Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 38
Текст из файла (страница 38)
и). Таким образом, учет первых членов разложения потенциала У'(В,Н;М) по целым степеням М дает для критических индексов (а, 11, т, В) значения (О, 1/2, 1, 3) и определяет фазовый . переход 2-го рода. Видоизменим зту полуфеноменологическую теорию так, чтобы она давала наперед заданные значения критических показателей. Проще всего это сделать на уровне уравнения состояния Н = Н(В, М), а потом уже, если зто вообще понадобится, восстановить потенциал Вт: во-первых, чтобы спонтанная намагниченность при т < 0 вела бы себя как М 1»1Р, заменим в двучлене т+ ЬМ» величину М' на М'гл; во-вторых, чтобы вместо закона Кюри Х т ' появилось его обобщение Х т», возведем каждое слагаемое этого двучлена в степень у.
Тогда уравнение состояния приобретает вид э 6. Энолремальные свойства. Термодонамнчесное рввновесне н устойчнвоапь 137 В обоих случаях мы имеем обобщение закона Кюри зг ° 1»~ » с одним и"тем же значением 7 = Т', но с разными коэффициентами в случаях т > О и т < О. Заметим, что если мы в соответствии с использованной выше мотивировкой выбрали бы обобщение уравнения состояния в виде Н = Ма(т+ ЬМ ~Р)», 'то, сохраняя результат для спонтанной намагниченности при Н = О в виде М = = ° 1»1Р, из выражения для обратной восприимчивости — — = а(»+ ЬМчл)" + вг(»+ ЬМ' Р)» ' ЬМчл — ( —,1 следовало бы, что при т > О и Н = (1/т)М вЂ” О мы получили бы по-прежнему обобщение закона Кюри — Вейсса 1г = т 'г/а, в то время как в ферромагнитной области т < О имели бы вследствие 1»~ — ЬМчр = О результат 1/у = О, не соответ.
ствующий реально существующей реакции магнетика на включение поля Н. Полагая т =О, получаем уравнение критической изотермы Н=аб»М ~ "»Р М, где б=1+-., Р'' Для изменения термодинамического потенциала Р(В, М), связанного с появле- нием магнитных свойств системы, имеем согласно Э 5 М М» М»ь»»Р Р(В, М) = Н(В, М~) г(М = ве(т) 1»'1» — + аЬ' —.
2 2+ 7/Р в Этот результат, обобщающий исходную формулу для варьируемого по величине М потенциала Вг(В, Н; М) = Вгв(В) + Р(В, Н) — МН теории Ландау на случай произвольных значений показателей 7 н 15, переходит в нее при 7 = 1 и )5 = 1/2. Располагая явным выражением для потенциала Вг(В, Н;М), исследуем осо- бенность теплоемкости Сл в области т — О при равной нулю напряженности магнитного поля Н. Так как б1» = О, то для энтропии системы имеем др Отсюда при температурах выше критической, когда при Н = О намагничение М тоже обращается в ноль, как и в теории Ландау получаем с )...=а( — ) =в( ' ) =с(е.
При температурах ниже критической, учитывая температурное поведение спонтан- ной намагниченности М 1»'1Р, имеем Сл ~ — Св(В) = 1»)»+ ' 1»Г 2В Ь»Р где критический показатель теплоемкостн Сл равен а' = 2 — 2р — 7. 138 Глава 1. Ансооматона манроснопонеснод термодонамоно Для теплоемкости См в рассматриваемом пределе Н = 0 при т > 0 получаем тот же результат, что и для Сн, т.е. См!н=а = Са(В), в случае же т < 0 имеем Си [и о = В~ †) = Са(В) + [т[т -М (В, О) = Со(В) + [т[ ' . /дд Л а7( / — 1),1, 7(7 — !) (, дВ )и Во 2 ' 2Вобзд что полностью согласуется с известной формулой (см.
и. а) этого параграфа) дня разности теплоемкостей (Сн — См)ньа =  — — = =[тГ Таким образом, в рамках рассматриваемой двухпараметрической (звданы только два значения, )7 и Т) феноменологической теории, обобщающей модель Ландау на произвольные значения этих параметров, мы получили, что критическое поведение калорических величин Сн и См (а также и их разности Сн — См) при т — 0 и Н = 0 в области т < 0 характеризуется одним и тем же критическим показателем а' = 2 — 2)7 — 7, или, учитывая, что а = 1+ 7//7, показателем а' = 2 — /7(б+ 1)— так называемыми равенствами Рашбрука и Гриффитса (О.
КцзИЬгооке, 1963; К. ОпГ- бгн, 1965), а в области т > 0 как и теории Ландау, так и в теории Вейсса эти величины совпадают с теплоемкостью носителя магнитных моментов (например, с теплоемкостью кристаллической решетки) Са(В), т. е. в этой области показатель а = О. Оставаясь на феноменологическом уровне, можно еше более обобщить наше рассмотрение. Обратим внимание, что использованная выше конструкция —.~.с [*о+ ( ) ] = 1. и"1 представляет собой однородную функцию своих аргументов степени Оч Ф(Лт, ЛМОР) = ЛтФ(т, М /Р).
Нетрудно показать(см. задачу 67), что, представляя уравнение состояния Х=Н(В,М), в виде Н = МФ(т, МОР) с любой функцией Ф„удовлетворяющей необходимому свойству однородности, можно получить все те результаты, которые мы получили при частном ее выборе в виде В[с(т))т[т+ (6МОР)"), на основе чего и была высказана гипотеза подобия (зса11пд 1аа) Видома (В. 91бс!от, 1965), заключающаяся в том, что поведение всех систем рассматриваемого класса в области критической точки определяется двумя критическими индексами /з и 7 и видом функции Ф (показатели а и б определяются через них как а= 2 — 213 — 'у и 6 = 1+7//з). Рассмотрим только одно следствие этой гипотезы подобия.
Запишем уравнение состояния в виде Н = МЛ "Ф(Лт, ЛМ "Р) и положим Л = 1/[т!. Тогда, вводя переменные М Н т= —, 7з= !т[р [т[т[т~!р получим тФ( — 1, тцр) в случае т < О, 6= тФ(+1, т'/Р) в случае т > О, 86. Экопремольные свооппео. Термодиномоческое роенояесое и уопобчоеоппь ! 39 т.е. в этих переменных все изотермы системы сливаются в одну, имеющую две ветви лля В < Вп и В > Вп. В ряде случаев этот закон находит великолепное экспериментальное подтверждение, например на рис. б5 приведен случай, когда 30 изотерм при соответствующем подборе )3 и 7 слились в одну.
Если функция Ф определяется двумя параметрами, различными лля разных систем, например формой а(с(т)!т!т+ (ЬМОд)~), то Ь = та(~1+ Ь тт~') 20 1О и, полагая 0 0,5 1,О 1,5 и !т!в Рис.вв. Изотериа Ь = Ь(га) ляя фер- па аметры а и Ь можно вообще исключить, и и1з м роиагнетика Сгйгз,' Вя —— 32,84 К, гг = лав уравнению сосгояния Х = Н(В, М) совер- О 388, ~ = 1,215; измерения проводи- шеино универсальный вид: лись я диапазоне 32,4 < В < 35,03 К Ь =а( +а™). По аналогии с законом соответственных состояний для двухпараметрических урав- нений состояний типа Ван-дер-Ваальса, основывающемуся на такой форме записи этих уравнений, которая не содержит постоянных а и Ь (см.
задачи 52 и 53), можно считать, что полученное выше уравнение Ь = Й(йз) выражает закон соответственных состояний лля магнетиков в области критической точки. Остановимся в заключение на феноменологическом обобщении рассматривае- мой теории на случай, включающий возможность 2 — 2)3 — у = 0 (т. е. а' = 0). Используя идею включения более слабых по сравнению с !т( ' членов типа лзЬ(т) = -л!пт, высказанную нами ранее, заменим в первоначальной модели. Ландау уравнения состояния Н = аМ(т+ЬМг) второе слагаемое на двучлен Мг - Мг — !т!г т(-Л!в!т!)', где степень логарифма С выберем потом так, чтобы тепловы кость Сл в случае а' = О была бы чисто логарифмической (мы покажем в конце выкладки„что лля этого нала булет положить б = 1/2).
Обобщая эту откровенно феноменологическую модель, как и ранее, на случай произвольных значений 7 и 13, имеем Н = ае(т)~1т~ М+ аЬтМ. М ~Л ! — =(-Л!и (т! )~ ~ .!г-т 3 тlго ЬоМг что, естественно, затрудняет прямой расчет потенциала м У (В, Н; М) = К(В) + Н(В, М') йМ' — МН. о В случае Л = 0 мы имеем уже рассмотренный нами вариант уравнения состояния. Отметим,.что если Л ~ О, то сформулировать закон подобия уже не удается, он возникает лишь асимптотически при т — 0 в случае 2 — 215 — 7 = а' > О. Исследуем, какие критические показатели дает эта форма уравнения состояния.
140 Глава 1. Лксиоиов!ико микроскопической о!ериодикомики Для критической изотермы т = 0 получаем знакомый результат Н = аЬтМ'+"ГР ° айтМ где о = !+в 1 Для спонтанной' намагниченности Н = 0 в области т < 0 (с(т) = — 1) имеем !т1р ъ 3! 7/2р 1т1т = ЬтМ"Р 1- !т!'-т-'Р(-Л1п ~т~)'(= 'ч, ЬРМ откуда М'= =(1+!т! (-Л1п!тО'), Ьзл где а' = 2 — 7 — 2ф, или — 1т 1Р 1т1Р . ЬР !тŠ— ( — Л 1и 1т!)'~ в случае а' = О, Р т.е.
при а' = 0 характер исчезновения спонтанной намагниченности при т — 0 степенным законом уже не аппроксимируется. Для дальнейшего нам понадобится выражение для производной (ОМЦдт) в пределе Н = 0 (т. е. М = М(т 0) = Ма(т)). Сохраняя только самые сильные члены при а' = О, получим и ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ е ~ ~ ~ 1 ВМз Л ОМз !с!зовЂ-' = — — = -гр=(1+ !т!" (-Л !и !тф) +..., От) ОЮ И а также 1 г ВМз, 2 ф!г~зл-з — (1 + (т! ( Л 1п !т!)~) +..., 4Мз 1, дт )и е Ьзл Для обратной восприимчивости в парамагнитной области т ) О, когда при Н вЂ” 0 намагниченность М -+ О, получаем прежний результат < дН '1 / дМ'ч ! — ) = атт или Л = 1пп ~ — = — 1т! т.
ОМ), и-о х ОН), а В области т < 0 при Н -+ 0 намагниченность стремиться к спонтанной своей величине М(т, Н) -+ М(т, 0) = Ме(т) ~ О, поэтому з тдр — = аЬт7Мт!Р 1 — (т!'(-Л!п!т!)Г т + !р а' 1/!г! ° Ч 7 ы р х !чтlзр-~ х Фхз +аЬ Мт ~1 — !т! (-Л1п!т!) ~=) ~ ° — ° 2!т! (-Л!п!т!) ~=) .
гх !г~ ь )1 ЬоМ Учитывая, что при подстановке М = Ме(й) двучлен в квадратных скобках становится равным [1+ !т! (-Л(п !тОГ1, получаем, что в первом слагаемом зависимость э 6. Энопрвмильные гвойппви. Териодинииичкное равновкив и успгойчивоопь 141 от (-Л Ь !т!)Г выпадает, поэтому в результате имеем — ! = а-!т!т(1+ !т! (-Л !п (т!)!) = ОН! ! 7 т ° м=м. !Э -7 а — !т~!т Р -7 т а-!т!т( — Л!и !т!)! в случае а' = О. Ф в случае а' > О, Подставляя сделанные ранее заготовки, получаем при т < 0 (!т~ — 0) и Н = 0 Сн — См = — =!т~ ~ (1+!т!~ (-Л 1п )т!)Г), 1 а!37 2 й Ьтп откуда следует, что при а' = 2 — 7 — 2!Э > 0 ! аб7 Сн — См = — =!т! йо Ьзл )т!и М(т, 0) = Мь(т) = = ~т!Л; !т! = ~~ '!т~ т (т! т, а'!' и при а'=0 Сн — См = — =( — Л Ь !т!) 1 а!Э7 ц В. ЬД Желая в этой уже однопараметрической модели (7 = 2 — 2!Э) получить чистую логарифмическую зависимость теплоемкости от т, положим параметр С = 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
