Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Классическая функция Лагранжа в поле, заданном скалярным потенциалом 1 и векторным потенциалом А, имеет вид 212 Гшка 72 Пусть векторный потенциал А не зависит от времени 1электрическос поле отсутствует). Гамильтониан 1!2.1) имеет вид квадрата эрмитового оператора. Поэтому, в силу результата задачи 1.15, все его собственные значения неотрнцательны. В реальных случаях на больших расстояниях от источников магнитное поле Н стремится к нулю. Поэтому потенциал А мы также можем выбразь обращающимся в нуль на бесконечности. Поскольку в этом случае Й вЂ” 1 1 (г — 1 со), 2гп то волновая функция для состояний с положительными значениями энергии не будет убывать. Итак, в реальном магнитном поле оператор гт' не имеет дискретного спектра и движение частицы инфиннтно.
Следовательно, если область, в которой имеется магнитное поле, не ограничена стенками, то вместо стационарных сосгояний мы должны говорить о квазистационарных состояниях. В практических ситуациях, однако, времена жизни таких состояний оказываются весьма большими 1см. задачу 12.7). 2.
Рассмотрим идеализированный случай движения частицы в однородном поле. В классической механике движение частицы в области, где поле однородно,не чувствительно к свойствам поля вне этой обдасти. Очевидно, в квантовой механике это не так: в любом реальном поле плотность вероятности ~у~г не обращается в нуль тождественно ни в какой области пространства. Поэтому даже в идеализированной постановке задачи мы должны косвенно учесть правильныс граничные условия, выбрав систему координат в соответствии с симметрией реального магнитного поля. Пусть магнитное поле имеет аксиальную симметрию и линейные размеры области, в которой поле однородно, велики по сравнению с характерной длиной Ь = (сб/еМ ) В этом случае воспользуемся цилиндрической системой координат. Векторный потенциал выберем в виде А,=-' — г А =-А,=О.
.зг' 2 УШ в цилиндрических координатах имеет вид Ьг Гд"у+дгу+1ду+ 1дгу1 . ед ду+е"ЭГ'~ г гпту ~ д-г дгг т дт г'-' дгг ( гшс дг чтя? Разделяя переменные, ищем решение в форме у (т, з, з) = Л(г) е' -'е' (12 2) 213 7«гогнгш«нос поле Обозначим через 9 и 1«величины еЭГ' 2тЕ (12.3) 2сй Ле Уравнение для радиальной части ВФ имеет, с учетом этих обозначений, вид Лн + 1Л' + («э — ~гз — 2 — гпз г ") Л = О. с о Введем новую независимую переменную х = 9т". Тогда уравнение (! 2.4) перепишется в виде г '« Л +Л+ 1 к ™~Л=О, (12,5) где гп 1 = — — —.
4д 2 Легко найти асимптотики функции Л(х): х«оо: Л е 'У, х — «О: Л х (12.6) ЬЕ=йи =бе тс Выделяя асимптотнки, ищем решение уравнения (12.5) в виде Л(х) = е 7~Ытн~н«(х) . (12.7) Функция ш(х) находится из уравнения хн«+ (1 + ~т~ — х) ш -г ( 1 — ) ш = О. иl р «' /т/ -Г 1'\ 2 решение которого представляет вырожденную гипергеометрическую функцию Г(а, э: е): п«=Р~ — (1 — "' ), !т!+1, х~. (128) Для того чтобы ВФ Л(х) обрашалась в нуль при х -«оо, первый из аргументов гипергеометрической функции должен быть целым неположительным числом: ~т~+ 1 (12.9) 2 Учитывая уравнения (12.3), (12.6), (12.9), получим окончательное выражение для энергетического спектра: тс ~ 2 2 2 2т Таким образом, при заданном й спектр заряженной частицы в однородном магнитном поле оказывается эквидистантным с расстояниями между уровнями 214 Гдово 72 Дискретныс уровни, соответствующие движению в плоскости, перпендикулярной полю, называютсяуроанлмиЛане)ау.
Найденная выше ВФ, определяемая формулами (12.2), (12.7) и (12.8), пригодна для описания стационарных состояний частицы, движение которой ограничено цилиндрической поверхностью радиуса Л, большого по сравнению с характерно длиной ь. Если движение вдоль оси л свободное, то й может принимать любые значения и спектр непрерывен в области Е) —, 2 Спектр становится дискретным, если движение по оси а финитно.
В частности, при наличии стенок, перпендикулярных оси з, возможные значения Й определяются условием йе = ~п (и = 1, 2, 3, ...) . 3. Рассмотрим магнитное поле, однородное и направленное вдоль оси з, в прямоугольном потенциальном ящике с размерами 2 „Ью Ле. Найдем ВФ заряженной частицы и ее энергетический спектр в такой системе.
Выберем векгорный потенциал в виде А,=О, Ая=~жх, А.-=О. (12.11) Гамильтониан имеет вид Х=- — (р +р„+р,)+ — "и х +хор,, 2т где использовано введенное ранее обозначение еЗМ' епе Разделяя переменные, ищем ВФ в виде у = с (х) схр ~ — (р., у + рея'~~ ~а Для компоненты с (и) получаем уравнение — — со+ — и (ж+ ") с — (Š— — "= ) с. Это уравнение совпадает с УШ для гармонического осциллятора. Используя результат, полученный в п.
3, находим выражение для спектра е=й ( +-)+ —" 2 2т и для волновой функции у = схр ~- (р у+ роз) — ' ' (т + жа) 1 Մ— ' (ж+ ао) (г )е М' 21 ( /с ГЕ' (!2.12) Магггггигное иоле 2!5 где с»г„ хо = —, еМ' Учет граничных условий на стенках ящика приводит к тому, что ро и р, могут принимать только дискретное множество значений Отсюда следуют гамильтоновы уравнения движения: х = — (ре — — г»г у), ре = -- (рн + †.Ж'х), ! з = — р= р, =О. гп Решение уравнений для х и у имеет вид х = т сов (»»1 — 3 ) + хо д = т а)п (ге1 — 5 ) + уо (12.14) (12.15) р, = й.й.и, (и, = 1, '2, 3, ...) .
Е, Влиянием стенок на компоненту волновой функции х(х) можно пренебречь, если одновременно выполняются условия 2'е ~) и г 2'е )) хо. Отметим, что вил ВФ не инвариантен относительно перемсны х с-» у, хотя в исходной постановке направления х и у равноправны. Причина этого, очевидно, связана с выбором векторного потенциала А в виде (12.11). 4.
В классической механике проекция траекторий заряда в магнитном поле на плоскость, перпендикулярную полю, есть окружность. В квантовой механике плотность вероятности в плоскости, перпендикулярной полю, может вообгцс не обладать аксиальной симметрией (12.12). Причина этого заключается в вырождении состояний заряженной частицы в магнитном поле с заданной энергией. В классической механике этому вырождению соответствует неопределенное положение оси симметрии траектории в плоскости ху. Рассмотрим классически движение заряда в ма~нитном поле с векторным потенциалом А, = -г»ту, Ао — — — -М'х, А, = О.
(12.13) Классическая функция Гамильтона имеет вид 216 Глиеп72 где хо и уо — координаты центра окружности. Используя уравнения (12.14), можно выразить координаты центра то, уо через канонически сопряженные величины (х. р„у, рк). Вычисляя, получим Уо = — + — '; 2 )пю' х Рк хо = — — — ' 2 шм Перейдем к квантовой механике, сопоставляя классическим величи- нам зрмитовы операторы х 1 хо = — — — р, ю 2 шю Уо = -+ — р." 2 тпи Из формул (12.16) следует, что координаты центра окружности не коммутирунп и не могут быть определены одновременно: [хо Уо! = —— тк Используя решение (12.15) для классических уравнений движения, можно найти вид операторов х, у в гайзенберговском представлении (ель п.
2.7). Представил1 рен1ение (12.15) в виде х(1) = Асоаи1 — Вз)пи1+ хо, (12.17) у(6) = Агйп М+ Всови1+ уо, где А и  — — операторы, не зависящие от времени. Положив в урав- нениях (12.17) Е = 0 и потребовав, чтобы х (0) = х, у (0) = у, определим выражение для операторов А, В. Окончательно получим х(1) = ( — "~ +-*) созк1+ ( — ' — -") в)пи1+ ( — "'), у(1) = ( —" + — *) в1пие+ ( — ' — — "' ) соаи1+ ~ — "' + — ") .
(12.18) Таким образом, операторы в гайзенберговском представлении зави- сят от времени периодически. Это означает, что у любого волнового пакета, который при 1 = 0 может быть описан функцией вида Ф (х, у, з) = 1 (х, у) у (г), поперечная часть 5 (т,, у) примет первоначальнукз форму через время 2о совпадакнцес с периодом классического движения заряда в магнит- ном поле.
ЛЫеггггпгное поле 217 При учете спина энергетический спектр имеет вид Н =й (»+И+ — ги о.эд'. (!2.19) 2/ 2т Рассмотрим случай зависящего от времени поля. Нестационарное уравнение Паули имеет вид гй— д дг У2 =- Н кго ггв Ж) У2 У2 (12.20) где Н, — гамнльтониан заряженной частицы без спина ! ! 2.1). Пред- ставим волновую функцию в виде произведсния двух зависящих от времени частей: Уг гг 1) вг1г) У2 ' я2 (г) (12.21) где функция з является решением уравнения ..д И вЂ” ' = Н,з'. 'дг Подставляя (12.21) в уравнение (12.20), для спиновой функции получим уравнение движения (12.22) Если магнитное поле однородно, то его можно задать компонентой М'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
