Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Частный случай реализации этой программы приведен в следующей эаааче. Рассмотренные выше чисто математические проблемы небезинтересны при обсуждении основных положений термодинамики. Действительно, если мы будем рассматривать систему типа газа или жидкости с фиксированным числом частиц, то 1 начало запишется как и наличие интегрирующего множителя у этой формы не является аксиоматическим утверждением. Доказать же, что для термодииамичсской системы он может быть только функцией температуры В, можно методом, использованным в $4 в части обсуждения П начала термодинамики. гь Задача 4. Найти интегрирующий множитель дифференциальной форим выражающей 1 начало, если в качестве системы выбран идеальный гаэ: < дд>~ г дй"т — ) = Сулг - -2л суд = соплг> ~ — ) = О, Рьг = >>гр. дй ул дг вп Решение.
Эта эааача является математическим упражнением к материалу, рассмотренному в предыдущей эаваче. Заметим сразу, что среди приведенных условий; определяющих идеальный газ, одно — (де/ду)лл — — Π— с термодинамической точки зрения является излишним: согласно $2 и 4для задания системы достаточно двух уравнений состояния ре = Р и стл соплл. 150 Зодочо и дополнцшельные вопросы Проведем выкладку, исходя из формы 6Я/!1Г. В ней будут фигурировать только нешщнтнвные величины. Имеем /дю ~ М(в, е) = ( — ) = стп = сапа!, ~дд)„ поэтому уравнение лля 1п 33 будет иметь вид (дю д1п)3 дю д1п)3 де), Р| ВВ (д В), ди д ь Отметим попутно, что из этого уравнения, в частности, следует: если та существует частное решение 33 = !3(в), такое, что д 1п 33 1 — =1 =э 33=сапа!-, в!и !/В В' и наоборот (обратное утвержденна рассмотрено в б 4), Для нашей упрощенной модельной системы уравнения, определяющие первые интеграяы, имеют внд д1п!3 В Я)„ — ~=1 =:Э С,м/3В, д!я 1/В [( ) -1- р) д!яр и ®)„1 Сз = 33и д1п и (зз) стэг и общее решение лля интегрирующего множителя 1 начала может быть найдено из уравнения Ф(33В,/3и ~го») м О, где Ф вЂ” произвольная функция своих аргументов.
Рассмотрим два частных выбора этой функции. Пусть Ф(/3В, Ди '~"е) = 33 — 1, т.е. д»» —. Тогда уравнение бЦ 1Г В 6» =~3 — = -!с»л йв+ - Ви) = 6!по'"" +о'!яе 3У В~ и определяет решение Пусть теперь Тогда в(В, и) = сит!и В + 1п и + юе. Ф(д'В,/3'и и™) = р»и и'㻠— !, т.е. ф = и'Лт». 1с 1 — Вз' = е""' ВВ Ч-  — ""' ' Ви = б(зе"""), сгп сил и мы получим ю (д и) = сипвип™ + ве. Не надо смущаться, что мы получили вроде бы разные результаты. Во-первых, ю и в' выражаются друг через друпм (ю — ве) г в' — вз 3 =стпехр — +вз, ю=с»п1п +зз, стл с»п и, приравнивая з н ю' константе, мы получим одно и то же семейство адиабат.
Во-вторых, д' = 33 — = Д (ехр ~ — ~ + — ), что полностью Согласуется с замечанием, сделанным в конце предыдущей задачи. Кроме этих двух существует, конечно, бесконечно много других решений. г> 152 Зодачо и дополннгпельные вопросы т.е. мы имеем в этом случае одно обыкновенное дифференциальное уравнение с двумя искомыми функцияин. Произвол в этой ситуации для выбора решения оказывается очень большим. Положим, например, х = р(и, у), где ю — произвольная функция своих аргументов.
Тогда получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно оставшейся неизвестной у = у(*); Р(к,у,ы(к,у))+К(а,у,ю(я,у)) — ' — +10(х,у,ю(я,у))+К(шу,ю(з,у)) ' ] — =О, б~(я,у) Г Ри(*,у))йу дя общее решение которого имеет вид у = у(э, С 1 р). Еше раз, подчеркнем, что это решение определяется одной произвольной функцией х = Р(х, у), т.е. произвольной поверхностью в пространстве (я,у,з), и одной константой, выбирающей одну кривую из семейства у = у(з, С 1 ю) на этой произвольной поверхности.
Если использовать и далее эту геометрическую интерпретацию решения уравнения (П), то мы получим, что в случае б) произвол в выборе решения настолько велик, что любые две точки А~ и Ат (рис. 68) могут быть соединены этим решением, в то время как в случае а), когда функции Р, О и К подчинены условию (П') и дифференциальная форма (П) имеет интегрирующий множитель, решения уравнения (П) образуют непересекающие поверхности Ф(л,у,з) = С (на рисунке их изображено только две), причем вблизи каждой точки Ан принадлежащей решению Ф(з,у,л) = С~ можно найти бесконечное число точек Аы не принаалежаших этому решению (т. е. лежащих на поверхности Ф(з, у, з) = Сю где Сз Ф С~ ).
Таким образом, мы приходим к выводу, что принцип адиабатической недостижимости Каратеодори (см. б 4, обсуждение П начала), эквивалентный, как мы только что видели на примере трех переРис. 68. Геометрическая интерпретация менных (для большего числа переменных все еще решений уравнения Пфаффв в случаях, сложнее, но общий вывод тот же), требованию сукогда форма (П) ииеет интегрирующий шествования у дифференциальной формы Пфаффа ииожитель н когда не имеет его интегрирующего множителя )у(Р Из + Я Ау + Л дз ) = ИФ по отношению к дифференциальному выражению 1 начала термодинамики в общем случае, когда число термодинамических переменных может быть любым, является аксиомой, выбирающей возможность а) (частный случай двух переменных, рассмотренный в предыдущей задаче, является приятным исключением).
5 2. Оценки времен реиаксации Задача б. Оценить время установления равновесных значении давления р, равновесных концентраций компонент в снеси газов типа воздуха и; и температуры, если гвз находится при нормальных условиях в сосуде объемом З л. Решение. Процессы релаксации в системе должны описываться, естественно, временными уравнениями, включающими указанные выше характеристики. Если подходить к этой проблеме феноменологически, то необходимо рассматривать уравнения типа уравнений гидродинамики неидеальной жидкости смешанного состава, Это очень сложно, да и вряд ля целесообразно, так как лабас математически корректное решение этих уравнений даст заранее известный ответ: время полного выравнивания всех характеристик бесконечно. Эффективную же физическую опенку можно сделать н не решая этих уравнений. Я 2.
Оценки времен релаксации !53 Начнем с процесса установления давления. Основной физический механизм вырав- нивания давления — волна плотности шза, порожденная первоначальным возмущением, т.е. основным из упомянутых выше уравнений, описывающих этот процесс, является урав- нение гиперболического типа (для простоты — одномерное) др здр — =о —, д!2 дх2 2 которое в безграничной среде имеет решение типа распространяющихся волн р(х,!) = /~(х+сг)+/2(х-с$).
Поэтому масштаб времени релаксации давления — это время, за которое эта волна проходит путь Б (т. е. от стенки до стенки), т. е. Ь 1 с Так как в газе типа воздуха скорость звука с ш 300 м/с = 3 10 см/с, размер сосуда согласно условию Ь ш 10 см, то время установления давления оказывается порядка т 3.
10 ' с. Выравнивание концентраций компонент смеси пюов — это уже в основном процесс диффузионного типа, описываемый в простейшем случае уравнением параболического ти- па (для простоты одномернмм) дп дзп — = Р—. д! дх В безграничной среде это уравнение (если возмущение в момент 2= 0 имело вид п(0 х) = б(х)) имеет простое решение типа расплывающегося гауссовского распределения 2/4хР! ( 4Р1) ' откуда средний квадрат размера облака частиц, создающих возмущение однородной системы, хз = / х п(1, х) г(х»«2РЕ Если же система ограничена стенками, то размер «кляксы» 2/х2 достигает величины Ъ по прошествии времени 62 т„ 2Р В трехмерном слуцае вследствие Р = х2 + уз+ 22 = 3хз будем иметь »«2 6Р Коэффициенты диффузии Р таких «обиходных» и привычных для нас швов, как 02, Х2, СО2 и т.
п. по табличным данным составляют величины Р 0,14-0,2 см'/с, поэтому при Ь 10 см 100 т„— ш 100 с. 6 0,2 Выравнивание температуры а связано с исследованием такого же уравнения параболического типа, но в нем вместо коэффициента Р стоит коэффициент температур оп ров од ноети К, который равен коэффициенту теплопроводности, деленному на произведение плотности газа на его удельную теплоемкость. Для газа типа воздуха эта величина оказывается порядка К 0,2 смз/с (совпадение порядка этой величины с коэффициентом Р чисто случайное), гак что ««2 т» — ш 100 с.
6К рассмотренный выше простой пример оценки времени релаксации позволяет сделать ч некоторые общие выводы. Во-первых, оценка времени т, являющегося существенной величиной при опреде.ении квазистатичности термодинамического процесса (см. 63), производится методами, тыходящими за рамки квазнстатической термодинамики (как всегда, критерии какого-либо ~риближения должны определяться в рамках более общего рассмотрения). !55 б 3.
Рабошо в квозисгпотической гпермодиномоке имеет обшее решение Р~(т, я) = /1 (я — сс) + /т(з + с!), где Д и /т — произвольные функции, а кваарат скорости звука В задаче 1б мы покажем, что !т- — /! = — — т~ — /!, и если тепеРь аппРаксимнРовать дс/, ст ~де/т' 5 3. Работа в квазистатической термодинамике Задача 8. Написать формулу для работы 6К' пространственно неоднородного газа при его квазистатическом расширении и рассчитать работу /ь$Г идеального газа, находящегося в вертикальном цилиндрическом сосуде в поле У = гпл», по поднятию поршня с высоты /т! до йз в случае, если этот процесс является изотермическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
