Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В этом приближении дискретный энерге- тический спектр появляется как множество тех значений Е„, при которых определенный функционал, зависящий от Е, принимает значения из заданного набора (см. п. 1.0). 1. Рассмотрим одномерное УШ для стационарных состояний ог дг — — ~ + (7(у)у = Еу (7.1) 2та Й/г с потенциалом вида (7(у) = (7о г" (у/о). Вводя безразмерные парамет- ры (см.
п. 3.3) у В 2иК7оаг а 17о мы перепишем (7.1) в виде — + — т(х)у = О, д', 1 дх' Гк~ео 7 118 С точностью до членов второго порядка по х ч'(х) = 90 ( Ч( 92 Здесь (7.6) (*)=+:(.)= '"""' "" ч 2т1'о Последняя формула есть классическое выражение для импульса ча- стицы с энергией Е в поле 17(х) (в единицах х/2иК~ю). Мы сохраним за этой величиной название и обозначение импульса я = Ф ) = ~~п :7(*), (7.7) так как в этой главе оператор импульса р не используется.
Следую- щие члены разложения (7.6): 9~(х) =- — — — — — — — 1п)р(х)~, чо 1 (7.8) 92(х) = 2чо Разложение (7.5) представляет собой, вообще говоря, расходящийся ряд. Первые члены его дают хорошее приближение для (7(х), если ~9оИ» х~9) (х) ~. (7.9) Условие (7.9) заведомо не выполняется вблизи точек хь таких, что (7о(хь) = хр(хя) = О.
В классическом случае при действительных хь частица меняет направ- ление движения на противоположное; эги точки называются точками поворота. Функции, полученные подстановкой (7.7) и (7.8) в (7.3): у) — — охр х- р(х) (1х, (7.10) ч)р(х) ) х 1 мы будем называть ВКБ-решениялш УШ; общее решение в области, где выполняется условие (7.8), имеет вид у(х) г— а(у~~') + а, у( (7.11) В дальнейшем безразмерную величину х мы будем включать в р(х). Индексы + и — будем называть знаками уь(х). 2.
Рассмотрим случай дискретного спектра УШ. Нам требуется найти решения у(х) во всей области их определения и соответству- ющие собственные значения энергии Г,, Поскольку решение (7.10) заведомо не сушествует в точках поворота, то задача отыскания реше- ний сводится к установлению формул связи — правил сопоставления Кваэикггассическое нрнолггаеение 119 х Ве р(х) г(х = 0 х г„ 1тх и знак мнимой части совпадает со знаком уь.
На линии Стокса для у„= эта функция экспоненциально мала. Ска- Рис. 20 чок коэффициента при экспоненциально малой функции не приведет к ухудп>ению асимптотики. Мы потребуем, чтобы асимптотическое решение (7.1!) было однозначно во всей плоскости х. Будем искать формулы связи при переходе через линии Стокса в виде ап — г ап +аа (7.13) а — г а +Ьаь. Коэффициенты а, >г называются наранетраъш С>накса. Напраш>ение ВКБ-решений, взятых по разные стороны от точек поворота у(х ( хь) -э у(х > х>,).
Рассмотрим решение (7.11) в плоскости комплексного х и движение в поле с потенциалом гг'(х) с энергией Е такой, что импульс действителен между двумя точками х> и хз (рис. 20). Область значений х на действительной оси, в которой импульс р(х) действителен, называется классически дослгунной областью.
Точки х>, хз являкпся точками ветвления функции р(х); проводя между точками поворота разрез, выберем знаки р на берегах разреза, как показано на рис. 20. Вблизи точек поворота решения неаналитичны; при обходе вокруг точки х> по контуру С> р(.т) — ~ схр (гр)р(х), у, (х) — г ехр 1 — г,-)у, (х), у, (х) г ехр ( — г-)у> (х).
Неаналитичность ВКБ-решений в точках хь есть следствие выбранного приближения. Из (7.11) и (7.12) видно, что даже общее выражение (7.11) с постоянными коэффициентами аь не является асимптотикой решения во всей плоскости комплексного х. Дпя того, чтобы ре>пение вида (7.11) было асимптотически правильным во всей плоскости х, коэффициенты а, а должны меняться скачком при переходе через линии Стокса (такое поведение коэффициентов называется явлением Стокса).
Линией Стокса решения у~ Е называется контур на комплекснои плоскости, для точек которого 12О 7лава 7 линий Стокса определится условиями; х у": агй — 1 р(ж) г)х = 2ра, у1, . агя +1', р(х)дх = 2рп. (7.14) (7. 15) хв Угол 5, определяющий направление линий Стокса, будем отсчитывать от положительного направления оси х. Найдем положение линий Стокса. Вблизи жь их можно считать прямыми Р(х) = А~/х — х~ — т7г схР [1 — ), 1тх в2 2Р 3' аьу, +а у = [а +ь(аР+аа. )] ехр( — )р,12)у + + (а, + аа +у[а +Ь(ах +аа )]) ехр( — гр/2)у Используя условие (7.14), получим 31 Р . 1 й . 2 3Р 3' — — =2рп; )Р = —, 1+ Из условия (7.15) для линии [ — ] имеем 31 — + — =2Л; )1 =р.
2 2 Мы выбираем решения, для которых 5 Е [О, 2р]. Аналогично, вбли- зи точки тз, выбирая в интервале +1 11 5 Е [ — р,р], найдем л в с 2Р -1 -1 3' 5,— = О. Направления линий Стокса показаны на рис. 2!. Параметры Стокса а, Ь, сздля ли+2 -Р2 ний, выходящих из точки та, найдем, совершив обход вокруг этой точки. Используя формулы (7.13) и правило перехода через разрез (7.12), получаем Кеазакписсеческое прпйшекение Приравнивая коэффициенты при у „, у, находим а = Ь =- д = — схр 11 — ~ . / в~ 2 Подчеркнем, что эти значения параметров Стокса относятся к случаю простого нуля функции г1ж).
Построим теперь общее решение. В области А физическое экспоненциально убывающее решение дается функцией у ~ . В области В решение определяется переходом через линию 1+Ц1 и может быть выражено как через у), так и через у": ув -— — у~ + схр ( — г-~уз — — схр1 — гп)уз + схр — 1-~1уз схр1ги). 2/ 2/ Здесь введено обозначение и = р1х) дх. В области С решение также должно убывать экспоненциально. Используя выражение ун через уз и совершая переход через линию [+1~2, в области С находим ус/ — — схр( — ме)уз + (схр ( — г — + Ы) + схр ( — 1 — — 1и)) у~+.
Требуя обращения в нуль коэффициента нри растугцей функции у,'~: схр ( — М1схр1ме) + схр ( — ы)) = О, 2/ приходим к равенству х = р1п+ 1/2). 17. 16) Действительное решение, эксноненциально убывающее в области А, у л — — у ~ схр 1 г — 1 = схр — р1х) с1х ,)„7 приводит в области В к решению вида у в — — сов р1)г) с1т —— 17.17) Отметим, что все предыдущие рассуждения относились к случаю, когда импульс действителен только между двумя точками поворота.
122 22яава 7 3. Полученное из формул связи соотношение (7.1б) в обычных единицах имеет вид ~"2 р(х) В е = рй (и+ Ч . Это есть аравняо квантования Бора — Залтерфельдо, известное из старой квантовой теории. Значения .Е.„вычисленные с помощью этой формулы, мы будем называть ВКБ-свекирпи. В тех случаях, когда дискретный спектр ~ амильтоииана удается определить точно, между точными СЗ Е„, и вычисленными методом ВКБ значениями Е„'можно установить соотношение ~е Е ~1+0( )] (719) '1'аким образом, значения ВКБ-спектра дают хорошее приближение для высоких уровней.
Собственные значения уравнения (7.! ) могут быть представлены в виде ń—.— Е„' + хам„+ а(хз). (7.20) Выражение для п„было найдено Масловым*. Если в окрестности минимума потенциала (7(х) величина 7'~(х) = О, то при малых и, Е„' = О(х), ~„= О(1). Таким образом, формула Бора — Зоммерфельда дает хорошее приближение и для низколежащих уровней, если х ((1. (7.21) Неравенство (7.21) является условием квазиклассичности потенциала Г(х) в смысле близости точного и ВКБ-спектров при любых значениях и.
Приближение ВКБ называется квазиклассическим потому, что при выполнении условия (7.21) квантовый масштаб действия й мал по сравнению с величиной 5 = т72тГои~, характеризующей потенциал. Залчетим, что рассмотрение потенциальной ямы в пределе, противоположном квазиклассическому (х' » 1), приводит к задаче о д-яме, рассмотренной в гзь 3. Рассмотрим потенциальную яму (7(т) такую, что ст(х) ( О, Г„= Г = О. Тогда с ростом энергии точки поворота будут удалятьс я на бесконечность. Номер наивысшего связанно~о состояния ,. Ф' определится из условия (7.22) Коазиклиееическое прис]иэкеиие 123 Эта формула дает оценку для числа связанных состояний.
Отметим, что .4 - х '". Неравенство Баргмана (5.50) можно при 1 = О рассматривать как оценку для числа связанных состояний с четной ВФ в четном потенциале (7(х). Поскольку уровни различной четности чередуются, то „4' < 2+х ~ ~Ь1(х)~хдх. (7.23) о Это неравенство дает оценку 4' х; для квазиклассического я,, случая (хз « 1) оценка (7.22) значительно лучше.
Отметим, что интегралы в правых частях (7.22) и (7.23) сходятся при одинаковых условиях: при х — 1 оо ~7'(х)~ = о(х ~), при х — > О 7(х) = о(х '). Величина в левой части равенства р]1х = 2р6 (и+ -) (7.24) определяет объем фазового пространства, охваченный классической траекторией. Поэтому, основываясь на равенстве (7.24), говорят, что одному связанному состоянию в фазовом пространстве соответству- ет объем 2рй на одну степень свободы.
4. Рассмотренные выше ВКБ-решения для дискретного спектра не были нормированы. Рассмотрим нормированные ВКБ-функции для состояний дискретного спектра с большими и. Так как вне клас- сически доступной области ВФ экспоненциально убывает, то основ- ной вклад в нормировочный интеграл будет вносить область между точками поворота.
Можно потребовать, чтобы Аз упуй дх = 1, Х] где А — нормировочная постоянная, а ул определяется форму- лой (7.17): 1 = А~, р (х) соаз р(т) дх — ~ дх. Х] Ж] При больших и, можно заменить быстро осциллирующнй квадрат косинуса его средним значением. Таким образом, находим (7.25) е] 124 7лиеп 7 Вблизи точек поворота нормированная плотность вероятности в квазиклассическом приближении имеет вид — 1 Я 1Г(я) Ж~ Определим теперь классическую функцию распределения вероятностей в одномерном случае Иг(ж) следующим образом: И'(т)дг есть отношение времени, в течение которого частица находится в интервале пж, к периоду движения. Тогда :сг И'(т.) = 'в — и6..) ~ Г,/в — сто'.) 1 Т.
~ Таким образом, вблизи точек поворота в классически доступной области ВКБ-функция распределения щ(ж) стремится к классической функции распределения И'(ж). В рассматриваемом нами случае больших и существует связь между величиной нормировочных постоянных А„и видом энергетического спектра Е(п). Дифференцируя выражение (7.18) по и, получаем Так как по определению р~ = 2тп,(ń— сГ(х)~, то ДЕ р лг Таким образом, равенство (7.26) принимает вид хг Ы„( дк рй — т, (7.27) Интегралы в правых частях (7.25) и (7.27) совпадают.
В итоге прихо- дим к соотношению Аз х~п (7.28) рл нв связывающему нормировочный коэффициент ВКБ-решений со свойствами спектра. 5. Рассмотрим ВКБ-решения УШ для состояний непрерывного спектра. Пусть частица находится в поле потенциального барьера Кеггзиклиееггггеекое прийлиэиеиие 125 У1х) с знергией, меньшей максимального значения Г1рис. 22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
