Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Задача во многом аналогична рассмотренной нами выше. В качестве источника олнородного поля теперь необходимо использовать уже не конденсатор, а участок прямого соленоида, Пусть он имеет длину Ь, сечение Я, имеет Дг витков (без сопротивления), через которые идет ток 1 (рис.73). Учтем, что поток индукции через этн витки равен Ф = /УЯВ, ЭДС индукции 6 = г!Ф/г(с, протекший за время г(! заряд г(а = 1 г(с, напряженность магнитного поля внутри соленоида Н = 4л(йГ/Х)1.
Тогда работу внешнего источника тока по перемещению заряда Ио против ЭДС 6 можно записать в виде выражения, не содержащего ни источника тока, ни проволоки и т. пл г!В Е1 /В ь е игььешн = и ое = //з 1г(О= пГо г(В = 7гЕ г! ( А! ' 4я 7Ч (,4я)' ' откуда следует, что полная работа единицы объема системы с магнетиком равна ! /Вт — етУв = еыв = -ЕА(~ — ) (,4л) !59 э 3. Рабопга в нвазнспняпичесноб пгвриодннамнне Повторяя рассуждения задачи 1О, получим для работы единицы объема магнетика, производимой за счет изменения его намагниченности, выражение 1 — бй'и = бюм = Н ВМ 'г' а лля работы, производимой ! смз магнетика за счет изменения его намагниченности плюс за счет изменения его потенциальной энергии яо внешнем псле Н, формулу Рис.
73. К выводу выражения дпя работы иагиетика бюв 1 — брггн = бвн = М ВН. г' Физический смысл вариантбв внутренней энергии магнетика ев, Вм и Ал аналогичен соответствующим величинам, рассмотренным в предыдущей задаче лля диэлектрика. Сделаем одно общее замечание относительно систем, рассмотренных в этой и предылушей задачах. Для диэлектриков (не сегнетоэлектриков) и магнетиков выше точки Кюри (не ферромагнетиков) величины векторов индукции Ю или В и электрического или магнитного моментов Р или М представляются однозначными функциями состояния, обращающимися в нуль при выключении поля Е и поля Н. В уравнении состояния А = А(В, а) в связи с этим представляется естественным ограничение лишь линейным приближением по величине. поля а: А(В,а) = а(В)а (это ограничение используется во всей линейной электродинамике, в которой материальные уравнения имеют вид Р = аН, М = 1гН и т.д.).
Поэтому для конкретизации таких систем доста- ЛЯ точно задавать, например, в случае магнетиков лишь восприимчивость г'дМ'з Не,' Н Х= йгп ~ — ( — Х(В) и-и (з ВН (в как функцию температуры (магнитная проницае- 1 масть 7з = 1+ 4я7б). В такой постановке в нашем последующем изложении рассматривается целый М ряд задач по термодинамике диэлектриков и магнетиков. $ В области температур ниже точки Кюри, когда в системе существует спонтанная намагниченность, однозначного соответствия величин М и Н с Н уже нет, обратимых квазистатических Н Н о изменений термодинамических состояний тоже нет, в связи с чем рассмотрение конкретных проблем сильно усложняется.
Приведем в утешение один пример, когда решение термодинамической задачи основывается на полученных выражениях Рис. 74, К определению тепловых полля бйг,! начале термодинамики и заданной (из- терь за цикл переиагничивания фермеренной или взятой из справочника) петли ги роиагиегика: Н, — пропорциояальстерезиса ферромагнитного материала (этот прн "ая аиплятудиоиу зиачеиию тока а обмер настолько прост, что не хочется выделять его лотках величина изгии'лого поля в виде отдельной задачи). 160 3одачо и дополнигпельные Вопросы Если этот материал используется в качестве сердечника, работающего в стационарном режиме на переменном токе трансформатора, то тепловые потери за цикл его перемагничивания,связанные с переориентировкой магнитных моментов узлов кристаллической решетки магнетика (мы не касаемся потерь на токи Фуко, механическую вибрацию и т.д.), определяются элементарно: вследствие однозначности внутренней энергии как функции термодинамического состояния Г Н<(В <."ьД = Щ = дй'+ Юкг = 6$К = — ~Ь вЂ” = — Н дМ = М <(Н.
Таким образом, плошади петли гистерезиса, вычерченной на плоскостях (В/4л, Н) и (М, Н), одинаковы (рис. 74) и равны тепловым потерям <зЯ за цикл перемагничивания (<.'ь<'„> < 0 — магнетик отдает тепло термостату). 5 4. Калорические свойства системы, политропические процессы Задача 13. Показать, что удельная теплоенкость сг(В,«) для газа Ван-дер-Ваальса (и идеального газа, как его частного случая) может зависеть только от температуры Решение. В соответствии со следствием 11 начала (ь") (см.
44) имеем дсг(В~ «) д 1<(В~ «) В«ОВ< откуда следует, что сг(В, «) = с„(В) для всех газов, уравнения состояния которых выражаются линейной по температуре формой р(В, «) = В/<(«) + /з(«). К такому типу уравнений как раз н принадлежит уравнение Ввн-дер-Веавьса В а р= « — Ь «з (уравнение Дитеричн (см. Зб, п. а) — уже нет). Задача 14. Для слабонеидеального классического газа, уравнений состояния которого в случае электрически. нейтральных частиц имеет внд вириального (по степеням 1/«) разложения: В_#_ 1 р= -(1 — — <д,(В)+..., «2« а в случае ионнзированных— В ез г'тг 1 р= — — — — — +...
3 'т' В «з<з определить удельную теллоемкость с> (В, «), считая ее в пределе « - оо известной (теплоемкость идеального газа с„ (В)). (е> — 'В Решение. Интегрируя (е«) по удельному обьему с учетом условия с;(В,«)~, = с„>(В), получаем Вз < сг(В,«) = / В ' <Г«'+с<,>(В) =  — / Р(В,«')<Г«+с< >(В), откуда, выполняя несложные математические операции, получаем <,> 1/ лд(в) В> В'р,~в) т 84. Калорпчеслое гвойгшвп сосшемы, полишропичвслие процессы 161 дал овзв с короткцаействием и 1ог е'г/я 1 ст(р,о) =с„(р)+ — го, +..
для ионизованного газа Здййвв 16. Показать, что приближение сг = сопы и с = попа может соответствовать только нрдвяьноиу газу с поправкой на собственный объем р(п — Ь) = Р. Решеноа. В обшей формуле лля разности тсплоемкостей (в данном случае постоянных) ср — сг = р( — ) /(- — ) в/,' = -в/' — /,', сот!уха следует г й/г /г = - — или де т. е. с точностью до двух констант 1 /г =— е+с,' гг = 0 нли гг — его р р = — + сг.
в+с, Уловлетворяя Физическому требованию р!о -о О, положим сг = О, поэтому, обозначив в соответствии с общепринятым станяартом с, = — Ь, получим окончательно р р= —, от=сонм, Послелнюю формулу (см. также задачу 18) можно записать„умножив обе части равенства на постоянную Больцмана Ь = 1,38 ° 10 " эрг/грал (т, е. перейдя от энергетических единиц длл темпсРатУРы Р к гРалУсам шкалы Кедьвнна) н ив число Авошдйо 7Уо. = 6 ° 10п. Тогла получим для идеального газа разность молярных тепдвемкостей (со-от), . = ФО — В, Величина Во называсгся универсальной шзожгй постоянной. Предпспагается, что именно этим соотношением воспользовалея Карно (см.
84) при своей оценке механического эквивалента теаюты. Реконструируем зту выкладку, используя. конечно, уже современные экспериментально полученные дан име. Теплоемкости со и сг определяются с помощью калориметрнрования. Измерения дают при температуре 2о = 273 К (1 = 0' С) н атмосферном давлении ро —— 1,033 кг/см величину Во = 1,986 квл/град моль. С другой стороны, зта разность !авиа работе ргюширяюшегося при р = ро моля идеального газа прн изменении его температуры на один градус.
Так как (опять — экспериментальные данные) коэффициент объемного расширения идеального газа оказался равным 1/273, то 3С = й1Р =ройр = —, ро оь 273 ' н мы получаем в левой части величину 15С в калориях, в правой — работу /хор в механических единицах, что и позволяет произвести непосредственный расчет механического эквиввяента теплоты ЬИ~ роуз !,033 224150 — !О кгм/ккал — 427 кг'м/ккагг ТоВо нли в более ушпребнтельных теперь единицах — 4,185 Дж/кал. положим для удобства дальнейших выкладок правую часть равной единице (это можно сделать за счет выбора масштаба р). Так как согласно резульпгту задачи 13 условие сг = соло! совместимо с уравнением состояния р(р, е) = р/,(е) + /г(е), то, полагая с„— ст = 1, имеем при любых значениях р 163 В 4.
Калоричесхие сеойсшаа сисглемы, полиглршшческие процессы Для теплоемкости же с имеем 1 с = сг + а л г ь В интервале углов -(р/е)(с /сг) < г!р/пе = щ а < +оо теплоемкость с положительна и монотонно изменяется в интервале 0 < с < +оо. При -оо < !8 а < -(р/е)(с„/сг) теплоемкость отрицательна -со < с < О, Отметим характерные частные случаи политропичсских процессов: а) с=О (т.е.
6!в=О), я=с„/сг — -7, !8о=-ур/ч — адиабата, рв =сопи б) с= от, Д = (с — с)/(ст — с) - ао, !аа = ос — изохоРа, в = солт!' в) с = с„, й = О, 18 а = 0 — изобара, р = сопы г) с=ос, В=1, 18 о — -р/в — изотерма, рв — совы. Тепловой эффект политропического процесса с идеальным газом в качсспа рабочего тела определяется как ЬЯ вЂ” = с(в, — в,) йг изменение внутренней энергии ~ье' — (в, — в,), !у работа системы 1 в~ /вз т в~ / /вз ЛИ= (дд Л.)=(с с,)(В, В,)= — ~--1(= — ~1-Н ) )у !у 1-д(,В, / й — ! т, (,в,) Для случая Й = 1 формулу дпя ть)!' целесообразно написать отдельно: ( — /ь)Р) =В! — '. Эти Оюрмулы сводят расчеты комбинаций полнтропических процессов (КПД циклов и т.д., см. Вб) к арифметическим задачам.
Полнтропнческие процессы в сочетании с уравнениями сплошной среды широко используются также в газовой динамике (см. В 7). !> Задача 17. В области температур от О до +4' С у воды наблюдается аномальное поведение коэффициента теплового расширения (до/дд)р < 0 (рис. 76), Выяснить характер термичесдид эффектов, происходящих прн процессак ее сжатия и расширения (в частности, процессах, формирующих цикл Кармо), сравнив их с имеющими место для систем с положительныи коэффициентом теплового расширения (например, для той же воды при Ф ) 4' С), в также характерные особенности адиабат в области С ° 4' С. ! ООО 0 5 10 151/С Рис.
76. Зависимость от температуры относительной плотности воды и(!)/п(4' С). Плотность воды (без примеси воздуха) прн ! = 3,98' С максимальна н равна ть = 0,999973 г/снз. Плотность льда прн ! = 0' С и„ = 0,9!7 г/смз (в выбранном укрупненном масштабе эта величина на рисунке не поместилась) 0,9 п(с) Решение. Учитывая, что согласно задаче ! получим, что вследствие условия устойчивости системы (-др/дв)т ) 0 знак тепловою эффекта, при изотермическом расширении бе 30дачи и дополноглельныв вопросы бч) = («и9«у( — ) «) = у( — с) ( ) « определяется знаком коэффициента теплового расширения. В 'нормайьной области (для волы при Г > 4' С) при изотермическом расширении (дэг > О, ВВ = 0) имеем щ > 0 — система поглощает тепло, отбирая энергию от термостата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
