Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Задачи и оополиительные вопросы 5 1. Некоторые математические вопросы Задача.1. Показать, что если три величины и, у, з связаны соотношением /(х, у, я) = О, то ниеет ивето соотношение — — — = -1. Решение. Связь /(х,у,л) = О определяет каждую из величин л, у, л как функцию двух остальных. Положим, например, что л = л(х, у). Тогда приращение дл ~ ( — ) дл+ ( — ) ду представляется квк сумма величин, пропорциональных независимым приращениям <Ы и ду. Если же зти последние приращения выбрать так, чтобы ох = О, т.
с. дх = (дя/ду), ду, то, разделив на пу, получим О = ( — ') ( — *) + (д'), откуда непосредственно и следует написанное в условии задачи соотношение. использованный выше способ обозначения частных производных, например (дз/дх)„ вместо дз(х, у)/дл, в данной задаче совершенно не обязателен.
Однако он принят в термо- динамике, так как на, практике оквзывастсл более удобныи указать фиксируемые величины, чем полностьЮ выпйямвать аргументы Дифферснциррцмой фуняции (том более что выбор этих аргументов чдцщ всего неоднозначен). сохранение этой традиций "в тсрмодиййикй поддерживается таюкб н определенной наглядностью такого способа обсаначения, коглй'фи- зическая величина днфференцнрустся по другой (тоже физической величине) при фиксации определенных пврамс1ров системы. В качестве величин (л, у, л) могут фигурировать разные термодинамические переменные, например (р,е,д) и т.
и. Если число параметров, описывающих систему, более трех, то указанное соотношение имеет место по отношению к любой тройке из них при условии, что остальные параметры фиксированы. Примерами использования полученной формулы могут служить соотношения я т.д., которые используются в основном тексте и задачах Задача 2. Рассмотреть математическую сторону процедуры аппроксимации произвольного квазисгатического цикла иелкоступеичатой фигурой, составленной из участков изотери и адиабат, использованной в О 4, п.г) (си.
рис.22) при установлении эквивалентности формулировок 11 начала Карно и Клаузиуса. Задачи и дополноглельныд вопросы Решение. Илея обсужлаемой процедуры достаточно наглядно изображена на рис. 22. С математической точки зрения переход к пределу и - оо приводит к появлению так называемого криволинейного интеграла 2-го рода (в нашем случае — по произвольному замкнутому контуру), записываемого обычно как 2= ~ Р(х, у) их+ 0(х, у)((у, где для каждого горизонтального кусочка пути г2х( (кусочка изотермы В = В() функция Р(х, у) имеет совершенно определенный физический смысл бЕ1о — по верхней «лестнице» 1 — 2-3, В(С Р(ЕДх, = б('„Г(то — по нижней «лестнице» 3-4-1, В'1 з в то время, как вдоль вертикальных кусочков бьу( (кусочков вдиабат б('„т = О) (б(гт(1(у( = О.
Так как для каждого столбика (зх( согласно теореме Карно т (О (Р( — Р, ) см; = ~ — + — ) = О, ЛЕг бб)з 'т,в, в,) то возникающее вследствие этого равенство нулю всего интеграла 1 = О означает, что функция Р(х, у) не может зависеть от у, иначе оставшаяся под знаком интеграла часть Рдх не образует полного дифференциала. Переходя к первообразной функции Рбх = ВФ(х) и учитывая, что в данном случае переменная х — это Я, мы приходим к интегральному равенству Клаузиуса, в котором энтропия измеряется в измененном Ф-масштабе (проще, что эквивалентно предыдущему, было бы сразу положить Р = 1, тогда бх = ВЯ без масштабных изменений энтропии). Может показаться„что приведенное выше рассуждение существенно использует выбор переменных (В-Я), то есть получающееся из следствия теоремы Карно соотношенце басф = ВЯ, где Я вЂ” однозначная функция термодинамического состояния, как бы незаметно подсовывается.
Ьрг Т В=В, =О У Рис. бб. Произвольный замкнутый контур (сн. рнс. 22) в (р — У)-координатах н его аппроксимация зубчатой фигурой, состоящей нз кусков нзотерн н аднабат. Слева — отдельный фрагмент основного рисунка Чтобы не возникало недоразумений еше и по этому поводу, можно повторить проне дуру, не используя Я в качестве координаты. Перенесем произвольный замкнутый ко(пуд с рис.22 на (р — У)-плоскость, полагая х = У и у = р (см. рис.бб».
Как и на рис.2к )47 5 1, Нелолгорые мсгпемалзпческое вопросы мы ради наглядности и простоты рассмотрения выберем сетку изотерм Е = Е, твк, чтобы они пересекали фрагменты исходного контура ровно посередине. Получающаяся зубчатая фигура нз кусочков изотерм и алиабат имеет тот же смысл, что и ступеньки на рис. 22, хотя выглядит далеко не столь эстетично. Интеграл по зубчатому контуру вследствие теоремы Карно по-прежнему равен нулю. Для установления равенства Клаузиуса нам достаточно сопоставить этот интеграл с интегралом па заданному гладкому замкнутому контуру только в одном (но любом)»'-м его фрагменте, т.е.
для одного «зубца» контура (см, левую часть рис.бб), именно, интегралы от Щ/Е по пути АВС и ломаному пути АМВДГС. Сохраняя, как это принято в предвкушении предельного перехода к бесконечно малмм величинам, точность рассмотрения до второго порядка по дифференциальным отклонениям (у нас эта «ьзг, «зр, «зд = еы, — Ег и т.д.) исключительно, замечаем, что вследствие равенства плошадей бесконечно малых треугольников АМВ и ВлГС работа системы, совершаемая ею при переходе из состояния А в состояние В по ломаному пути АМВ/уС и по фрагменту исходнопз контура АВС имеют одну и ту же величину.
Вследствие однозначности внутренней энергии равными оказываются и величины 2ь«ч = Ас — 8„. Если, наконец, сохраняя условленную дифференциальную точность, мысленно вынести, в соответствии с теоремой о среднем, значение температуры в средней точке В (т. е. ю = е;) за знак интеграла и вспомнить, что ЬГ2 = АФ + р А»г, то лля кажлого в пределе бесконечно малого г-го кусочка АС ямвлс хлс складывая их в замкнутый контур, мы приходим к равенству клаузиуса у бД/е = О как следствию теоремы Карно. с» Задача 3.
Показать, что дифференциальная форма двух переменных бЯ = Ж(х, у) Ах+ ДУ(х, р) ду всегда имеет интегрирующий множитель /з(х, у), таКой, что /3 бЯ = ЫУ(х, у), и сформулировать процедуру его нахождения. ;ешение. Если заданная дифференциальная фор- ма с самого начала представляет полный диффе- зенциал некоторой функции Цх, у), т.е.
/И/~ /аС~ М дх+ йГ Ау = АУ = ~ — ) дх+ ~ — ) Ау, = ~Ох~„~йу~„ а вследствие (.-;(-::),).= (-:. (%).), зункции М(х,у) и лГ(х,у) удовлетворяют усло- пю ( —:;).=( —:".), О х Рис. 67. Уровни функции У(х, у) = С . наоборот, если М и лГ удовлетворяют это- ЯвляющЕйся рЕшением уРавнения бСГ =О З соотношению, то запвннвя форма представляет ~бай полный дифференциая. Отметим, что, латая Г(х, у) = С, мы получаем на плоскости (х, у) семейство непересекающихся кривых = у(х, С) (рис.
67), являющихся решением дифференциального уравнения АУ = О, т. е. М Ах+ йг Ау = О Задача и дополнительные вопросы !48 или / дбг'т Г дбг'1 33мда+33йгду= ИГ= ( — ) дл+ ~ — ~ Ну. (, д* ~„~ ау ~, Из условия дум) 8(дрг) ау ал имеем 833 д13 / дм 81тг ~ 1'т — — М вЂ” = 33 ~ — — — ~, а* ау (, ду 8*,3' откуда д!и 33 д 1п 33 дм дйг дг — — М вЂ” = — — —. дл ду ду да' Это линейное неоднородное дифференциахьное уравнение в частных производных первого порядка типа дя а Р— + !г — = 31, дх ду где з = 1п !3, Р = йг(а, у), Я = -М(л, у), Л = 8Муду — дг!/дз.
Решение таких уравнений обычно ищется в неявном виде у(з, у, а) = О (или соптг). Учитывая, что а ау ау ог' = — да+ — ду+ — дл = О, аз ау откуда непосредственно следует,,что "д 83г /8У ал: д /дУ дз дх/ дз' ду ду/ д*' получаем лля функции !г(з, у, з) уже однородное уравнение др дУ др Р— + 1в — + Л вЂ” = О, ал ау которому соответствует система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (уравне- ний лля характеристик) Выбирая первым из них уравнение ду дз м(*, у) Ф(а,)!) ' у у(х,С,), разрешая которое стносительнс мы можем записать его решение в виде константы интегрированна С,, С, = у, (л, у), мы получаем первый интеграл системы, являющийся также и интегралом исходного уравнения Мдз + 1т ау = О. Правая часть второго дифференциального уравнения дл Л/ дз Л! — ~или уравнения д* Ы' не зависит от з, что сразу определяет вторую константу интегрирования — произвольны! сдвиг начала отсчета переменной я.
Интегрируя зто уравнение с учетом полученной свят М(*, у) 3У(х, у) Положим теперь, что функции М(л, у) и йГ(а, у) написанному выше условию не удовлетворяют и бД полным дифференциалом не является. Покажем, что можно найти такую функцию 33(л, у), умножив на которую исходную дифференциальную форму бгб, ыы получим, что 33(я, у) б!В = Щл, у), т.е. 149 5 1: Нелолюрые мхпемщпичесяие вопросы у»(х, у) = С„приходим к решению, разрешенному относительно з л = Сэ+т>з(х>у)> которое является частным решением лля интегрирующего множителя 13: )у(х> у> л) = соплг.
е">1*е1. Располагая первыми интегралами С, и Ст рассмотренной системы дифференциальных уравнений, можно записать и общее решение исходного неоднородного уравнения (или однородною уравнения >1У = О) в виде произвольной функции от констант С, и Ст, г"(х,у,л) = Ф(С„Сз) = Ф(р>(х,у),л — рз(х,у)) =О, разрешая которое относительно Сз = л — 1лз(х> у), получим л 92(х> У) + Ф(т'>(х У))> где Ф(С,) — произвольная функция своею аргумента, нли, переписывая это соотношение лля интегрирующего множителя )у(х, у) исходной дифференциальной формы двух переменных б9 Д(х, у) = е' = еюг'ИХ(р,(х, у)), где Х(С,) = ехр (Ф(х, у)) — произвольная функция своего аргумента.
Иэ этого соотношения в частности следует, что если 1у(х, у) является интегрирующим множителем дифференциальной формы бО, то д>(х, у) = )у(х, у)Х>(ул(х, у)), где Х>(С,) — произвольная функния интеграла С, = Р>(х, у) однородной дифференциальной формы плох+ 1>гбу = О, также является интегрирующим множителем этой формы. Обычно на практике нас вполне удовлетворяет частное решение ддя д, поэтому произвольную функцию Х(т>>(х, у)) стараются выбрать так, чтобы решение для д выглядело бы наиболее экономным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
