Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Совершенно так же, как мы убедились в 54, что выбор уравнения состояния р = р(д, и) не независим от калорического уравнения состояния ст — — сг(д, е) (формула «'), критические показатели в силу общих термодинамических соотношений оказываются связанными, как мы покажем ниже, достаточно простыми соотношениями. Приведенная схема описания поведения систем в обяасти критической точки откровенно феноменояогична. Являясь всего лишь грубо асимптотической, она уже прижилась в научной литературе, приобрела качество общепринятого языка и, как мы увидим далее, получила последующее развитие.
Понятно также, что можно было бы установить и другую систему этого описания, но где отыскать того авторитетнейшего мэтра теоретической физики, который, отдыхая от трудов по развитию микроскопической теории, занялся бы феноменологическими построениями в области термодинамической теории фазовых переходов и не пожалел бы усилий, чтобы переломить уже установившуюся традицию? Необходимо отметить, что приведенная нами схема, связанная с использованием критических показателей а,,б, т, б, помимо своей простоты приобретает дополнительную привлекательность в связи с тем, что экспериментальные значения этих четырех критических показателей (несущественно различающихся у разных авторов) для большого числа дискретных систем и газов оказываются подозрительно (для такой чисто феноменологической классификации) близкими друг к другу, что естественно наводит на мысль о существовании некоторого универсального механизма критических явлений и переходов Л-типа.
Однако выяснение этих обстоятельств остается за рамками термодинамического подхода, в котором задание у1ювнений состояния, являющихся как бы отправным моментом рассмотрения в любой области, включая критическую со всеми ее особенностями, производится как бы извне (точнее, заимствуется из эксперимента), а не выводится теоретически. Не приводя здесь таблиц значений критических индексов для различных систем, укажем только их характерные значения: а 1/8, )3 1/3, 7 4/3, 6 4,5.
Следует отметить, что описание особенности вблизи критической точки степенным законом С - 1т1 ' (для определенности рассмотрим только тецлоемкость) хотя и представляет известный простор выбора ваяичииы,критического параметра 1 ) а > О, но далеко не исчерпывает всех возможностей для интегрируемой особенности С(т). В частности, как мы указывали в п. з), ряд переходов имеет явный логарифмический ход теплоемкости С(т) — 1и 1т!, бывают и более сложные зависимости, например более сильная, чем!и 1т~ и 1т( ', особенность С(г) (1т) 1и з1т0 ' для перехода от сверхпроводящего к смешанному сверхпроводящему состоянию при критической напряженности магнитного поля Хс и т. и.
Конечно, степенные зависимости много проще в обращении, чем логарифмические и т. п., бояее того, на их основе удается выявить некоторые общие черты подобия (см. ниже) критических явлений, поэтому неудивительно, что приверженцы степенного описания особенностей даже нестепенное поведение какой-либо величины договариваются аппроксимировать в «известных пределах» и с «известной точностью«выражениями типа 1т~ '. Особенностям же С(т) «Р(т), более слабым, таким, что т'«р(т) — 0 при т — «О, например тем, которые были приведены выше, приписывается индекс а = О, для чего используется следующий формальный прием: особенность 1т~ как бы уточняется следующим более слабым членом, 1т~ '+ Лгр(т), т.
е. ЛЗУ(т) в случае а = О. При 'а ~ 0 получается в соответствии с и. з) переход (2 — а)-го рода, а в случае а = О при любой особенности гР(т) — (2 — 0)-го рода (при Л = 0 это может быть и чистый 134 Глава 1. Ансоамагаока макраснапочеснао гпермадонамоно фазовый переход 2-го рода с конечным скачком теплоемкости, рассмотренный нами в п.ж)). Переходя к рассмотрению чисто термодинамического аспекта «степенного» варианта теории фазовых переходов, начнем с рассмотренной уже нами полуфеноменологической теории Ландау.
Поскольку нас сейчас будет интересовать поведение магнетика нс только при равном нулю внешнем магнитном поле Н, необходимо сделать соответствующее уточнение величины свободной энергии У. Учитывая, что согласно задаче 1О потенциальная энергия взаимодействия системы магнитных моментов с внешним полем Н в случае иротропного магнетика равна — МН, где М '— намагничение системы (магнитный мбмент единицы ее объема), имеем в качестве аналога потенциала С = У + рР газовой системы у(в,н)=у (В,м) — мн (см.
также задачу 62) или, опуская нижние индексы и слегка изменяя обозначения, У(в, Н; М) = Уа(В) + А(В)М'+ В(в) М« — МН = У (В) + Р(В, М) — МН, ' где Уа(в) — свободная энергия единицы объема системы, являющейся носителем магнитных моментов, термодинамика которой в области фазового перехода «магнитного» происхождения не имеет никаких особенностей, а Р(в, М) = Ум(В, М)— Уа(В) — собственно магнитная часть свободной энергии в варианте Ландау, рассмотренном нами в предыдущем пункте этою параграфа. Учитывая, что в теории Ландау величина М = М(В, Н) определяется из условия (ВУ /дм)нл = О, получаем Н = Н(в, М) = 2АМ+ 4ВМ .
дл(в, М) ВМ Продиффсренцируем это соотношение еще раз по Н, устремим Н вЂ” О (при Н ~ О особенности перехода размываются) и учтем, что (дм(ВН)»1д а — — у(в). То~да получим 1 = (2А(В) + 12В(в)м~) зг. Так как при приближении к точке Кюри со стороны парамагнитной области т > О определенная в пределе Н вЂ” О восприимчивость,"~ при т — О расходится в соответствии с законом Кюри — Вейсса (при этом намагничение М = ун — О), то общий коэффициент при г в последней формуле должен обратиться в ноль. А это означает, что при т — О величина А(В) — О, в то время 'как коэффициент В(В), входящий в комбинации В(в)М', может сохранять в точке т = О конечное значение, и мы получаем как бы моральное право использовать самое простое предположение относительно температурной зависимости величин А(в) и В(В) в области т — О: А(В) = А(во+ тво) = А(В») + А'(Во)тВ«+...
й атВо, В(В) = В(В, + тВ,) = В(В,) + В'(В,)тВ, +... В В(В,) = Ь. Таким образом, полуфеноменологической теории соответствует уравнение состояния Н = Н(в, М) вида Н = (2авдт+4ЬМ )М или Н = Ма(т+ЬМ ), где а = 2аВ», Ь = 2Ь/ава. Исследуем теперь, каким значениям критических индексов соответствует эта теория. з б. Энстренольные свойства. Тернодононочесное ровновесне и устойчивооль 135 В ферромагнитной области т < О, полагая Н = О, получаем из этого уравнения состояния для спонтанной намагниченности з Г!,/з 1 М ==(-т) или М= ~(=! — т1~, т.е.,б= —.
Ь 'уЬ 2 Так как согласно уравнению состояния < онх, — ) = — = ат + ЗаЬМз, Х то в парамагнитной области т > О, когда при Н вЂ” О, а также и М - О, приходим к закону Кюри — Вейсса, в Хй== т , т. е, у = 1. от а( — Ве) При температурах ниже критической, когда Мз = ( — т)/Ь имеем — = Ьт+ ЗаЬ = = 2а(-т) = га1т!, = (-) Х Ь так что характер зависимости Х(т) окажется прежним, но с другим коэффициентом, и показатель у' = у = 1. При т = О из уравнения критической изотермы Н = Н(Ве, М) следует, что Н=аЬМ М, т.е. Ь=З.
з з Далее, так как вид потенциалаединицы объема модельного магнетика Уф9,Н;М) в области т — О сточностьюдо членов М4 и его уравнение состояния Н = Н(в, М) нам известны, то, учитывая, что (ОУ (ОМ)ен — — О, имеем для энтропии системы О(,М)= — ( ' (' )1 ) =Ов(В) — — —, ов ' гв,' где Яь(в) = — Онье(в)/Ов. Отсюда следует, что теплоемкость См данного магнетика совпадает с теплоемкостью носителя магнитных моментов (для твердого магнетика— с теплоемкостью кристаллической решетки), оо(в, м) оо,(в) с„=в ' =в =с,(в). ов ов Заметим сразу, что в «двухфазной» области (см.
рис.б4-В), в которой полученное нами выше уравнение ХХ = Н(В,М) заменено на прямолинейный участок (с соответственным изменением потенциала Нт), вопрос о теплоемкостях нуждается в дальнейшем рассмотрении (см. залачу 64); аналогичная проблема возникает и при рассмотрении поведения теплоемкости сгн при В < В„газа Ван-дер-Ваальса, см. задачи 52 и 53). Для теплоемкости же Сн имеем оо(в, м) оо(в, м) оо(в, м) ом 136 Глава 1.
Якаюигкпика иакрогкопаческой «мриодикаиаки В предельном случае Н вЂ” 0 отсюда получаем Сл — См = а — в случае В < Ва гьйаз 0 в случае В > Ве. Н = Ма(е(т) 1»1»+ (ЬМ~/Р)»). где ступенчатая функция 1 при т>0> е(т) = — 1 при т<0, обеспечивает осмысленное поведение первого слагаемого правой части при переходе через точку т = О.
Проверим универсальность по отношенйю к 1» и у этого откровенно феноменологического уравнения. При Н = 0 и т < 0 для спонтанной намагниченности из него следует М= Для обратной величины намагниченности 1/Х найдем — = ( — 1) = а [е(т) 1тР+ (ЬМ'/РЯ+а — '(ЬМ'/Р)». Х 1ВМГк /т Если т > О, то при Н = 0 также и М = О, поэтому в парамагнитной области 1 — = а1»1». Х ' Если же т < О, то при Н = 0 спонтанная намагниченность ведет себя как =И)' поэтому первое слагаемое в выражении для 1/Х обращается в нуль, а второе дает .-Х вЂ” = а-1»1». Х /» Так как сингулярности в температурном поведении Сп не обнаружено, то показатель а = О, а конечный скачок теплоемкости равен в точке В = Ве а а»Ве ЬСл== гьВ, гь ' что полностью соответствует результату предыдущего п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
