Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Исследовать возиожность непрерывного перехода дозвукового течения газа в сверхзвуковое при его течении по неадиабатическоиу цилиндрическому (гзЯ/г(и = 0) каналу. Решение. Полагая для простоты х = сопи и тг = О, имеем в качестве исходного соотношения (см. задачу 37) в — сзгзв ! ИЕЬ 7- ! Ид 7 ы ал пг гзе гл йв 189 5 9. Беззнтролидлые методы в лшрмодиномике Если труба адиабатическая, т. е. 9 = О, то в силу Ид, /оя > О будем иметь ы~ — с Иы 1 ад, — — ' = -7 — — » < О; ы ая гл Кл т, е, дозвуковое (ю < с) течение газа ло трубке с тре1гш<с 1 ге = с 1 ът > с нием сопровождаегся его разгоном, Ию/Ил > О (при м > с гвз замедляется, аы/ггя < О).
Однако при в - с величина аы/ак — оо, что в реальной ситуации приводит к разрушению ламинарного потока, и достижение скорости звука в трубе при 9 = О неосуществимо. дд>0 бе=Оде<0 В случае д вь О можно условно объединить аба слагаемых: Рис. 96. Схема теплового сопла 1гг9»» 7 1'И 7 11Ф дяя разгона газа 7— до сверхзвукового течения т ггл гл Вл гл ткв В этом случае вновь открывается возможность для непрерывного перехода скорости течения ю через скорость звука, но не за счет изменения сечения, как в сопле Лаваля, а за счет вариации вдоль цилиндрической трубы подачи тепла (так назмваемае тепловое сопла; рис.
9б). В общем случае уравнение, полученное лля юы/~ы в задаче 33, допускает различные (включая и комбинированные) варианты такого перехода. 1» 5 9. Беээнтронийные методы в термодинамике Задача 39. С помощью теоремы Карно (см. З 4, обсуждение 11 начала термодинамики) получить для газа формулу (в), связывающую величину (де/дУ)в с уравнением состояния р = р(В, У) (число частиц )т всюду фиксировано). Решение. В качестве исходных соотношений имеем 1 начало термодинамики в форме (1') при дг = солж: Вс) =с,ВВ- ~( — ) +р|к и теорему Карно, выражавшую КПД никла из двух нзцгррм,В~ и,рг (В» > Вг) и цеукрдикбатг,,нн 'ч1 Ю2( ~~~ В! В2 г1 д, =О,= В, Рассмотрим бесконечно узкий цикл Карно, такой, что В, — Вз = ИВ (рис.
97). Ограничиваясь точностью до величин второго порядка по ВВ, можно не уточнять детали»акивбатическоиз» замыкания на уровнях У = И и У = Уз изатерм В и  — ае. заменив ега просто замыканием ло вертикалям И и Уг. Тепловой эффект изотермическога расширения К- Уг равен Уз У' Рис. 97. бесконечно'узкий цикл ' Карно нв р — У-ливграние (ВЧ),= ~(~ — ) +р~ ВУ =а (ЛС)),= ~~( — ) +р~а', работа, совершаемая швом лри этом расширении, тз (г Ьте)г = / Р(В~ У) ВК и а работа бесконечно узкого цикла Кориа (т. е.
плошадь закрашенного на рис. 97 участке) с точностью до членов порядка аВ' будет равна вариации по температуре от этого выражения: Задачи и дололнцшельные вопросы И (б(бтиг)г]и, — ( (' ' атг) бй. и В соответствии с теоремой Карно бб (б(ЬИ')г)м,г, (~1~)г откуда следует, что при любых значениях т; и тгз. Дифференцируя по верхнему пределу и полагая багз — — г', получаем искомую формулу (е) Задача 40. С помощью теоремы Карно и 1 начала термодинамики получить выра- жение для изменения внутренней энергии единицы объема изотропного диэлектрика, связанного с включением электростатического поля Е.
г(р Г Рис. 99. Изатериы равновесного излучения на плоскости р — ь' Рнс. 98. Изотерны нзатралнога диэлектрика Решение. На рнс. 98 изображены две близкие изотермы В и В- гГВ. В качестве величин а и А (см. задачу 10) выбраны 22/4к и -Е. Замыкание этих изотерм на уровне ьг/4к адиабатой заменим, внося ошибку ьторою порядка по АВ, вертикальной линией. Для работы системм и теплового эффекта изотермического включения паля а имеем 12з Эз 1згге = - ~- — ) Е = - —, ЬЯ = изб+ Гзи = Ы вЂ” —, 2 ~ 4л) 8лг 8хг' работа цикла Карно с точностью до членов гтбз 22~ бе (ббгИ8)р — — — — бВ 8лез бб — плошадь закрашенного уюлочка. Согласно теореме Карно бб (ббьИв)а бо= — = В гзе — )уз/8пе' откуда следует результат (см.
залачу 23) бзз / В бе~ лг = г(в,)2) — г(в,о) = — ~1.ь — — ~. 8ве ~ АВ)' 191 99. Беззлтролидные методы я лгермодиномике Задача 41. Для равновесного электромагнитного излучения (см. З 5, п. д)) получить с помощью теоремы Карно и 1 начала термодинамики закон Стефана †Больцма. Решение. Так как лля равновесного излучения давление р равно трети плотности его энергии: ! р= -и(В), то изотермы на р- Р-диаграмме (рис.
99) имеют вущ горизонтальных прямых. Имеем, сохра- няя обозначения, принятые в задаче 38, ! Ви 4 (бх3Игв)еу = -Ь3г — гГВ, г3г3г = Ьбв+ бг$рв ш -иЬР 3 ВВ 3 ! Р в!' 3 Теорема Карно ВВ (бх33рв)лу ""= В = быЗ, после сокращения на Ь3г и ггВ сразу дает ди ВВ 4 — =4 — =е и =ггВ и  — закон'Стефана-Больимана (см.
05, п.д)). Задача 42. Получить уравнение Гиббса †Гельмголь для ЗДС гальванического элемента (см. З 5, п.е)), исходя из теоремы Карно и 1 начала термодинамики. Решение. Рассмотрим работу гальванического элемента в условиях р = сопи. Положим а = е — протекший заряд, л = 6(В) — ЭДС источника. Изотермы и бесконечно узкий цикл Карно изображены на рис. !00 (изображен случай, когда Вб/ВВ < О! возможен и противоположный вариант; см. рис.
40). Имеем, как и в предыдущей задаче, г3!бгв = 6(В)Ье, (бЬ!Ггв)ш — — Ье ~ — ) гГВ. Удб(В)'х ~ВВУ', р(В) е (В) с„(В) Рис. 100. Бесконечно узкий цикл Карно для гальванического элемента Рис. 101. Изотермы двухфазной. системы газ — жидкость Согласно ! началу термодинамики гМ~г —— -г3г3у+ 6гзе, где бгсур — энергия, связанная с изменением химического состава системы при изобарическом протекании заряда Ье: г3гЗ = ВЬе. Подставляя написанные выражения в теорему Карно дб (юг Игу)ев В 3() (92 Задачи и дополнительные вопросы получим искомое соотношение лля ЭДС элемента„ 0=9+в( — ), которое было подробно обсуждено я $5, и.
е). Задача 43. С помощью теоремы Карно и 2 начала тармодинаиики получить урааие- иие Клапейрона — Клаузиуса (си. а б, и. г)) — дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия р = р(д) газ-жидкость (фазоаый переход 3-го рода). Решение. Дае близкие изотермы двухфазной системы изобрюкены на рис. 101. Переход :«идкость — газ вдоль нзотермы В требует затраты. энергии Это скрытая теплота испарения (а расчете ня частицу системы).
Работа системы при этом переходе Г',Ьуре = Р(В)(е„- е ), а работа цикла Карно с точностью до членоа егорого порядка по дд будет определяться закрашенной плошадью: (б!ЗЗРз),„ч = — (е„— е„) ВВ. др(в) Приравнивая а соотаетстаии с теоремой Карно это выражение аеличине Щ ед/В, получаем уравнение Клапейрона — Клаузиуса др(в) дд д(е, — ц,) Задача 44. Определить КПД пашины, работающей по циклу Карно между изотермами д, и дз, и показать, что КПД любого цикла, укладыеающегося а ннтереал температур дз < д < д!, не преаосходит КПД соответствующего цикла Карно.
Решвнне. Рассмотрим сначала, как и а $4, цикл аасйа (рис. 102), имеюший аид прямоугольника а перемен- ных  — я. Имеем дз С) =С) =В~бзд а =а = Е =Е =В!(-Ю. КПД этого цикла Карно равен Рис. 102. К оценке КПД произвольного цикла !-»2-»3-»4-»1 с),-!!2,! в,-в, в, Чс = = — =! —— в, в, Еше раз отметим: величина Пс ие зависит от свойств системы, а определастся только температурами нагревателя В, и холодильника Вг. На примерах, рассмотренных я цикле задач 39-43 (который можно было и продолжить), мы показали, что задачи термодинамики можно решать н не испояьзуя понятий энтропии, химического потенциала и т, д„оперируя только с непосредственно измеряемыми макроскопическими величинами. Это последнее обстоятельстао,делает, эти варианты решения очень наглядными, что а какой-то степени компенсирует их искусстаенноать, саазанную а пераую -»а очередь с необходимостью отыскать подходящий цикл Карно и т.д., а также ошушение «старинности» а самом стиле их изложения.
!» р! О. Энглропия смешения Рассмотрша теперь произвольный цикл, укладываюшнйса между юотермами В, и Вэ. В течение процесса 1- 2- 3 система получает некоторое количество тепла ф. Оценим его сверку, учитывая, что вдоль этого процесса В < В,: д, = /'ВВВ<В, /'ВВ=В,гЬВ. оэ оэ В течение процесса 3-~4-~1, замыкающего цикл, на каждом участке бО < О, и система отдает тепло (Ог!. ЗамечМ, что вдоль 3- 4- 1 температура В ) Вы можем оценить величину отдаваемого тепла снизу: !С),! = ~ В ВВ > В, ~ ВВ = ВэЬВ.
мз нз Как следствие этих неравенств имеем (Чг! Вг — Э вЂ” 1 4), -В,' что позволяет оценить КПД цикла 1-~2- 3-~4- ! сверху (4)2! 82 г1= 1- — < 1 — = гтс. Р~ В~ Полученное неравенство (принадлежащее также Карно) позволяет оценить максимальную величину КПД установки, совершенно не вдаваясь в детали ее устройства, в особенности тех процессов, которые в ней происходят, и характеристики рабочего тела (от простой системы типа газа до систем со сложными химическими нли ядерными превращениями). Кроме того, полученная оценка еще раз указывает на принципиальную роль процессов отдачи тепла, только на первый взгляд представляющимися непроизводительнымн потерями, так как, сколь велика не была бы теплотворная способность используемого топлива (сколь велико не было бы ф, получаемое от нагревателя), невозможно достичь удовлепюрительнаго значения КПД, пока не будет обеспечен достаточно эффективный отвод тепла, необходммый ллл достижения возможно более низкой температуры Вг.
Этот вопрос перерастает в целую техническую проблему для систем, для которых окружающая среда по каким-либо причинам не выполняет роли естественного холодильника, и нерюпгмное сжигание топлива может привести к повышению температуры всей системы, т.е. к Рвоту Вг Н евяэанноыу с этим резким падением КПД (т. е. топливо начнет сжигатьсл впустую). гь 510. Энтропия смешения Звдлчв 45.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
