Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 24
Текст из файла (страница 24)
1р (9. 51) где )гльг 1яс)г = — г е2 ( г 1)" Сзг 1 1) Из выражения (9.52) видно, что при достаточно больших 1 при данном й 1к сгг = сгг стремится к нулю. Парциальные амплитуды 1 у ( зся 1) сл 20я к Отсюда в предельном случае малых к. ) )с 2 1 Таким образом, при рассеянии медленных частиц (т « 1) все парциальные амгглит3ды с 1 ф- 0 малы по сравнению с амплитудой рассеяния е-волны 11 = 0). Поскольку Ро(сов с1) = 1, рассеяние мелленных частиц изотропно. В п. 9А мы пришли к такому выводу в рамках борновского приближения. Отметим, что выполнение условия малости фаз дг при 1 ф 0 облегчается из-за больших числовых множителей в знаменателе (9.52). Даже при т 1 с)о = 9с11 = 225с12.
9. Задача о рассеянии медленной частицы на короткодействуюшем потенциале представляет интерес как модель для описания рассеяния нуклонов. Характерный размер ме>кнуклонного потенциала а 2 10 12 см; частицы будут медленными при Е < 5 МзВ. Для рассеяния медленных частиц малых знергий свойства коротко- действующих потенциалов можно достаточно полно описать двумя параметрами: длитгй рассеятт а и,зг)гс)гектггеггыи радггусагг то, Рассмотрим УШ при 1 = 0: — ~ + 1й — гг1т)) 3' = О. 19.53) Пусть 511т) и 32(т) — решения (9.53) при Е = йг~ и Г = )сз, 160 Глоеа 9 удовлетворяющие граничным условиям в нуле и имеющие асимптотики 3 ! (г) — ! 81п1й!г + с1!)с 1 Мп с!! 1 32(Г) ! В1П(йзГ+ сс2). е1с! ае 19.
54) Из 19.53) следует: 19.56) где го = 2 1сос — зо)) '1г. (9.58) о ПосколькУ асимптотики 5 и )о, с и со совпадают, интегРал 19.58) определяется главным образом областью, в которой с7Я имеет заметную величину. При т ~ 1 в зтой области ВФ не будет сильно зависеть от йз, и можно положить 1с точностью до членов - йз) 5 = )о, с = со. Тогда + се й2 а 2 н Л2 3! ) = 1й2 й!)~ Э!Лздсг~ д 'дг) о о где величина Л произвольна, Пусть с,, с2 — решения УШ свободного движения, совпадающие с асимптотиками 19.54). Тогда ( — '- — е) "= асс Ис,,! 2 2 сз — — с! — ") = (йз — й1) с! сз с)г. Йс о о Вычитая (9.56) из (9.55) и переходя к пределу при ст — ! сс, получаем йзс1яс12 — й! с18д! = (й22 — й!) (с!с2 — 5!52) йг.
(9.57) о Предел амплитуды рассеяния при й + О, взяты!! с обратным знаком, называется дзсснос1 рассеяния: — — = 1пп [йс18с11й)). а ь.о Полагая в !9.57) йз = й, й! — > О, получаем йс18с1= — — + — 'й~. а 2 1б1 Рассеяние где величина то = 2 (ео — Оо) с)т (9.59) о называется эффектиеньеи радит соя потенциала ЕТ(т).
Полное сечение и, выраженное через длину рассеяния а и эффективный радиус то, имеет вид .1 2 е = 4ра ~1+ й(а — то)ь:: +1-той( 1с (,о В пределе при к — к О получаем и = 4раз. Знак длины рассеяния зависит от параметров потенциальной ямы. 10. Рассмотрим рассеяние на сферическом потенциале: Г(т) = ~1о (т < а); Ог(г) = О (т > а,). Знак и абсолютная величина Го произвольны. Уравнение Шредингера во внешней области: ~ —, — (т~ — ) — ', + й~] у1(т) =- О. Во внутренней области: где дз = )со — 11о. Рассмотрим вначале случай дз > О (потенциал притяжения или слабого отталкивания). Тогда решение з1(т), конечное при т — к О, во внутренней области есть )1(г) = С11(дг).
Вне ямы у,(т) = АЯЯт) + Вп1()ст), Из граничного условия на бесконечности имеем А = 4ркле'"' сов с11, В = — 4рг'Ес Я ИШ С11. Потребуем равенства функций и логарифмических производных в точке а. Тогда из первого условия следует Ич) 11 П.В. Евютии, ВД. Кривчеиков Гливи 9 162 Из второго условия имеем с) 2~(ч) х оса .- зкдг ° а)1т) л(ч) ус1т) -';. зяес вс(т) где с1 = дао т = йа, Ограничимся случаем медленных частиц 1т < 1). Тогда основную роль играет рассеяние в-волны. Решение однородного уравнения Шредингера; мох .)о(х) = — ' гвэ(х) = — —. :с Отсюда ,гоо з1п(зт + во) Ь. ) оссг) = С Условие сшивания дает дсгяс1= йсФй(т+ до), откуда аа = агс1К вЂ” 1я с1 — т, или или з ь иоа 3 Длина рассеяния (парциальная амплитуда в-волны) з иоа а= 3 Дззя ямы малой глубины знак длины рассеяния совпадает со знаком потенциала.
Сечение в = 4ра = р. — В а -2 4 2 2 сэ не зависит от энергии. (ь/д) зяч — 13т (9.61) т+ 1Ьссч) 4кчзк а) Рассмотрим случай ямы малой глубины: ~ио~ << к2, д=й. Тогда, учитывая асимптотики при малых т, 3 х гя х — х + —, агс1я х — х — — ' 3' 3' для рассеяния медленных частиц получим, сохраняя в разложении члены до третьего порядка, тчз тз бааз — Ьз) сЦ=т+ — — — — т- а, 3 3 3 Рассеяние 163 Рис. 34 нию с единицей.
Положив пят — т, получаем ГйсЦ-т ( — — 1) . Рассмотрим зависимость Фя с1О От с1 (Рис. 34). При значениях с11, ОПРеделяемых условием сд = 12и+ 1)г, сечение достигает максимального значения 4г И 19.62) Значения йз, соответствующие максимальным сечениям: Й = — ~(2п + 1) — ! — ис, а' 43 называ1отся вяртуспьнььииураааями энергт. Если к — г О, то условие 19.62) выполняется при т,тио а, = 12 в + 1) ~. 2 Это выражение совпадает с условием возникновения связанного в-состояния в сферической яме.
Виртуальный уровень имеет в этом случае нулевую энергию, а длина рассеяния обращается в бесконечность. 11 б) Рассмотрим случай потенциала сильного притяжения ио ( О, ~ио~ >> ьз. Тогда — (( 1, $К т (( 1 я я ,тбо и в знаменателе 19.61) можно пренебречь вторым членом по сравне- 164 Г~аьа 9 (г( ) (т — (зььз)~ Только в этом случае в области А законно пренебрежение членом П(т)Л4(т) Пос~т~ по сравнению с членом 1(1+ 1)т 2Л~ 1(1+ 1) т' ' з. Отметим, что эффект Рамзауэра имеет место при значениях ош близких к значениям йи для виртуальных уровней.
При заданном )с с ростом глубины ямы значения с1н и сдс становятся близки сдэ = — — 1,57, стнз - -4.49, сд 2 — - -4,71. о зо 2 2 В области с1н(л И < лрнооа < сд:ч длина рассеяния положительна. Напомннлц что все резулш аты относятся к случаю малых Е При этолз значения д могут быть, понятно, сколь угодно большими.
в) Рассмотрим случай 92 < О (потенциал сильного отталкивания). Тогда во внутренней области 10(т) С Условие сшивания репгений дает уравнение для определения фазы шсФЬша = йс1р; (т+ 4>), рь ф = агс1к ( — сЬ ша) — т. Для рассеяния медленных частиц (т « 1, )сз « ио) до — т. Интегральное сечение рассеяния во = 4ра ( — 1) (9.64) При некоторых значениях с1н, таких что Мчн = с1н, (9.63) фазовый сдвиг и сечение рассеяния обращакп ся в нуль. Явление, состоящее в резком уменьшении сечения рассеяния медленных частиц при некоторых к, называется эсбсбектои Расизагэри. Эффект был обнаружен экспериментально прн наблюдении рассеяния электронов на атомах инертного газа. Хотя эффективный потенциал взаимодействия электрона с нейтральным атомом не является короткодействующим в смысле определения, данного в п. 9.5 (и(Л) Л 4 при Л вЂ” л сс), но вывод п.
9.8 о доминирующей роли а-рассеяния при малых и остается в силе, так как требует лишь более быстрого убывания потенциала и(т) по сравнению от ~. Для волн с1 ф О условием применимости (9.52) является 1б5 Рассеяние В пределе (йз/ио) — ~ О условие медленности частиц т ~ 1 становится несущественным. Для рассеяния на непроницаемой сфере (по — ~ ос) во = 4РО, 2 что в четыре раза превышает классическое значение.
11. При рассмотрении в предыдугцем пункте рассеяния медленных частиц на сферическом потенциале мы видели, что величина сечения тесно связана с положением уровней дискретного спектра. Единым образом состояния дискретного и непрерывного спектров можно рассматривать, считая й комплексной величиной. В этом пункте мы получим интегральное уравнение для парциальных ВФ рассеяния, которое послужит основой для дальнейшего рассмотрения. Найденная в и.
9.2 ФГ для свободного движения может быть представлена в виде Со(г, г', к~) = (2Р) з д~ддСо(д~; 1з2) чае ч1 — ') (9 65) В последнем интеграле используем формулу для разложения плоской волны е'ес"'ч =- ~ ~ 5 121+ 1)г~Я,ЯР1(сов с2), 1~ 2= где 1 = 1+ 1/2. Тогда получаем Со(г,г',1 ) = (2Р) д ддСо(д,й ) х 2еу тт' о (~(е ~-1х/,(д )Р( )) « х ~~~ (21з+ 1)( — 1)',У-„(дт',)Р~,(апт))'. Интегрирование по угловым переменным можно провести, используя теорему сложения для полиномов Лежандра: С ( ~ 12) (2 ) — 3 г ~ с1 С ( 2 12) 24тт о х 2 121+ 1)(21~ +1)1~( — 1)~',Цдт)Я,(дт') ~ с11цР1(пп).
Таким образом, ФГ для свободной частицы может быть представлена 166 Глееи О в виде суммы парциальных ФГ: аог(г — г', 1Д) = — ~~ (21+ 1)а~(г,г', /сз)Р1(пп'), 4р /тт' С1т (т,т', lс «) — — 9с(9 '(о") (о" ) = — — "' Н( 1(Ь)3,(йг'). т>т' ос — Яс — ья 2 о (9.66) Здесь Н, (") — первая функция Ханкеля.
(з) Пусть у ь(к, г) есть решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее граничным условиям задачи рассеяния. Разложим у (и, г) по парциальным волнам; 'е: о = ~/ — 'К(е-'-'я», о )т(""З Тогда парциальная ВФ у," (Ь ) удовлетворяет интегральному урав- нению у, (Ь ) = 3т((ст) + г'б,+(г, г', (с)и(т')у,+(йг') т3г'. о Используя явный вид парциальной ФГ (9.66), получаем интегральное уравнение у~ ((сг) = 3,(Ь') — — Н, (йт) т'3,(Ь2)и(т')у1 (1ст') Йт'. Используя асимптотическое выражение для функции Ханкеля Н, — ) — ехр (гз — 1 — — 1 — ~.
)/ рс 2 4! у ~(ссг) =,У(1сг) — — Н, ~(тсг) т 3,(тсг )и(т )у,~(тст ) 4т— о Зт(Ь,) тт Н~ ((ст)и(т )у-' ((сг ) с(г (9 67) 12. Рассмотрим асимптотику волновой функции у,'((ст). При больших г 1б7 Рассеяние получаем у (йг) — .7,(йг) — — ', — ( — 1)»~е'~~ г',Цйг')и(г')у '(йг') дт'. о Асимптотическое при больших г выражение для ВФ рассеяния через парциальные волны имеет вид у(1с,г) = с'"" — В ' ~~» (21+ 1)Р1(пп') х 2 г Х Г3»(йг)»з(Г)У1+(йГ) дг .
о Определяя парциальные амплитуды рассеяния 1)(й)соотношением 1(пп') = — ~~» (21+ 1)Яй)Р1(пп'), получаем для них выражение ()(й) = — В ~ г3,(йг)и(г)у» (йг) й". 2 ) о Рассмотрим асимптотическое поведение функций у,~(йг) при малых г: у1»(й ) =,У,(й») 1 — ~— ' гН, (йг)и(г)у,' (йг) е1г . (9.69) о Пусть з1(йг) — функция, удовлетворяющая интегральному уравнению » 11(йг') = 3,(йг) — — 'Н, (йг) Н, (йг') и(г')11(й»')г' »1»2+ о + ~ Н, ~(йг) Н, (йг')и(г')11(йг')г''йг'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
