Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда для теплоемкости, спонтанной намагниченности и восприимчивости получаем ! 2а/3(! — !Э) Сн — См = — (-Л Ь !т!) ( — Л 1п !т!); Ве Ьгл !т!и М( г, 0) = М,(т) = =(-Л 1п ~т!)'"; з! = /т!-'!'-Л!(-Л !и !т!)-'". ьл 2а(1 — !Э) В параметрической области т > 0 все проще: так как вдоль критической «изохорыь М = 0 в этой области Н = О, потенциал У(й, Н;М) = Я(й), то См !н=ь = Сн !и ь = Со(й) (т.е.
показатель а = 0), а восприимчивость Л определяется обобщенным законом Кюри — Вейсса, т т т. Восстановить особенность потенциала Я(И Н М) прн Н = 0 по теплоемкости уже труда не представляет (см. аналогичную процедуру в п. з)). Обозначая уже без ненужных штрихов 2 — 20 — г = а, считая 0 < а < 1 и предоставляя читателю самостоятельно брать несложные интегралы (важны только главные члены); выпишем сразу каким должен быть ответ для главной асимптотической при т — 0 части Для определения особенности теплоемкости воспользуемся еше раз знакомой формулой !42 Глава ! . Аксвомавшка мояросяопвчесхой глермодонамики потенциала: ЬУ» = -А т «(! — Лт" 1п !т!), (2 — а) (1 — а) откуда для энтропии ОА»эг» 1 д»»У» ~»Н» — — — — — — — ' ОВ В от А ! „/ 2 т "~1 — — Лт'1п !т! — а '», 2 — а А т~ в случае 1 — а Ат(-Л! и !т !) в случае 0<а<1, и, наконец, для теплоемкости (как проверки правильности формулы для А»У») 2, ~) )!' Ат «вслучае <а< (2 — сг)(1 — о) / ( А(-Л1п !т!) в случае а = О, д ~~ т где в соответствии с проведенным ранее расчетом коэффициент А = а07/Ьзддв и показатель 7 = 2(! —,0) — а.
Подведем некоторые итоги данному пункту к) (включая и задачи из 513, связанные с изложенным выше материалом). Во-первых, если первоначальный вариант теории вырос, исходя из вполне определенных физических представлений о возникновении в ферромагнетике ниже точки Кюри эффективного молекулярного поля (см. том 2, гл. 3), составляюших основу полуфеноменологической теории Вейсса, то произведенное нами дальнейшее обобшение этой теории представляетсл откровенно формальным. На феноменологическом уровне можно предложить и другие более или менее удачные варианты видоизменения первоначального уравнения состояния Н = Н(9, М).
Поэтому гипотеза Видома, включаюшая два момента, — предположение о структуре этого уравнения состояния, Н = МФ(т, Мцд) = МЛ тФ(Лт, ЛМПд), и предположение о полном подобии всех фазовых переходов Л-типа и критических явлений, — оказались столь привлекательной именно потому, что она в едином своем акте позволила полностью снять проблему произвола в выборе конкретной модели магнетика. При этом мы молчаливо полагаем, что функция двух аргументов Ф такова, что поверхность термодинамических состояний Н = Н(д, М) (см. рис. 64-А) как бы натянутая на кривую спонтанной намагниченности М = Ме(д), лежащую в плоскости Н = О, вне области критической точки т = О, М = 0 не имеет более никаких аналитических особенностей.
Рассмотренный нами в этом пункте вариант обобшения теории Ландау на произвольные значения критических индексов явился одновременно и показательным примером, позволяюшим все необходимые расчеты выполнить до конца на самом элементарном уровне, и наводяшим соображением в пользу гипотезы Видома. Заметим, кстати, что эта в целом простая модель не лишена недостатков, в частности, фигурирующая в уравнении состояния Н = Н(д, М) конструкция ае(т)!т!т, навязанная структурой коэффициента А(т) в первоначальной модели, имеет особенность второй производной вдоль изотермы т = 0 (т.е.
как бы след фазового перехода порядка выше второго и тем более выше рассматриваемого нами Л-перехода). Во-вторых, в силу самой конструкции потенциала У (В, Н; М), как мы уже отмечали выше, в надкритической области т > 0 вдоль критической «изохоры» М = 0 (при этом одновременно Н = 0) теплоемкость магнетика в любом рассмотренном нами выше варианте при т — 0 не обнаруживает какой-либо тенденции иметь особенность: Сд — — С»г = Се(«), и критический показатель а при т > 0 всегда равен нулю.
Иными словами, рассмотренная выше теория с ее обобшениями (но все равно 143 б 7. Обсуждеяце как бы по-наследству основывающаяся на концепции молекулярного поля, пропорционального Ме(д), и связывающая Л-особенность с его поведением при приближении к критической точке) обслуживает, по-сушеству, только область т ( О (в области т > О она дает только обобшенный закон Кюри — Вейсса для намагниченности).
В-третьих, закон подобия по своей структуре и по своей идее, являясь асимптотическим, гарантирует только степенную асимптотику рассчитываемых с его помощью величин (в законе подобия фигурируют только степенные конструкции). Поэтому попытки честным образом получить в рамках этой гипотезы (без ее модернизации и видоизменения) более слабую асимптотику (в частности, логарифмическую для Ся) могут носить характер превышения заранее обусловленной асимптотической точности (тем более со стороны т > О, где подобная особенность в данной теории не может возникнуть в принципе). В-четвертых, на показательном примере мы убедились, что для того, чтобы в теплоемкости Сп (в той ее части, которая обусловлена магнитными свойствами системы) появилась бы зависимость от ( = (-Л!и )т~), необходимо отказаться от гипотезы подобия в ее степенном варианте.
Кроме того, для появления логарифмической зависимости от т теплоемкости Сп, выражаемой через производные (дМ/от)п и (ВН7ОМ)„асимптотика последних также должна видоизмениться, причем, не в форме появления дополнительных к ним слагаемых, а в виде сомножителей, содержащих в С(т) в соответствуюших степенях, чвп никак не следует из упомянутого выше закона подобия (см. задачу 67), и это еше раз говорит о том, что логарифмические (или какие иные) уточнения в поведении Сд в случае гг = О, полученные в рамках подхода, основанного на гипотезе подобия, могут оказаться спорными. Таким образом, если даже ограничиться только сказанным выше, то становится понятным, что не следует переоценивать изложенный в данном п.
к) подход и получаемые с его помошью выводы, сколь привлекательной не была бы голубая мечта идеалиста единой формулой описать многообразие окружающего нас мира. Можно лишь говорить о возможности сушествования класса систем, поведение которых укладывается в рассматриваемую нами схему (например, удовлетворяют закону подобия), не забывая при этом, что имеются примеры и таких моделей статистических систем с фазовым переходом Лчтнпа, которые сделанным нами общим выводам не удовлетворяют. Ф 7.
Обсуждение Остановимся на некоторых общих итоговых моментах проведенного в данной главе макроскопического рассмотрения термодинамических систем. 1. Прежде всего мы уяснили основные положения и характер термодинамического подхода к исследованию систем многих тел. Наиболее важным из этих положений явилось введение понятия, что такое термодинамическая система, что такое и как фиксируется ее состояние, каким основным постулатам должна удовлетворять описываюшая ее особенности теория. Именно эти моменты сохраняют свою ястабильность» при любых подходах к исследованию систем, включая и микроскопическую теорию, использующую все эти понятия, так сказать, в готовом виде.
2. Так как рассмотренная в этой главе теория была макроскопической, то это фактически заранее и определило ее основной недостаток: конкретизируя термодинамическую систему с помошью уравнений состояния (т. е. по ее макроскопической реакции на внешнее макроскопическое же воздействие разного типа), мы получали возможность рассчитывать любые другие макроскопические характеристики системы. Таким образом, то, что вкладывалось в теорию, и то, что получалось в виде 144 Глава 1. Аксиомолгика мокроскопическои глермодинамики результата, оказывалось по «качеству» совершенно однородным, а весь аппарат феноменологической термодинамики как бы служил установлению всех возможных связей между различными термодинамическими свойствами рассматриваемой системы (заметим в оправдание, что каждая такая связь, подтверждаемая, как правило, экспериментальными исследованиями, каждый раз подтверждала н правомерность, и непогрешимость всего термодинамического подхода в целом).
Чтобы выйти из этого замкнутого круга:макроскопичеслих идей и результатов, необходимо привлечь иные подходы. Этому служит микроскопическая теория, к рассмотрению которой мы перейдем в следующей главе (см. том 2, гл. 1). 3. Данная глава не охватывает всего круга даже макроскопических явлений, характерных для термодинамических систем. Это связано прежде всего с двумя взятыми нами на себя ограничениями: а) используемые для описания состояния системы параметры, являясь средними значениями, не флуктуируют; б) мы отказались от описания явлений, в которых присутствуют различного характера потоки.
Этот общий дефект «квазистатического» подхода будет частично преодолен в томе 3, гл. 1, 4 (там мы установим естественную связь теории термодннамической устойчивости, рассмотренной в З 6, с теорией флуктуаций, рассмотрим вытекающий из П-2 начала термодинамики вопрос о направленности процессов, происходящих в термодинамических системах, о макроскопических явлениях переноса и т.д.). В заключение сделаем краткий обзор задач и дополнительных вопросов к этой главе. Задачи з 1 посвящены довольно несложным математическим вопросам, напоминание которых (помимо восстановления в памяти чисто математического аспекта проблемы) несколько проясняет, в чем состоит постулирующий момент Ц начала термодинамики. Цикл задач $ 2 также не вполне традиционен для руководств по термодинамике: в них приведены примеры непосредственных оценок критериев кваэистатичности процессов разного типа, реально происходящих в системах типа газа.
Остальные параграфы посвящены в основном характерным представителям традиционных задач, содержание которых вполне точно отражено в названиях соответстквуюших парлгра4юв, Из внепрограммных сюжетов в них включены несколько ,несдожных и достаточно .известных задач, по технической термодинамике (цикл Ренкина и др.), газодинамике (течение идеального газа по трубам, включая рассмотрение сопла Лаваля) и термодинамике слабых растворов. В разделах, посвященных фазовым переходам, к таким необязательным задачам относятся расчет высотного ' градиента температуры в атмосфере Земли с учетом конденсации водяного пара, теорема Видома о критических индексах, рассмотрение свойств газа Ван-дер-Ваальса в области критической точки и некоторые другие задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
