Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Решение. В б 2, и. 2 а) мы получили для работы пространственно однородной системы, производимой ею при расширении, формулу Вдг = р 6)г, В пространственно, неоднородном случае эта формула нуждается в уточнении. Рассмотрим участок стенки сосуда (рис. 69), включаюшего газ, в окрестности точки и которой произошла бесконечно малая (но макроскопическая) деформация, приведшая к изменению объема системы на величину 6!г(Р).
Давление на стенку в окрестности этой точки определяется некоторым локальным значением р(г). Мысленно разбивая область 6!г(Р) на маленькие цилиндры и складывая величины Вйгг для ка;кдого из них, получим 6)4г(г ) = р(Р) 6!г(гт! г — работа системы, связанная с ее локальным расширением на заданную величину 6)г(г). Для расчета работы системы Рис. 69. К определенна работы газа при де- тЗ)(г = / 6йг(Р) формации стенки сосуда 1 т при конечном ее расширении необходимо помимо задания конечной деформации сосуда знать еше и конкретный режим этого расширения. Рассмотрим один несложный пример расчета /ьй' лля намеренно упрошенного случая.
Идеальный газ ре = В (или р = пВ) в цилиндре высоты Ь (рис. 70) помешен в однородное толе У = птля, которое создает пространственную неоднбродность плотности числа частиц ч давления (см. б б, п.б)): Л шкд/В гм = тг 1 — ехр (-твй/В) п(з) = пес м'~т, р(з) = Вп(з), уравнение состояния газа р = р(В, и) простейшим вариантом ре = В, то лт 1 Ь ст ш Полапш с /с„= 7/5 (экспериментальное значение с /ст = 1,41), средний молекулярный вес лля возауха М = 29, постоянную Больцмана я = 1,ЗВ 10 и эрг/град, гп = М/)че, получим тьо~.
(г~з ° ч. ~а,ь что дает, например, лля ! = О, 20 н ! 00'С соответственно значения 331, 349 и ЗВб м/с, отлнчаюшиеся от экспериментальных менее чем на треть процента. г> 156 Задачи и дополниглельные вопросы э /(ля простоты будем считать площадь сечения цилиндра Я = 1 см', тогда !г = Ь 1, и давление на верхнюю крышку сосуда р(Ь) = !УВ е чегГ, 1 — ехр (-глВЛ/В) откуда вля работы газа по поднятию поршня с высоты Ь, до Ьг в иэотермическом варианте имеем эч ,(пгб/В) ВЬ 1 — ехр (-пгбЛз/В) ехр (ягВЛ/В) — ! 1 — ехр (-тВЛ,/В) ь1 Расчет неиэотермических вариантов квазистатическаго расширения (например, адиабатического) усложняется вследствие учета зависимости В = В(Л). Заметим, что если цилиндр, сохраняя свою высоту Л, будет расшнрятьсв в направлении х и у, сохраняя при этом геометрию х прямого цилиндра, то работа изотермического расширения газа Рис.уб.
К расчету работы ЬИ = !УВ !и— гвэв, поиещеииага в одно- ! радиае поле (/ = шбэ, по совпадает с результатом яля пространственно однородного слупадиятию поршня чая. Действительно, в этом случае расширение ка:кдого гори- зонтального слоя Ьх; сохраняющего при Ь = сопэ! внутри себя постоянное среднее число частиц /уг, происходит так же, как в пространственно однородном случае, т. е. Ро! ЬИ! = !У<В 1п — ',, но, вследствие того что цилиндр в целом остается прямым, Вт!1эг В! Взд Рт Ри! ям=В, 8Ь 1,' что и приводит после суммирования по слоям к написанной выше формуле дяя гьйг.
Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что расчеты различных эффектов (у нас это было только гЛИ') в пространственно неоднородных случаях представляют в основном техническую задачу, и расчетные трудности, которые при этом возникают, не являются трудностями теоретического плана. Поэтому в дальнейшем, интересуясь главным образом термодинамическим аспектом отдельных явлений, мы в основном будем рассматривать пространственно однородные системы, каждая из которых при необходимости может потом считаться отдельным фрагментом большой в целом неоднородной системы, Задача 9.
Написать фориулу для элементарной рабаты бгт' пространственно однородного злеиента упругой среды. связанной с его продольной деформацией. Решение. В качестветтквэаиного в условии элемента рассмотрим однородный упругий стер- " жень с сечением 1 ем и длиной 1. Абсолютную и относительную его деформации обозначим гЛ! и и = Ы/! (рис.
7!). Экспериментальный закон Гука (Д. Ноове, 1660) связывает прямой пропорциональной зависимостью натяжение р (сила, растягиваюшая стержень сечения ! сыз на величину бг!) и деформацию гЛ!. В форме, приданной ему Юнгам (Т. Уошщ, 1807), он записывается как р = Ец, где Е = Е(В) — модуль Юнга, и представляет собой термодинамическае уравнение состояния. Так как р — внешняя сила, то работа самого стержня при его уядинении на гй равна ВИ' = -ВИ"внешн = -Р гй = -!Р 4ц, откуда рабата единицы объема упругой среды 1 бм = -ВИ' = -рдц. 157 р 3.
Робогло в кваэосглаглической глермодинамине 1 см Рис. 72. Пояснение х зэхану Гухэ Рис. 22. К выводу выражения дяя работы диэлектрика Задача 10. Вывести выражения для элементарной работы единицы объема бш = б$т/У нэотропного диэлектрика, выбирая в качестве внешнего параметра о индукцию 22, поляризацию Р и напряженность электростатического поля Е.
Решение. Как и в предыдущих случаях, выясним вопрос на простейшем примере. Рассмотрим диэлектрик, находящийся в однородном электростатическом полк В случаях же неоднородного поля, неоднородного диэлектрика и т. п. полученные результаты будут относиться к каждой локальной области системы. Для простоты будем считать также, что диэлектрик характеризуется талька продольной диэлектрической проннцаемостью ез = е (так сказать, диэлектрик типа керосина).
Ответ лля бтР можно было бы написать и сразу, сославшись на соответствующий раздел курса макроскопической электродинамики, однако для выяснения физического смысла указанных в условии различных возможностей для выбора величины о целесообразно провести выеод выражений 'лля бй' с самого начала и полностью. В качестве источника однорадното электростатического поля используем (как мы увидим несколько позже, чисто символически) плоский конденсатор, подключенный к источнику ЭДС (рис. 22), заполненный диэлектриком с проницаемостью е.
Площадь пластин 8, расстояние между ними а, объем диэлектрика Р = Яо. Работа внешнего источника по перенесению заряда с одной пластины на другую равна бйг„„„= уг гбу. Учтем, что разность потенииалое гР = Еа, где Š— йапряженнасть электростатического паля внутри конденсатора, запишем да = Я бо, где поеерхностная плотность зарядов о в плоском конденсаторе связана с электростатической индукцией 22 соотношением и = 4я22 (мы используем и впредь будем пользоваться гауссовой системой единиц).
Тогда из выражения для бй'„„„исчезнут все атрибуты»внешнего оформления» диэлектрика: пластины, источник ЭДС и т.д., и мы )(олучим'' ' " ' ' ' ', мн /21 'т бй',„,„„= ЕоБдо= РЕЮ~ — ), ~4 откуда полная работа единицы объема системы, заполненной диэлектриком, будет равна 1 ГР'т — бйгр — — бшп = -Е б( — ) . 1,4л) Если воспользоваться известным соотношением Р = Е+4яР, где Р— поляризация (линольный момент единицы обьема) диэлектрика, то из этого выражения можно выделить работу, проводимую за счет изменения электростатической энергии единипы объема физического вакуума: Поэтому работа единицы объема диэлектрика, производимая за счет изменения его поляризации, будет равна 1 — бй'р = бвр — — -Е бР. Рассмотрим теперь среднюю потенииахьную энергию ГГ диэлектрика во внешнем электростатическом поле Е.
Положим лля простоты, чта система состоит из ДГ электрических знполей р";, обозначим средние величины чертой сверху, учтем, что в изотропном диэлектри- е Е 1) 2э, величина Р есть средний дипольный момент 1 см' диэлектрика. Тогда 158 Задачи и даполнишельные вопросы ! ! „! -и= — ~(-РМ) =--Ю~~ р;)=-ЕР, у Теперь мы можем записать полную работу единицы объема диэлектрика еще в одном виде: 1Е'1 быо = -А ~ — ) + г!(-ЕР) + Р г!Е (,Вя) и предложить еще одно выражение для работы диэлектрика: ! -Яул = был — — РАŠ— работа диэлектрика за счет изменения его поляризации плюс за счет изменения его потенциальной энергии во внешнем поле. Таким образом, при рассмотрении термодинамики диэлектриков возможны три варианта выбора независимой переменной а: 17/4я, Р и Е. Выражений лля етг', тоже три, но они различны по физическому содержанию.
При решении какого-либо вопроса термодинамики диэлектриков конкретный выбор варианта е пронзвцаится из соображений целесообразности. с> Задача 11. Написать дифференциальное выражение для 1 и П начал термодинамики для единицы объема изотропнрго диэлектрика, используя полученные в предыдущей эадаче варианты выбора параметра. Решение. Конкретный выбор выражения для етт', = Аг!о означает не только конкретный выбор термодинамической переменной о (и обобщенной силы А), но и выбор определенного физического смысла внутренней энергии системы. Действительно, записывая (П), имеем, полагая К = ! см, В 'т б9 = ОИЯ = Ио+ (-Ег! — ) = г!4" + (-Ег!Р) = А4л+ Рг(Е 4я) где До — полная внутренняя энергия единицы объема системы, ер = ео — Е/Зя — вну- 2 тренняя энергия ! смз самого диэлектрика (без энергии электростатического поля Е/Ья), . Ав т, ещ — РŠ—,внутренняя энергия самого диэлектрика плюс потенциальная энергия его 'во внешнем поле Е.
Как ясно нз написанного выше дифференциального соотношения, энтропия Я при разных вариантах выбора о смьюла.своего не мвняат. Свободная энергия Э~ь ю Р, — ВЯ, КаК И ц„МОжЕт бЫтЬ ИСПОЛЬЗОВаНа В трЕХ ВарИаНтаХ: Е' Е' ~о =:Ув+ — = ньл+ — + РЕ Гь йя йя Задача 12. Получить выражение для работы единицы объема изотропного магнетика, считая внешним параметром индукцию В, намагничение М или напряженность магнитного поля Н. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
