дополншпельные вопросы рещение. В соответствии с уравнением Вя/вв = с(в)/В и решением предыдущей задачи в(в, и) = з/ — дв' — — + В(в,). г С(В') М' ,/ ГР 2Ь В низкотемперетурном случае, пояагая В, = 0 В и Я(0) = О, имеем В(в,м) = -в — — и . г 3 2Ь В случае высоких температур Я(в,м) — Я(в,) = С1п — — — М . в в 2ь При вдиабагичсском выключении поля Н (или поля М = Н/Х) необходимо'рассмотреть уравнение В(9~ М) = Б(вм О) В области низких температур получаем 3 ЗЬ Нз У~~ — В,=- — М м- — — <О 2аЬ 2а (В~ — Ве)г а в случае высоких В, 1, Ь Н' 1и — =- — М =- — — <О, В, 2ЬС гС (В, — Ве)г Рис. $$.
Зффект яонижения температуры (В, — начальное, В, — конечное ее зна- чение) параиагнетика яри вдизбатическои вмелючеиии магнитного поля 9, т. е. в обоих случаях Вз < Вь Метод охлаждения Я„с помощью вдиабатического размагничивания парамагннтной соли является одним из основ- В А ных в криогенной технике, особенно в области очень низких температур (градусы и доли градуса), где другие методы получения низких температур оказываютса неэффективными. Н 'О НмО Заметим, чзо так квк рассматриваемая модель имеет физические основания в, облает» В > Ве, то существует минимальная исходнав температура (В,) ь > Вз, такая, что после вана- А' батического выключения поля Н температура с магнетика достигает значения Вг м Ве (рис. 8!).
27 ~В Если же исходнаа температура В, < (9,) ., но В, > Ве, то в результате ввиабатичсского разо в,в; В магничивания образец может перейти в ферро- магнитное состояние (Вг < Ве), которое исход- и о а э ными уравнениями состояния не описывается. . Цикл процесса негода иаг- Идея использования вдивбатичсского разнигнопз охлаждения яараиагнитиой системы на В э а иа П ~ оо - магннчиванив паввгматнка с целью полУченнл низких температур была предложена Петером Дебаем в 1926 г. (в этом же году КамерлингОннес, используя очень мощные насосы, откачиваюшие пары Не' над испаряющейса жидкостью, довел ее температуру до 0,7 К, и это тогда казалось пределом технических воэможностей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
