Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Здесь Г(я) есть гамма-функция Эйлера. Сохраняя члены до г) включительно (члены высших порядков не дадут в пределе т — 1 ос вклада в ток 7'„), получим )лови 9 174 Тогда ВФ задачи рассеяния примет вид у(г,с1)=А' 1 Р~ ) х Г(1 се 7й) (се ргй 4- — 1 й (1 — г)] Г 1йгг(1 — совсД) й ехр (р/2й) ехр (гйг — (г7й) 1в йг(1 — сов сД) Г(1 — 1/й) йгг(1 — соьсД Нормировочную постоянную А определим, потребовав, чтобы коэффициент при падающей плоской волне был равен единице.
Тогда А = ехр ( — — ) Г (1+ -') . Используя (9.88)„(9.89) и определение амплитуды рассеяния, получим ,гс'(с1) = г . г ех1) (-- — 1пзщ-) . (9.90) 1 / 2г . ч'с Г(1 й 1/й) 2й Мо (сйс2) й 2 Г(1 — г/й) Выражение для дифференциального сечения рассеяния в обычных переменных имеет вид 2 сХ 2Рг гг 2 (9.91) Выбранные в уравнениях (9.84), (9.85) знаки соответствуют потенциалу отталкивания. В случае притяжения величина (9.90) заменяется комплексно-сопряженнной, а выражение для сечения (9.91) остается неизменным. Наличие члена - г ~ в амплитуде падающей волны н логарифмических членов в фазах связано с медленным убыванием кулоновского поля. Однако эти члены в пределе г э ос не дают вклада в радиальную компоненту потока вероятности. 17.
Выражение (9.91) для дифференциального сечения рассеяния в кулоновском поле совпадает с форикгой Рвзв7мгордо, полученной из классической механики. Это уникальное совпадение в значительной степени ускорило возникновение квантовой механики. Ни в старой квантовой теории Бора, ни в матричном расчете Паули, ни в работе Шредингера при вычислении спектра атома водорода не подвергалось сомнению, что потенциал взаимодействия электрона и протона является чисто кулоновским. Однако основным доводом в пользу кулоновского потенциала являлось прекрасное согласие данных по рассеянию а-частиц на ядрах с результатом классического расчета. Другие потенциалы, в которых классический и квантовый подходы приводили бы к одинаковым выражениям для дифференциальных сечений, не известны. Рисселние 175 Всюду в этой главе мы предполагали потенциал Г(г) известным. На практике имеет место противоположная ситуация. За исключением случаев рассеяния электронов на заряженных частицах и на атомах, когда основную роль играет электростатическое взаимодействие, потенциал Г(г) не известен.
Возникает задача об определении потенциала по данным рассеяния обратная задача теории рассеяния. В обьцем случае для однозначного определения Г(г) необходимо знать функцию гзз(Е) — сдвиг фаз для всех энергий для одного фиксированного значения й Знание этой функции достаточно для определения потенциала отталкивания или потенциала притяжения, не имеющего при данном 1 связанных состояний. Для потенциалов со связанными состояниями этого недостаточно: известны примеры потенциалов с одинаковыми функциями до(Е), но с различными дискретными спектрами. Для восстановления таких потенциалов достаточно, кроме сзз(Е), знать энергии связи Е„1 состояний дискретного спектра и коэффициенты а„(, входящие в асимптотическое выражение для ВФ связанных состояний; Л 1(Г) = апр ~Е ц.пз — — 2тЕ„1 и , г — г Коэффициенты а,„1 связаны с вычетами в полюсах э'-матрицьь Задача определения Г(т) по этим данным сводится к решению некоторого линейного интегрального уравнения. злдАчи 1.
Определить асимптотическую зависимость в(Ь) при й -ч ж в борновском прибли кении. 2. Вычислить в борновском приближении Дв н е в потенциале Кзкавы (э'(з ) = — Его — ' е г 3. Вычислить в борновском приближенна 4а н в в потенциале И(г) = (лзе 4. Используя разложение (9.20), найти выражение для амплитуды рассеяния во втором борновском приближении. 5. Определить в для рассеяния частиц высокой энергии сферической потенциальной ямой, считая, что в приближении Мольера выполняется оптическая теорома.
6. Используя приближение Мольера, найти поправку к борновскому приблиязению для частиц высокой энергии. 7. Показать, исходя из формулы (9.31), что для рассеяния нуклонов высокой энергии на дейтроне амплитуда рассеяния имеез вид Р(Ч) --Х»(Ч)5 (-Ч) ЬЛ(Ч)В(-,'Ч) т — '1' -(-'" ) (-' - )" 17б Глиеи 9 где у„и У вЂ” независимыс от сливов амплитуды рассеяния на нейтроне и протоне, а формфакгор 5Дс1) определяется формулой Я(с1) = ~ егч 11' (г)1 г)г, где з есть ВФ основного состояния. 8. Вывести оптическую теорему нз формулы Факссна — Хольтсмаркв.
9. Найти выражения для фазовых сдвигов АГА) в борновском приблизкснин. 1О. На1пи в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале Н1г) = 17ае 11. Найти в борновском приближении фазовые сдвиги в потенциале аз г21г) —" Ыо гагат 12. Най зи в борновсаом приблил внии фазовые сдви1 и в потенциале Н1г) .. — Аг 13. Найти эффективный радиус сферического потенциала (9.60). 14. Доказать, что при всгпественных Й фаза рассеянна Агй) есть нечетная функция )з 15.
Показать, что в приближении Вигнера выполняется оптическая теорема. 16. Найти матричный элемент эагй) для рассеяния в потенциале РЧг) 1гве— Исследовать особые точки Яа(й). 17. Найти в первом борновском приближении Яагй) для расселния в потенциале Юкавы П(г) = — Га — е '!' Исследовать особые точки. 18. Показать, что в ьулоновском потенциале притяжения связанным состояниям соответствуют полюсы полной амплитуды р-рассеяния на положительной мнимой полуоси.
Отметим, что купаловский потенциал не удовлетворяет условиям конечности фазовых сдвигов, а потому теория, изложенная в пп. 9.11-9,15, для него неприменима. 19. Вычислить в борновском приблизкенин г)в в кулоновском потенциале Н .— . =- — аг '. Рассмотреть предельный переход а — г ж, Ртаа = а в результате задачи 9 2. 20. Объяснить, почему при й — > 0 рассеянно в лулоновском пояс нс становится изотропным. Глава 10 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ О. Всюду в книге мы ограничиваемся описанием явлений, происходящих в нерелятивистской области: при энергиях частиц, малых по сравнению с их энергией покоя. Но дшке в этом случае возникает необходимость в рассмотрении релятивистских волновых уравнений.
Причин для этого две. Во-первых, релятивистские поправки к атомным уровням энергии хотя и малы по сравнению с самими значениями уровней, но все >ке являются существенными. Относительную величину поправок для спектра водородоподобных ионов мозкно оценить отношением энергии связи Ь'„| к энергии покоя электрона; ~Г1 й Я 7пе 1 аЬ~ з Гс шс' лэ тс"" , 'Е„й ~ ьс ~ Даже для атома водорода (У вЂ” 1) с~Е('"~ - 10 ~Ь'„и значительно превышает экспериментальные ошибки в определении разности энергий, Для ядер с большими зарядами поправка еше значительней. Во-вторых, спнновый момент частиц, свойства которого рассматривались в гл.
4, в нерелятивистском приближении входит в теорию лишь кинематическн. В частности, в главах 5 и 8 мы вообще не рассматривали зависимость ВФ от спиновых переменных. Это оправдано лишь прн рассмотрении движения одной частицы в электрическом поле. Зависимость энергетических уровней одной частицы от спиновых переменных есть релятивистский эффект, который может проявляться и в нерелятивнстской области.
В этой главе мы рассмотрим следующие из релятивистских волновых уравнений поправки к уравнению Шредингера, оставляя в стороне вопросы последовательной релятивистской теории. 1. В нерелятивистской квантовой механике движение системы описывается уравнением первого порядка по времени. То же должно иметь место и в релятивистской теории: задание состояния системы в некоторый момент времени должно определять ее дальнейшую эволюцию. Поэтому уравнение должно иметь вид 1й — = Ну.
. эг д1 Релятивистское волновое уравнение должно быть одного порядка по временной н пространственным производным. Поэтому наиболее общий вид релятивистског о гамильтониана для свободной частицы 178 7лава!О есть Н = с (ар) + тс Ь, (103) где р — обычный оператор импульса. Коэффициенты введены в это определение так, чтобы а и ь были безразмерными. Из требования эрмитовости гамильтониана имеем а=а+ Ь=Ь~.
Потребуем, чтобы для свободного движения частицы с импульсом р выполнялось обычное соотношение релятивистской механики + гпзс~, где е означает релятивистскую энергию частицы, вяли?чающую энер- гию покоя. Тогда имеет место равенство На =- тас Ь + тс (Ьа+аЬ) р+ -с(а,;аь+ аьа,) ргрь =- = тзс4+ гзрз Таким образом, величины а и ь должны удовлетворять условиям Ь =1г (!0.2) Ьа+аЬ = О, (10.3) агаь + а?га; = 2с??ь. (10.4) Очевидно, эти требования можно выполнить, если считать а, и Ь матрицами, но если их считать обычными числами, то эти требования выполнить нельзя. — 1 а =а, г Из (10.3) получаем а,.
Ьа, = — Ь, Яр (а, Ьа;) = Ярь = — Ярь = О. Матрица Ь может быть приведена к диагональному виду. Из условий варь О, ь следует, что в этом случае на ~лавной диагонали матрицы Ь стоят в равных количествах числа +1 и — 1. Таким образом, а; и Ь суть матрицы четного порядка. Перенумеруем компоненты так, чтобы матрица ь имела вид Т 0 0 — 1 (! 0.5) 2. Рассмотрим свойства матриц а, (! = 1, 2, 3) и Ь. Из условий (10.2) и (10.4) следует, что Рееятиеиетекие поправки 179 где Т вЂ” единичная субматрица. Рассмотрим условие (10.3). Предста- вим матрицу а, разбитой на субматрицы того же порядка, что и Ь в формуле (10.5).
Тогда (10.б) Следовательно, р; = зз = О. Из условия эрмитовости матрицы а; следует (10.7) уу', у,=г,', ге=у+. Используя эти соотношения вместе с равенством (10.4), придем к формуле ейг1+ + уьу,~ =- 2сз,ь. 110.8) Пусть) ф )е. Тогда, перенося второй член в каждой из формул (10.8) в правую часть и перемножая все три равенства, получим Ч1 Чз Чяуз Чздз = — Узуз Узда У1 Чз . По теореме о произведении определителей 0 1 0 — 1 1 0 Б!= 1 О Яв= у, 'О 3= О -1, Итак, в представлении, в котором Ь имеет вид (10.5), 0 а,; а,=., О' 110. 10) Такое представление мы будем называть стииеЭиртиььн.
12 1)еФ (У1дз' Уздз Уздз') = 1)е$ (Уздздвдз' Чз Уз ) = = )ЭеС ( — Узд, Узда дздз ) = ( — 1)' 1)е$ (У1 Уздзу~~узч Уз~), где Х вЂ” размерность матриц у,. Таким образом, Х должно быть четным числом. При 1 = й из (10.8) следует, что субматрица Ч, должна быть унитарна. Итак, условиям (10.2), 1! 0.3), (10.4) могут удовлетворить только матрицы размерности 4К. Пусть К = 1. Уравнение 1й — ~ = (с(ар) + хпс~Ь~ у д1 для четырехкомпонентной функции у, где а, и Ь вЂ” матрицы четвертого порядка, называетсяЭравиеииенДирака. Субматрицы второго порядка, удовлетворяющие соотношениям (10.8), нам уже известны (см. гл.
4): это матрицы Паули 180 1лпаа 10 3. Умножим уравнение Дирака (10.9) на Ь/с. Тогда его можно записать в виде 16Ь ~ — Ьар — тс~ у = 0 [ — "- ды (!0.11) 0 вз Ьа: = га 0 найдем вид оператора Л: аз 0 вз Л = — — Х„ Очевидно, операторы 1, и Е, действуют в разных пространствах, а поэтому коммутируют. Поэтому унитарный оператор, осуществляющий преобразование поворота системы координат вокруг произвольной осн 1, можно представить в виде Ъ' = ехр ~ — 1 (1+ -Х) 11. Непосредственным вычислением можно убедится, что оператор Х коммутирует с Ь. Поэтому Г '(ЬН)Г = ЬН = Ь(Ъ'аНГ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
