Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из этого следУет, что быстрые частицы рассеиваются преимущественно вперед. Необходимым условием применимости борновского приближе- ния является малость интегрального члена — поправки к ВФ )В)(й,г) = — — ' ~ — 'сГ(г — г'))ь(г — г)дг' (9.24) 2ряз ) Н по сравнению с невозмущенной ВФ )о(кс г). Для медленных частиц 'ь ' можно оценить интеграл в (9.24), положив е'"' = 1, тогда (Й, г) — ' а с'аз,, (г ), ~ьг с1 = 1с — 1с', ~9~ = 2Й в1п ч.
Разложение (9.20), использующее в качестве базиса систему СФ импульса, называется борновекии разложениаи, а решение (9.19), использующее ДГ членов разложения, — Х-м борновским приближением. Решение при Ю = 1 будем называть просто Г>ориовекгьи ~гриближениеи. В случае центрального поля интегрирование по углам приводит к выражению Рассеягггге 153 у(й,г) =- схрг' йя — — ' Г(г) дс . 6г6 Используя формулу (9.17), амплитуду рассеяния представим в виде )'( ) = — ггг ~дге'6 '6'"'П(г) ехр~ — гггг ~ П(г) Ле зр6г З 6г6 (9.30) и условие применимости борновского приближения есть В«1 (т< 1), (9.25) где  — борновский параметр (3.12).
Для быстрых частиц вклад в интеграл (9.24) дает не область Ьс1 - 1, как в случае рассеяния медленных частиц (изотропного), а область Ьс1 - т '. Поэтому (й,т) — ' и (г"о — 5, ,(П , з г .(о1 6г т и борновское приблих<ение применимо при условии В « 17т (т» 1). (9.26) Таким образом, ограничение на величину В, характеризующую потенциал, гораздо слабее для быстрых частиц. Достаточным у словием применимости борновского приближения является сходимость ряда (9.20). Существенным недостатком борцовского приближения является действительность амплитуды ~Ц), несовместимая с оптической теоремой (9.11).
Иными словами, в борновском приближении область, в которой потенциал (г'(т) заметным образом отличен от нуля, действует как источник частиц. 5. Рассмотрим приближенный метод для вычисления амплитуды рассеяния частиц высокой энергии Е»Го. (9.27) При этом условии потенциал сг (г) можно рассматривать как возмущение.
Представим ВФ в виде у(й, .г) = с'~гФ(г), (9.28) где Ф(г) — амплитуда, медленно меняющаяся вдоль оси з (зФггс)е « « й). Подставляя (9.28) в УШ и сохраняя только главные члены, получим уравнение первого порядка 21й — =: Г(г)Ф. 6' Решение (9.29), имеющее асимптотикой при я — г — эс плоскую волну; есть 154 Гливи 9 Так как рассеяние быстрых частиц происходит преимушественно на малые углы, то вектор переданного импульса можно считать перпендикулярным к импульсу. падаюшей частицы: — 11с'г + гав = гс1 ~ г + г()с сов с1 — Й ) — 1чг. Здесь г означает вектор в плоскости ху.
Итак, з 1с2) = —, сзгвсч сзади(г) ехр — Г1г) сЬ 2рьв 1 мь Интегрирование по с приводит к выражению У(сД = — — есч.(гасв1.) 1) )г 2р з' (9.31) сде с1(г) = — Г(г) с)а. 26'Я В центральном поле фаза сз зависит лишь от величины, но не от направления вектора г. Введем в плоскох" сти яу полярные координаты с, з.
Тогда, учитывая соотношение 2р е'*""с12 = 2Фо1*).. М и в о т в формуле 19.3!) можно произвести интегрирование по з. Окончательное выражение имеет вид о Рис. 32 (9.32) т»1, В«т . (9.33) Из сравнения с (9.26) видно, что для описания рассеяния быстрых частиц приближение Мольера имеет область применимости большую, чем приближение Бориа. Области применимости приближений Бориа и Мольера ограничены на рис. 32 сверху кривыми В Выражение (9.32) назь|вается присми женссе ч Исмьвра* для амплитуды рассеяния. Условие применимости метода в безразмерных переменных имеет вид Рассеяние 155 и ЛХ соответственно. Борновскому приближению соответствует случай, когда показатель эксгюненты в (9.31) мал: — ' 17оа = Вт ' ((1.
ьяь Раскладывая экспоненту в (9.31) до линейного по с1 члена, возвращаемся к 19.21). б. В предыдущем изложении основную роль играли базисные СФ импульса — плоские волны. Другой часто используемый базис— общие СФ операторов рз, 1, 1, — сферические волны. Радиальное УШ для свободной частицы с моментом 1 имеет вид — — (тз — ) — + й~)' у 1г) = О. (9.34) В качестве независимой пары решений 19.34) можно выбрать сферические функции Бесселя 2~(йг) и Неймана п~(Ь ) ,л( ), Тгн~з(х): ~Ф, Мн~з(-) или же сферические функции Ханкеля 1и о и 2-го рода 6~ (з) = 2~(х) + 1гн(г). При х » 1, х >! справедливы асимптотические формулы мп1- — 1г/ ) с ) сон (х — 1г/2) (9 35) Асимптотики ВФ непрерывного спектра частицы с моментом 1 в центральном поле с1(г) также можно представить в виде, аналогичном 19.35).
Рассмотрим ВКБ-решения: они заведомо дают хорошее приближение на больших расстояниях от точки поворота. Напомним„что вещественная точка поворота существует в любом потенциале Г(г) таком, что при г — ~ Π— п1г) < 12г) з. ВКБ- решение, согласно (7.45), есть ~,(г) = - ~ ~' — — — О 1 + '-1 . г2 4) со Выберем некоторое гз так, что 1с » —, + и(т~). ,а 1 Тогда при т > гз подынтегральное выражение можно представить в виде Гливи 9 156 и асимптотика функции (9.36) может быть представлена в виде у1(т) — в1п ( хзг — — + с11), 1 . / 1р (9.37) Ь 2 где фаза гг с11 — — Йг1+ ~ 7г — — — и(т) с(т+— га 2 г'в — — ~ и,(г)с1 + — 1х- — — ) . (9.38) 1' 11 11 2Ь ~ 2в (т гг) Выделение в аргументе (937) слагаемого — !р1'2 связано с тем, что при 1 » 1 при вычислении первого интеграла в (9.38) можно пренебречь и(т) по сравнению с 12т 2, тогда значение первообразной на нижнем пределе равно 1р1'2 и от интеграла остается только некоторая ограниченная функция т1.
В частности, при и(г) = 0 с11 = 0 в согласии с (9.35). Необходимым условием конечности фазы с11 является достаточно быстрое убывание потенциала: и(т) = о(т ') при т — 1 оо. Для кулоновского потенциала 17(т) = ат ' второй интеграл в (9.38) расходится логарифмнческн; с11 — а 1п г. (9.39) 7. Граничное условие для ВФ рассеяния не обладает центральной симметрией, так как содержит СФ импульса — плоскую волну. Разложим плоскую волну в направлении оси з по полной системе СФ момента: есь' =',г 11(21+ 1) Р1 (сов с1)11 (Иг). (9.40) 1=О Заметим, что из-за аксиальной симметрии в разложение (9.40) вошли только сферические гармоники с пз = 0 Р1(сов с1) =, ( " Усо(с1).
у' 21 -~ 1 Общий вид аксиально-снмметрического решения УШ при больших г, с учетом (9.37), есть у1(т) — ~~ (21 + 1)АЯ(соа с1) — а1п ( Ь вЂ” р + с11)— У 1р 'вт 2 1=О ~(21+ )) 1 Р( ) г ~ — (Ь~ — 1~,'2, Х) г1вг — 1г72аа)~ от 1=О Рассклвие 157 Асимптотический вид (9.40), согласно (9.35), есть ж~~ ~ ~~ -~(21+ 1)Р ( ) ~ ~,— ~(~г — ~у/~) л(ьг — ~р/21~ 2ьг 1=О Потребуем, чтобы разность дь» е* ' у — е содержала только члены, соответствующие расходящейся волне. Для этого должно быть А1 = 1~с"". Таким образом, асимптотическое выражение для ВФ рассеяния можно представить в виде у — ~~ (21 + 1)Р1(сов с1) [( — 1)'е ' '" — о1е' '). (9.41) 1=О где введено обозначение 2аь (9.42) Коэффициент при расходящейся волне в разности у -- ссь есть введенная нами ранее амплитуда рассеяния ((сз) = — ~~ (21+ 1)(о1 — 1)Р1(совс1).
1 —.О Это выражение называется формулой Факсена- Аольтсмарка. Дифференциальное сечение рассеяния имеет вид Нв = ~Дс1)~2дй = — ~~ (21~+1)(212+ 1) Х 0,1з х Р1,(совс1)Р1,(спас~)~Яй — 1~~31, — 11дй. (944) Интегрирование по углу з' сводится к умножению на 2р. Интегрируя (9.44) по углу с1 с учетом равенства я г Рь(совсз)Р1(соь.с~) в1пс1сЦ = с~ы, 2 21-Ь 1 о получим выражение для полного эффективного сечения рассеяния: = аг ~~~ (21+ «) а1пз с1 . 1=О 158 Гливи 9 Таким образом, полное сечение рассеяния (в отличие от дифференциального (9.44)) есть сумма «гир««иа«ьнь«х сечений рассеяния с заданным(1: 48(з)+ 1) в;пз,„ яв Парциальное сечение можно выразить через нар«««кь«ьнь«е а««лл««туды рассеяния, определяемые соотношением Г(с«) = «Г«(21+ 1)Р«(соя«1).
(9.47) Из сравнения с (9.43) находим у «(~ 1) «(,2гв~ а из (9.46) получим выражение для парциальных сечений через парциальные амплитуды: в« = 4р(21+ 1)(~«(~. 8. Рассмотрим радиальное УШ в поле с короткодейству«ощим потенциалом сг(г) ~ — — (г~ — ) — — н(г) + йз~ у«(г) = О. (9.48) Рассмотрим рассеяние медленных частиц (т « 1). Тогда в области А (рис. 33) (при г > Л), где «(«-ь «) М-Ь Ц »),2 в уравнении (9.48) можно пренебречь и я потенциалом «7(г), и членом );2. РешеО ние в области А, согласно (5.6), имеет В «(«т «) вид Гу у«« = с|г«+ сзт (« '«). (9.49) Рнс.
33 В области Л (г > й «.„/Г(7 + 1)) становится существенным член с к~ и УШ превращается в уравнение для свободной частицы с энергией кз и моментом Б Его решение, согласно и. 9.6, можно представить в виде у«н = — А«7«(й«) + Азп«()вг) Асимптотики сферических функций Бесселя при малых в суть И )=,: «(-)=— (2« . «)!! (9.50) (2« -Ь «)!! ' гы« Рассеггггие 159 Потребуем, чтобы в области А решение у~ переходило в у'~. Тогда 121Ч-1)1! Ь''' Аг=сг ", А2=- — сз кг 121 — 1)!! Используя асимптотики функций Бесселя при больших з 19.35), найдем в (21 Ь Ц!! 1 . г' гр'1 й' 1 г' 1р'г уг — сг "— гйп) 'кт — — + са — соз 1 йт —— т 2 (21 — !)!!т Л 2) Это выражение можно представить в виде — Згп 1 кг' — — + ог) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
