Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Поскольку ВФ, представленные в виде (13.11), обладают правиль- ной симметрией, гамильтониан Н также удобно представить через операторы, действуюшие в пространстве чисел заполнения. В дальнейшем для краткости будем обозначать через А произве- дение операторов рождения, подобное записанному в (! 3.11). Оче- видно, что с.А/О) = О, Тонсдеснтенные настины 229 если в А сопутствует сс.~; с,( с,А!О) = А!О), если в А есть оператор г:,+, Детерминантную ВФ (13.3) можно преобразить на основании известной теоремы Лапласа. Пусть в детерминанте Р порядка Аь произвольно выбраны й строк (или й столбцов).
Тогда сумма про- изведений всех миноров й-го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна детер- минанту. Итак, можно записать ф = ' ~ ( 1)"+н("!3,(1„)ЛТ', где и (а) — номер столбца, соответствующего состоянию а, а минор ЛХ' получен из детерминанта путем вычеркивания строки й и столбца и,(а).
В дальнейшем для краткости набор координат (1ь будем обозначать просто индексом й. Аналогично ф = '~ ~ ( 1)(+"+"( (+н(ь! 3*(') 2ь(') М", (13,14) л~. ~ 3.(й) )ь(й) (13. ! 6) Ь= '„, У;З (-1((*"'((.Н((,(0( —,,(;Н.(Ь((~,З(П> = ь н(ь!<н(ь) 2 Е(-1(' '(.('(1.(йинь(й ОЗ~й .~(р - ( При переходе к последней строке в (13. !8) мы опустили условие п(а) < п(Ь) в суммировании, воспользовавшись антикоммутативно- стью с., сы Минор Л1 и получен из детерминанта путем вычеркивания строк г, й (1 < й) и столбцов и,(а), п((з) (и(а) < п(г()).
Легко убедиться,что с,А!О) =- — ЛХ'. '7ж . !)! Дà — 2) ! Формулы (3.13) можно записать в смешанных представлениях: Ф = ,') ( — 1)~ н'3.(й)с,А/О), (13.!7) 230 1"лава 13 Используя смешанные представления, найдем вид ог)ератора Н. Учитывая формулы 1)ь),.(й) = ~ (Ь~й~а)3 (Й), (13. 19) Уяз,(г)) (й) = ~) (ф1 !аь)3 ()))а(й), получим НФ = ~) (Ь!6~а) ~ ( — 1)я~~~я(й)с„А~О) + ~'(,~г(.~) ~(-1)'").(с;,(й);..зр). (чл) Перейдем теперь от смешанного представления к представлению вторичного квантования.
Преобразование одночастичной части га- мильтониана проводится с учетом формулы ( — 1)~3,(1))с,А~О) = с,' с,А(0), (13.21) Н = 2 ~~ (Ь()))а)с„с,. ь (13.22) Рассмотрим теперь второй член в (13.20): у'(р(Г( к) ~(-1)о ь) (;)),(й)~г.т(О) = ~(~ — ') — ~ ((МГ( г)~ (-1Г '),(()),(Ь) .,З(О) + ):заь ((ь + (с)0(Ъ')Ьа) ) ( — 1)'~~)„(1)3,(й)сьс,А(0)). (13.23) Учитывая равенство (9о)1'~аЬ) = ((зд)Ъ"(Ьа), (13.24) непосредственноследуюшейиз(13.13) и(13.15).Влевойчасти(13.21) стоит разложение детерминанта по первому столбцу, содержащему функции зь(й)( 231 Тождестеенггые наентны преобразуем правую часть формулы (13.23) следуюшим образолс гкй х (3,(г)3„(й) — 5„(г)3,(й))с,с,А/0).
(13.25) Здесь мы учли антиколгмугагивность операгоров с„, сь. Из формул (13.14) и (13.16) следует равенство геь = Сьсаьсьс„А~О). (13.26) Выражение, стояшее в левой части формулы (13.26), представляет со- бой разложение детерминанта по первому и второму столбцам. Итак, гамильтониан системы тождественных фермионов в представлении вторичного квантования имеет вид Н = ~(1г~б~а)сь с, + — ~ ссс~'(Ос1~)г'~а1г)сьс„. (13.27) Ьа б.
Рассмотрим теперь представление вторичного квантования для системы тождественных бозонов. Определим операторы а~, аяг действие которых на функции чисел заполнения определяется правилами (13.28) оь/Агпь,В) =,/йь!А,пг, — 1,В), а~~ ~ Аг пчь В) = 4пь + 1 /А. пи + 1, В) . Из правил (13.28) следуют коммутационные соотношения аяа, — агав = Ог а'а,+ — аг а,' =О, ннаг, -- ая и; = — ~ы (13.29) гтг = ~пг, Л,2,..., и„...) . (13.30) Операторы аь, а," с коммутационными соотношениями (! 3.29) называются бозе-онерагноргггга ггггичгггожеггня и рождеггия соответственно. Овойства таких операторов при г = и рассматривались в задачах к гл. 1.
Волновой функции (13.1) сопоставим функцию от чисел заполнения и будем рассматривать числа заполнения как независимые переменные 232 Глиии 13 В смешанном представлении Ф имеет вид а = 2, г2г.11Ж ~.„....,., — гг. ) = га:1 уг(Ч ) аг~г11 гь2 - ° гг1гг...). (13.31) =-Е ,/У г=1 Легко показать, что Уг(12а) гг (п1)(п2) ° (па' 1) = пг' ~г (П1)(П2)... (пг), а=а1 (13.32) где суммирование ведется по всем упорядоченным разбиениям. Из формулы (13.32) следует соотношение Лг :Уг(ггга)г™1г П2г г Пг ,г"У * а=1 =- ~п, )п1, п2г го„, ) =. й~~п1,пз,...,11, — 1,...). (1333) Используя формулы (13.19) и (13.31), получим 2 ~ — ' — 5 (1т~('~г'г;)й,+й~,й;йя~п,п п2,...). Ьги1г Н в представлении вторичного кван- Таким образом, гамильтониан тования имеет вид Н=~( ) ~ )й,' .
+ — ~~1 (92(ЦаЬ)й„а аьа,. 2 лу НФ = 2 ~ ~(й(И(1') ) Уь(ц.) (п1, п2,...) + Ь г . — 1 лу л а 1 2,гг ~ Игаг 2 , 2 , г (г Ь 1а 1 ' а а ~ а . " 1. 1гагя ь —.1 -.— 1 (13.34) При помощи соотношения (13.33) совершим переход от смешанного представления к представлению, в котором переменными являются только числа заполнения. В результате этого перехода получим Й~П1г П2г...) = ~(й(6)1)йьЬй;,/П1, Пз,...) + Тонсдественные наст>>>>ы 233 Это выражение формально совпадает с (13.27), отличаясь заменой ферми-операторов на бозе-операторы.
Отыскание собственных значений гамильтониана системы взаимодействующих тождественных частиц представляет сложную задачу, решение которой требует либо рассмотрения специальных простых моделей, либо использования приблиягенных методов. 7. Развитый выше формализм можно представить в несколько ином виде.
Используя явный вид функций у, (г7), введем операторы у(Ч) = ~,угй)Ьп г ус (д) = ~ у,*( 1) Ь,+. (13.35) у+(7о)~0) = ~у;(Чо)уг(7) = 4Ч вЂ” 1о), так как использованная система функций у,(д) полна. Правила перестановки операторов у,, угг следукп непосредственно из определения (! 3.35) и перестановочных соотношений для операторов 6;: у(х)у (>1) ~ у г (г>)у(х) = с>(х — гг). (13,36) Верхний знак (плюс) — для фермионов, нижний знак (минус) — для бозонов. Операторы у позволяют представить гамильтониан системы тождественных частиц с парным взаимодействием в виде Н = у (х)6у(х) с(х+ — у с(х)у+(>1)$'(х„г>)у(й)у(х) с(хс(г>. (13.37) Аналогия между формулами (13.35), представляюшими разложение операторов у по операторам Ь;, и формулой у(х) = ~> 3,(х)а, для разложения произвольной функции по полной ортонормирован- ной системе функций и послужила одной из причин, по которой описанный метод был назван методом вторичноп> квантования.
Здесь Ьг„Ь;г суть операторы й, или с,. Оператор у+(до) увеличивает полное число частиц в системе на единицу, рождая частицу в состо- янии г7 = г7в. В самом деле, оператор Ьг создает частицу в состоянии у;(г>). Поэтому у ' (г7в) создает частицу с ВФ 234 Глава!3 8. Рассмотрим кристаллическую решетку, узлы которой определяются вектором с)„= и1 а1 + озаг + из аз. Здесь а; — базисные векторы решетки, а о = ~п~., пз, пз] — тройка целых чисел.
Пусть в узлах решетки расположены атомы„каждый из которых имеет один валентный электрон. Пусть координатные ВФ валентного электрона для изолированного атома суть у (г — с)„). Эти функции можно приближенно считать ортогональными: (у (г — с)„) ]у (г — с) ) ) = и„ Пренебрежем возможностью электрона переходить от одного узла к другому. Рассмотрим„как зависит энергия системы от спинового состояния всех валентных электронов. Выберем функции у(г — с1 ) в качестве базиса. Гамильтоннан системы валентных электронов в представлении вторичного квантования имеет вид Й = — ~) (Ь]6]а)сь~ с„+ — ~~ (фЪ']аЬ)~'г с ~ сьс,.
(13.38) ы явь Здесь и — оператор энергии валентного электрона в потенциальном поле всех атомов, а г' — энергия электростатического взаимодействия валентных электронов. Преобразуем гамнльтониан (13.38) к такому виду, чтобы объектом действия Н являлись функции от спиновых переменных всех валентных электронов. Каждый из индексов а, Ь, 3, с1есть совокупность чисел 1оь оз, пз, а], указываюшая номер узла и спиновое состояние электрона в этом узле. Рассмотрим первый член суммы. При а = 1о, +1/2] и Ь = 1п,— — 1,12] матричный элемент между этими состояниями равен нулю.
Поскольку каждый атом содержит только один валентный электрон, то случай а = [и, а], Ь = ~п', а'] не реализуется. Поэтому в первом члене можно поломсить с,'с, 1. Матричный элемент (у~Щаь) отличен от нуля тогда, когда пары состояний (у, а) и (сс Ь) обладают одинаковыми значениями проекции спина. Так как каждый атом имеет один валентный электрон, то во второй сумме либо у = а = ~п, а], с1 = Ь = 1п, в ], либо а =1о,а], Ь= 1п,а], с1=1п,а], о=)п,а]. Тождественные пи«ивины 235 В первом случае спиновые состояния электронов в узлах п и и' не изменяются. Во втором случае происходит «обмен спинов» между атомами п и и'. Введем новый оператор Рпп, который производит обмен оп ннов.
Тогда в первом случае с са с„с, = с с,сп с„ = !, а во втором с сп сьев: с с»си са: Рпп~ . и - и Заметим, что если спины валентных электронов у атомов и и и' параллельны, то Рпп = Т. Введем обменный интеграл т (Ч вЂ” Ч ') = э!Ч ' Ч ) = у*(г1 — Чп)у*(гз — Ч„)Ъ'у(г! — Ч„)у(гя — Чи) с1г1йз. Зависимость,1 от !ׄ— с1„.) следует из трансляционной симметрии. Таким образом, оператор Н может быть представлен в виде т(Чи Чп')~ пи' пфп' или* Н = Ев — — ,'~ 7(Чп — Чп~)(Рпп — 1) (13.39) ифп' Ф= ~) А,Ф,. 1 (13.40) Подставляя функцию !13.40) в (13З9), получаем — — ~~', "(Чп — Чи~ИРпп — !) ,'~ АхФа = (Н вЂ” Нв) ~~~ АФг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
