Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7. Выше мы предполагали, что оператор возмущения (г в некотором смысле мал. Практически для вычислений используются несколько первых поправок с СЗ. Поэтому естественно под малостью оператора 1' понимать малость первых поправок по сравнению с величиной невозмущенного СЗ. Малость первой поправки )Е„' ! «)е„) (6.34) не есть достаточное условие применимости теории возмущений. При наличии близких уровней во втором порядке могут появиться члены, болыние по сравнению с е„, даже если (6.34) выполняется. Кроме того, в ряде случаев 104 Гк~ви б Например, это имеет место для системы с гамильтонианом -г На = — + сг(ж) 2гв и возмущением еГ(х), если сг(т) — четная, а Г(к) — нечетная функции от х. Малость второй поправки также не есть достаточное условие применимости теории возмущений.
Поясним это на примере ингирионнческого осин.таяторп — системы с гамильтонианом Н == ~— + — '+ егз 2 2 (мы положили 6, т,, и = 1). Пусть е мало; рассматривая Г = етз как возмущение и используя вычисленные а задаче 3.9 матричные элементы (и — 3)еЪ'(о) = е = (н)еЪ'(и, — 3), 8 (и — 1(Г(п) = ез — ' = (н~Ъ'~п — 1), 'г' 8 находим Е~,П =. О, 4 Л 30/ Эта поправка мала при фиксированном п, если ~е ( « 4~(15п). Однако сходимость ряда теории возмущений в этом случае сомнительна. При ха1кпе > (З~е~)' з потенциал Г(к) + е~'(к) убывает, стремясь к — ж. Формально движение при любой энергии Е инфинитно. Однако потенциал убывает так быстро, что квадратично интегрируемое решение существует при любой энергии Е.
Дискретный спектр в этом случае можно отобрать, используя требование ортогональности волновых функций в области ( — сс., Х). Спектр будет зависеть от граничного условия в точке Х, которое, очевидно, не учитывается в вычислениях по теории возмущений. Рассмотрим осциллятор с возмущением Г = ет4. При е > О наличие дискретного спектра очевидно.
Однако и в этом случае ряд теории возмущений будет; по-видимому, расходящимся. Если ряд сходится в точке е = +ез, то Е(е) есть аналитическая функция комплексного переменного е в области ~е~ < ез. Следовательно, тогда ряд должен сходится при отрицательных значениях — ез < е < О. Но при е < О ситуация аналогична рассмотренной выше. Теория еозиуи1еппй и еарпалиоипый иепюд 105 Задача о гармоническом осцилляторе возникает при замене глубокой потенциальной ямы Г(х), в которой связанные состояния заведомо существуют, степенным разложением Г(х) в окрестности точки хо, где Г(х) имеет минимум (рис. 18). В этом случае сходимость рядов обеспечивается учетом высших степеней х и выражение (635) действительно определяет поправку к энергии дискретного уровня.
8. Собственные значения гамильтониана Н могут быть найдены из вариационного х хо принципа. Покажем, что СФ гамильтониана реализуют экстремум средней энергии Рис. 18 ~ = (уФЮ Найдем условие экстремальности Е: о у*Ну88=0 при дополнительном условии | у уе(у=1. Комплексно-сопряженные у и у* нельзя варьировать независимо. Разделим эти функции на амплитудную и фазовую части: (6.36) у =с1е ч Тогда е1у = е 'ст1+ зс13 сто""', оу = е Й1 — 7,сзб эое Из (6.36) получаем, учитывая эрмитовость Н: (637) |и" (яр) ~д -;-|~у (уеду) ед — О. | с1ст(е ОЙе1еб + снйс1е'" — 21с1) 6~+ ~-|~ад Я(."ЕЧ ' —: "Нын)И8 = О. ~638) Подставляя (6.37), используя условие нормировки и вводя множитель Лагранжа х, получаем 106 Хлева б Используя независимость вариаций амплитуды и фазы, получим, приравняв нулю второй интеграл в (6.38): в" Нс1е ~ ' = е "-НСф'.
(6.39) Подставляя (6.39) в первый интеграл, получим Ну =1у — стационарное УШ, где множитель Лагранжа 1 =. Е есть собственное значение ХХ. Доказательство завершено. 9. Разложим произвольную квадратично интегрируемую функцию по СФ Н: (6.40) у = ~~ еьуь, ь Тогда среднее значение энергии, вычисленное с функцией у, равно (уФМ =,>, Еь М!2.
ь Пусть Ео — энергия основного состояния, тогда Ео< Е[у~ = Е (6.41) (у)Н(у) ) Ео т )аь/ (6.42) где Е(у~ = ((у~у))-' (уФ~у) (6.43) Таким образом„ВФ основного состояния реализует минимум средней энергии; остальные экстремумы соответствуют возбужденным состояниям, Выражение (6.41') дает оценку сверху для энергии основного состояния. Для получения оценки снизу рассмотрим интеграл Х = (уФ вЂ” Е)'~у): (6.44) где у — произвольная нормированная функция.
Используя разложение (6.40), получим Е = ~ ~)аь(2 (Еь — Е) ь 2 2 2) = (Ео Е) +,~, ~пь~ ~(Еь Е) (Ео Е) 107 7еорсгл еоаиуи1ений и еггрггаг1иоггныгг сиегиод Если пробная функция выбрана так, что Е ближе к Е0, чем к энергии любого другого состояния, то Т > (Ео — Е) Поэтому, учитывая, что по определению сс Ез Е2 получаем неравенство (6.45) ЕО ~ ~~ 10. Практически неравенство (6.41) используется для опреде- ления энергии основного и первых возбужденных состояний. Вы- бирается пробная функция с1(хг а.;), где а, — набор параметров, вычисляется Е(а;) и отыскиваются значения параметров, миними- зующие Е, что приводит к уравнениям — =- О.
да, Такой метод называется пруыгылг еарггас)иоггнылг.челгодосиг Рннп~сг. В качестве простого примера рассмотрим вычисление энергии основ- ного состояния гармонического осциллятора (гг, т, и = 1) Й = 1 (р2+х2). Среднее значение энергии (х'ч' (х) — Ч (х) Чн (х)1 Нх 2 ча (х) г1х Выбирая пробную функцию в виде с1(хг а) = сЬ ~ (ах), (6.46) получим Е (а) = — ( ~ + 2а2) . Это выражение 11остигаетминимума при а = р,г2; соответствующее значение Е(а) = рггб = ОЛ23 мало отличается от точного значения; Е = 1г06 .
Е0. Другие примеры приведены в задачах к этой главе. При вычислениях вариационным методом энергии возбужденных состояний следует учесть требование ортогональности (О < й ( пг). (6.47) 108 Гиыпб Иногда выполнение этого требования облегчается свойствами симметрии: например, основное состояние частицы в поле Г(х) = = Г( — х) описывается четной функцией, поэтому при нечетной сп (х, а) требование (6.47) выполняется автоматически.
ВФ основного состояния при х — ь хоо убывает (по модулю) не медленнее экспоненты; поэтому можно использовать (при большом числе связанных состояний в поле) в качестве ВФ первых возбу жденных состояний систему полиномов, ортогопальных с весом со(х). Коэффициенты полиномов будут однозначно определяться требованием ортонормированности: поэтому точность результатов будет ухудшаться с ростом и..
Если Ео — значение энергии, вычисленное с помошью пробной (.) функции 1(х, а), а пробная функция Ф(х:, а, Ь) такова, что при некоторых значениях Ьо Ф (а, Ьо, х) = 1 (а:, х), то за счет расширения класса конкурирующих функций всегда будет выполняться неравенство (а, ь) (ь) Ео ' ( Ео Отметим, что отличие нормированной пробной функции от точной (квадрат нормы их разности в 1 з) того же порядка, что и относительная точность СЗ, полученного вариационным методом. 11. Воспользовавшись прямым вариационным методом, найдем условия существования связанного состояния при одномерном движении в поле с четным потенциалом Г(х).
Ограничения для этого потенциала будут получены ниже. Используем пробную функцию о(х, Ь)=1 — Ь~х~ (Ь>О, ф<Ь '), ~(х, Ь) =. О (1х( > Ь ) . Тогда вариационный функционал (6.43) можно представить в виде ь.1 Е(Ь) = -Ь 2Ь+ 2 Г(х) (1 — Ьх) дх, (6.48) Еслиприх — ь О 11(х) = о(х '),топриЬ вЂ” + ос первый членв скобке неограниченно возрастает, а второй стремиться к нулю. Поэтому при достаточно больших Ь Е(Ь) = ОЬз > О. Выражение (6.48) можно переписать в виде Е(Ь) = — Ь(2Ь+ 2Л1о — 4ЬМ1 + 2Ь~ЛХз — ~ (Ь)), 1О9 Теория еозггузленей и еггригоииоггныгг ленгор где интегралы Мь = Г(х)х г)х 0 предполагаются сходящимися.
Тогда 1пп ('(Ь) = 1пп Г(х) (1 — Ьх) г1х = О. ь †ь-а г Таккаквточкеь = О Е(ь) = О, .Е'(ь) = ЗМа,топриЛХ0 < Овнекоторой окрестности точки Ь = О Е(Ь) < О. Из непрерывности Е(Ь) и ранее доказанной положительности Е(Ь) при болыпих Ь следует существование Ь; таких, что Е(Ь,) =О. (6.49) Пусть Ьг — наименьший положительный корень (6.49); между двумя нулями Ь = О, Ь = Ь функция Е(ь) отрицательна, а ее производная имеет по меньшей мере один нуль, соответствующий минимуму.
Таким образом, верхняя граница энергии основного состояния отрицательна. Следовательно„в поле с четным потенциалом (Т(х), удовлетворяющим условиям ЛХ0 < О., ~Луг~ < оо, ~Мз~ < ж., всегда существует связанное состояние. 12. Прямой вариационный метод связан с теорией возмущений. Из (6.10) следует, что вычисление поправки первого порядка к уров«ьзм дискретного спектра есть вычисление Е с ВФ невозму щенного уравнения в качестве пробной функции. Очевидно, это не наилучшая пробная функция.
Вычисление поправок второго и более высоких порядков в обгцем случае сводится к суммированию бесконечных рядов (6.16). Приближенное вычисление может быть проведено с помощью вариационного метода. Пусть Н03„, =- Е 3 Для определения СЗ гамильтониана Н = На + Г выберем пробную функцию в виде у =ьт+Сео где с, выберем ортогональной к з; этому условию можно удовлетворить, выбирая с„, = ~г аь)ы ЬЕ-гн Ессссссс б Вычисляя среднюю энергию Е, получилс км Е Е1о) Е(~) 1- 2(5 ~Цс„,) + ( "' ~ "') (6.50) 1 з- (с,„)( Опуская члены третьего и более высоких порядков малости, получим Е Е(о) + Ес~) + 2(5 Щс ) + (с ~Н Е(о)~с ).
(6.5!) Условие стационарности правой части выражения (6.51), накладываемое вариационным принципом, приводит к уравнению (Но — Е1о))с + р"з„, = Е~~)1 . (6.52) Сравнивая с формулой (6.8), находим, что с„, = у — поправка П) первого порядка к ВФ. В тех случаях, когда решение (6 52) или, чтото же самое, вычисление суммы (6.16) затруднительно, приближенное зиачение Е„, может быть получено минимизацией функционала в 12) правой части (6.50). 13. Иногда для оценки СЗ системы с гамильтонианом Н = Т + + 2 Г, пробную функцию удобно выбрать в виде линейной комбинации СФ частей полного гамильтониана (например, СФ операторов Н, = Т + Г,). Такой подход называется мелюдпн линейных конбиrссний.
Положим сь = ~ аы), (х). с=с Тогда у Т.а,",аиНн Еь (иы) = 5:5:а*„,ас,Яа ' где (6. 53) до).1о) „ (6. 54) Последний интеграл це обязательно равен сзт. Пусть, например, Н = (о) (о) = 7 + Гс(х) + Гз(х). Тогда функции у ) и у, ), описывающие основные состояния систем с гамильтонианами Нс = Т + Гз и Нз = Т+ Гз, не имеют узлов и Я~ з заведомо не обращаются в нуль. Вариационные параметры находятся из условий стационарности Е: — =0 (1<г<п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
